登录
1. 下列角度不可能是多边形内角和的是(
A.$180^{\circ}$
B.$270^{\circ}$
C.$360^{\circ}$
D.$900^{\circ}$
B
)A.$180^{\circ}$
B.$270^{\circ}$
C.$360^{\circ}$
D.$900^{\circ}$
答案
1. B
解析
多边形内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数，$n≥3$且$n$为整数），内角和一定是$180^{\circ}$的整数倍。$180^{\circ}÷180^{\circ}=1$，$270^{\circ}÷180^{\circ}=1.5$，$360^{\circ}÷180^{\circ}=2$，$900^{\circ}÷180^{\circ}=5$，只有$270^{\circ}$不是$180^{\circ}$的整数倍。
B
B
2. 下列选项中,可以用来说明命题“若$x^{2}＞1$,则$x＞1$”是假命题的反例是(
A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=3$
D.$x=-3$
D
)A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=3$
D.$x=-3$
答案
2. D
解析
要说明命题“若$x^{2}＞1$，则$x＞1$”是假命题，需找出满足$x^{2}＞1$但$x≤1$的反例。
选项A：$x=-1$，$x^{2}=(-1)^{2}=1$，不满足$x^{2}＞1$，不是反例。
选项B：$x=1$，$x^{2}=1^{2}=1$，不满足$x^{2}＞1$，不是反例。
选项C：$x=3$，$x^{2}=3^{2}=9＞1$，且$x=3＞1$，不能说明命题为假。
选项D：$x=-3$，$x^{2}=(-3)^{2}=9＞1$，但$x=-3＜1$，满足条件，是反例。
D
选项A：$x=-1$，$x^{2}=(-1)^{2}=1$，不满足$x^{2}＞1$，不是反例。
选项B：$x=1$，$x^{2}=1^{2}=1$，不满足$x^{2}＞1$，不是反例。
选项C：$x=3$，$x^{2}=3^{2}=9＞1$，且$x=3＞1$，不能说明命题为假。
选项D：$x=-3$，$x^{2}=(-3)^{2}=9＞1$，但$x=-3＜1$，满足条件，是反例。
D
3. 牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明“在同一平面内,若$a⊥ b$,$c⊥ b$,则$a// c$”时,首先应假设(
A.$a// b$
B.$c// b$
C.$a$与$b$相交
D.$a$与$c$相交
D
)A.$a// b$
B.$c// b$
C.$a$与$b$相交
D.$a$与$c$相交
答案
3. D
4. 如图是某小区花园内用正$n$边形铺设的小路的局部示意图,若用3块正$n$边形围成的中间区域是一个小正三角形,则$n$的值为(
A.12
B.10
C.8
D.6
A
)A.12
B.10
C.8
D.6
答案
4. A 解析:
∵正三角形的一个内角是$60^{\circ }$,$\therefore$正$n$边形的一个内角为$(360^{\circ }-60^{\circ })÷2=150^{\circ }$,$\therefore$正$n$边形的一个外角为$180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$,$\therefore n=360^{\circ }÷30^{\circ }=12$.
∵正三角形的一个内角是$60^{\circ }$,$\therefore$正$n$边形的一个内角为$(360^{\circ }-60^{\circ })÷2=150^{\circ }$,$\therefore$正$n$边形的一个外角为$180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$,$\therefore n=360^{\circ }÷30^{\circ }=12$.
5. 如图,五边形$ABCDE$是正五边形,若$l_{1}// l_{2}$,则$∠ 1-∠ 2$的度数为(
A.$72^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$47^{\circ}$
A
)A.$72^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$47^{\circ}$
答案
5. A 解析:如图,延长$AB$交$l_{2}$于点$F$.$\because l_{1}// l_{2}$,$\therefore ∠BFD=∠2$.$\because$正五边形$ABCDE$的每个外角相等,$\therefore ∠FBC=360^{\circ }÷5=72^{\circ }$.$\because ∠1=∠BFD+∠FBC$,$\therefore ∠1-∠BFD=∠FBC=72^{\circ }$,即$∠1-∠2=72^{\circ }$.
二、填空题(每小题5分,共25分)
6. 已知一个多边形的每个外角都是$45^{\circ}$,则这个多边形的边数为
6. 已知一个多边形的每个外角都是$45^{\circ}$,则这个多边形的边数为
8
.答案
6. 8 解析:$360^{\circ }÷45^{\circ }=8$.
7. 已知一个多边形纸片剪去其中某一个角后,形成的新多边形的内角和为$900^{\circ}$,那么原多边形的边数为
8 或 7 或 6
.答案
7. 8 或 7 或 6 解析:设新多边形为$n$边形,则$(n-2)×180^{\circ }=900^{\circ }$,解得$n=7$,$\therefore$原多边形的边数为 8 或 7 或 6.
