【例题】如图所示，三角形 $ ABC $ 的面积为 $ 1 $ 平方厘米，$ DO:OB = 1:3 $，$ EO:OA = 4:5 $，则三角形 $ DOE $ 的面积是多少？

【分析】
在三角形 $ BCD $ 中，三角形 $ CDE $ 和三角形 $ BDE $ 同高，所以面积的比等于边长的比，同理，三角形 $ ACE $ 和三角形 $ ABE $ 同高，所以面积的比等于边长的比。
【解答】

根据题意，$DO:OB = 1:3$，$EO:OA = 4:5$，设$S_{三角形AOD} = 5$，$S_{三角形DOE} = 4$，$S_{三角形BOE} = 12$，$S_{三角形AOB} = 15$，设$S_{三角形CDE} = x$。在三角形$BCD$中，三角形$CDE$和三角形$BDE$同高，所以面积的比等于边长的比，$\frac{CE}{BE} =$ $\frac{x}{4 + 12}$，同理三角形$ACE$和三角形$ABE$同高，所以面积的比等于边长的比，$\frac{CE}{BE} = \frac{x + 4 + 5}{12 + 15}$，所以$\frac{x}{4 + 12} =$ $\frac{x + 4 + 5}{12 + 15}$，解得$x = \frac{144}{11}$，所以$S_{三角形DOE} = 1×$ $\frac{4}{4 + 5 + 12 + 15+\frac{144}{11}}=\frac{11}{135}$（平方厘米）。

1. 如图所示，三角形 $ ABC $ 的面积是 $ 1 $ 平方厘米，$ BC = 5BD $，$ AC = 4EC $，$ DG = GS = SE $，$ AF = FG $，则三角形 $ FGS $ 的面积是多少平方厘米？

1. $1×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{10}$（平方厘米）
答：三角形 $FGS$ 的面积是 $ \frac{1}{10} $ 平方厘米。

2. 如图所示，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AB $ 与 $ CD $ 平行，且 $ CD = 2AB $。点 $ E $、$ F $ 分别是 $ AD $ 和 $ BC $ 的中点，已知涂色四边形 $ EMFN $ 的面积是 $ 54 $ 平方厘米，则梯形 $ ABCD $ 的面积是多少平方厘米？

2. 如图所示，连接 $EF$，把大梯形看成两个小梯形叠放在一起，用梯形蝴蝶模型可以确定其中各个小三角形之间的面积关系，再用比例求出梯形 $ABCD$ 面积。
设梯形 $ABCD$ 的上底为 $a$，总面积为 $S$。则下底为 $2a$，$EF = \frac{1}{2}(a + 2a)=\frac{3}{2}a$，所以 $AB:EF = a:\frac{3}{2}a = 2:3$，$EF:DC=\frac{3}{2}a:2a = 3:4$。
由梯形 $ABFE$ 和梯形 $EFCD$ 的高相等，所以 $S_{梯形ABFE}:S_{梯形EFCD}=(AB + EF):(EF + DC)=(a+\frac{3}{2}a):(\frac{3}{2}a + 2a)=5:7$，故 $S_{梯形ABFE}=\frac{5}{12}S$，$S_{梯形EFCD}=\frac{7}{12}S$。
根据梯形蝴蝶模型，梯形 $ABFE$ 内各个三角形的面积之比为 $2^{2}:(2× 3):(2× 3):3^{2}=4:6:6:9$，所以 $S_{三角形EMF}=\frac{9}{4 + 6 + 6 + 9}S_{梯形ABFE}=\frac{9}{25}×\frac{5}{12}S=\frac{3}{20}S$；同理可得 $S_{三角形ENF}=\frac{9}{9 + 12 + 12 + 16}S_{梯形EFCD}=\frac{9}{49}×\frac{7}{12}S=\frac{3}{28}S$，所以 $S_{四边形EMFN}=S_{三角形EMF}+S_{三角形ENF}=\frac{3}{20}S+\frac{3}{28}S=\frac{9}{35}S$，由于 $S_{四边形EMFN}=54$ 平方厘米，所以 $S = 54÷\frac{9}{35}=210$（平方厘米）。
答：梯形 $ABCD$ 的面积是 $210$ 平方厘米。
　　　　　　　