解析
设新多边形为$n$边形，由多边形内角和公式可得$(n - 2)×180^{\circ}=900^{\circ}$，解得$n = 7$。
当沿对角线剪去一个角时，原多边形边数为$n + 1 = 8$；
当从一边及邻边剪去一个角时，原多边形边数为$n = 7$；
当从相邻两边剪去一个角时，原多边形边数为$n - 1 = 6$。
原多边形的边数为8或7或6。
当沿对角线剪去一个角时，原多边形边数为$n + 1 = 8$；
当从一边及邻边剪去一个角时，原多边形边数为$n = 7$；
当从相邻两边剪去一个角时，原多边形边数为$n - 1 = 6$。
原多边形的边数为8或7或6。
8. 如图所示的地面由正五边形和正$n$边形两种地砖镶嵌而成,则$∠ ABC$的度数为
$144^{\circ }$
.答案
8. $144^{\circ }$ 解析:正五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ }=540^{\circ }$,$\therefore$每个内角的度数为$540^{\circ }÷5=108^{\circ }$,$\therefore ∠ABC=360^{\circ }-2×108^{\circ }=144^{\circ }$.
解析
解：正五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，每个内角的度数为$540^{\circ}÷5=108^{\circ}$。
因为地面由正五边形和正$n$边形镶嵌而成，在点$B$处，三个内角和为$360^{\circ}$，其中两个角为正五边形的内角，所以$∠ ABC=360^{\circ}-2×108^{\circ}=144^{\circ}$。
$144^{\circ}$
因为地面由正五边形和正$n$边形镶嵌而成，在点$B$处，三个内角和为$360^{\circ}$，其中两个角为正五边形的内角，所以$∠ ABC=360^{\circ}-2×108^{\circ}=144^{\circ}$。
$144^{\circ}$
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 42^{\circ}$,$∠ ABD=\frac{1}{3}∠ ABC$,$∠ BCD=\frac{2}{3}∠ ACB$,则$∠ BDC$的度数为
$88^{\circ }$
.答案
9. $88^{\circ }$ 解析:$\because ∠A=42^{\circ }$,$\therefore ∠ABC+∠ACB=180^{\circ }-42^{\circ }=138^{\circ }$.$\because ∠ABD=\frac {1}{3}∠ABC$,$\therefore ∠CBD=\frac {2}{3}∠ABC$.$\because ∠BCD=\frac {2}{3}∠ACB$,$\therefore ∠CBD+∠BCD=\frac {2}{3}(∠ABC+∠ACB)=\frac {2}{3}×138^{\circ }=92^{\circ }$,$\therefore ∠BDC=180^{\circ }-(∠DBC+∠DCB)=88^{\circ }$.
解析
解：在$△ ABC$中，$∠ A = 42^{\circ}$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180^{\circ}-∠ A = 180^{\circ}-42^{\circ}=138^{\circ}$。
$\because ∠ ABD=\frac{1}{3}∠ ABC$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ABC - ∠ ABD=∠ ABC-\frac{1}{3}∠ ABC=\frac{2}{3}∠ ABC$。
$\because ∠ BCD=\frac{2}{3}∠ ACB$，
$\therefore ∠ CBD + ∠ BCD=\frac{2}{3}∠ ABC+\frac{2}{3}∠ ACB=\frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB)=\frac{2}{3}×138^{\circ}=92^{\circ}$。
在$△ BDC$中，$∠ BDC = 180^{\circ}-(∠ CBD + ∠ BCD)=180^{\circ}-92^{\circ}=88^{\circ}$。
故$∠ BDC$的度数为$88^{\circ}$。
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180^{\circ}-∠ A = 180^{\circ}-42^{\circ}=138^{\circ}$。
$\because ∠ ABD=\frac{1}{3}∠ ABC$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ABC - ∠ ABD=∠ ABC-\frac{1}{3}∠ ABC=\frac{2}{3}∠ ABC$。
$\because ∠ BCD=\frac{2}{3}∠ ACB$，
$\therefore ∠ CBD + ∠ BCD=\frac{2}{3}∠ ABC+\frac{2}{3}∠ ACB=\frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB)=\frac{2}{3}×138^{\circ}=92^{\circ}$。
在$△ BDC$中，$∠ BDC = 180^{\circ}-(∠ CBD + ∠ BCD)=180^{\circ}-92^{\circ}=88^{\circ}$。
故$∠ BDC$的度数为$88^{\circ}$。
10. 如图,$A$、$B$、$C$、$D$、$E$是同一平面上的五个点,则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为
$180^{\circ }$
.答案
10. $180^{\circ }$
解析:如图,延长$EB$交$AC$于点$F$.$\because ∠1=∠C+∠E$,$∠2=∠DBE+∠D$,且$∠1+∠2+∠A=180^{\circ }$,$\therefore ∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180^{\circ }$.