3. 如图，$ D $、$ E $ 分别为 $ △ ABC $ 的边 $ AB $、$ AC $ 上的点，$ O $ 为 $ BE $ 与 $ CD $ 的交点，$ M $、$ N $、$ P $ 分别为线段 $ BE $、$ CD $、$ BC $ 的中点。已知三角形 $ ABC $ 的面积为 $ 4046 $，三角形 $ ADE $ 的面积为 $ 578 $，三角形 $ PMN $ 的面积为 $ 369 $。
（1）根据已知数据，可以计算三角形 $ ADE $ 与三角形 $ ABC $ 面积的比值，由此请猜想三角形 $ DOE $ 与三角形 $ BOC $ 的面积比值，并写出详细过程。
（2）求三角形 $ MON $ 的面积。

3. （1）如图①，设三块“燕尾”三角形 $AOB$、三角形 $BOC$、三角形 $COA$ 的面积分别为 $x$、$y$、$z$。
$\frac{S_{三角形ADE}}{S_{三角形ABC}}=\frac{AD}{AB}×\frac{AE}{AC}$，“燕尾”模型：$\frac{AD}{AB}=\frac{z}{y + z}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{x}{x + y}$，所以 $\frac{S_{三角形ADE}}{S_{三角形ABC}}=\frac{z}{y + z}×\frac{x}{x + y}$。
因为 $\frac{S_{三角形DOE}}{S_{三角形BOC}}=\frac{OD}{OC}×\frac{OE}{OB}$，$\frac{OD}{OC}=\frac{x}{y + z}$，$\frac{OE}{OB}=\frac{z}{x + y}$，所以 $\frac{S_{三角形DOE}}{S_{三角形BOC}}=\frac{x}{y + z}×\frac{z}{x + y}=\frac{z}{y + z}×\frac{x}{x + y}=\frac{S_{三角形ADE}}{S_{三角形ABC}}$，所以 $\frac{S_{三角形DOE}}{S_{三角形BOC}}=\frac{S_{三角形ADE}}{S_{三角形ABC}}=\frac{578}{4046}=\frac{1}{7}$。
　　　
（2）设 $S_{三角形DOE}=a$，$S_{三角形BOD}=b$，$S_{三角形BOC}=c$，$S_{三角形COE}=d$，如图②，取 $DE$ 的中点 $Q$，连接 $MQ$、$NQ$。
因为 $Q$ 为 $DE$ 的中点，$M$ 为 $BE$ 的中点，所以 $QM=\frac{1}{2}BD$。同理 $PN=\frac{1}{2}BD$，且 $QM // NP // AB$，所以四边形 $MQNP$ 为平行四边形。$S_{平行四边形MQNP}=S_{四边形BDEC}-S_{四边形BMQD}-S_{四边形QECN}-S_{三角形BMP}-S_{三角形CNP}=(a + b + c + d)-\frac{3}{4}(a + b)-\frac{3}{4}(a + d)-\frac{1}{4}(b + c)-\frac{1}{4}(d + c)=\frac{1}{2}(c - a)$，$S_{三角形MNP}=\frac{1}{2}S_{平行四边形MQNP}=\frac{1}{4}(c - a)=369$，所以 $c - a = 4×369 = 1476$。因为 $c:a = 7:1$，所以 $c = 1722$，$a = 246$。因为 $a + b + c + d=S_{三角形ABC}-S_{三角形ADE}=3468$，所以 $b + d = 3468 - c - a = 1500$。$S_{三角形MON}=S_{三角形OBC}-S_{三角形BMP}-S_{三角形CNP}-S_{三角形MNP}=c-\frac{1}{4}(c + d)-\frac{1}{4}(c + b)-369=\frac{1}{2}c-\frac{1}{4}(b + d)-369=\frac{1}{2}×1722-\frac{1}{4}×1500-369 = 117$。