三、解答题(共50分)
11. (10分)用反证法证明:$△ ABC$中至少有两个角是锐角.

11. 证明:假设一个三角形中最多有一个锐角,则另两个角为直角或钝角,故此时三角形内角和超过$180^{\circ }$,与三角形内角和定理相矛盾,故假设不成立,$\therefore △ABC$中至少有两个角是锐角.

证明：假设$△ ABC$中最多有一个锐角，则另两个角为直角或钝角。
若另两个角为直角，内角和为$∠ A + 90° + 90° = ∠ A + 180° ＞ 180°$；
若另两个角为钝角，设钝角分别为$α ＞ 90°$，$β ＞ 90°$，内角和为$∠ A + α + β ＞ ∠ A + 180° ＞ 180°$；
若一个直角一个钝角，内角和为$∠ A + 90° + β ＞ ∠ A + 180° ＞ 180°$。
以上均与三角形内角和定理（三角形内角和为$180°$）矛盾，故假设不成立，
$\therefore △ ABC$中至少有两个角是锐角。

12. (10分)如图,在四边形$ABCD$中,$E$、$F$分别是边$CD$、$BC$上的点,且$∠ ABC=∠ 1$,$∠ A+∠ 2 = 180^{\circ}$.
(1)请判断直线$AD$和直线$BE$的位置关系,并证明.
(2)若$BE$是$∠ ABC$的平分线,$AD⊥ CD$,$∠ FEC = 55^{\circ}$,求$∠ EBF$的度数.

12. (1)$AD// BE$. 证明如下:$\because ∠1=∠2+∠EBF$,$∠ABC=∠EBF+∠ABE$,$∠ABC=∠1$,$\therefore ∠ABE=∠2$.$\because ∠2+∠A=180^{\circ }$,$\therefore ∠ABE+∠A=180^{\circ }$,$\therefore AD// BE$. (2)$\because AD⊥CD$,$\therefore ∠D=90^{\circ }$.$\because AD// BE$,$\therefore ∠BEC=∠D=90^{\circ }$.$\because ∠FEC=55^{\circ }$,$\therefore ∠2=∠BEC-∠FEC=35^{\circ }$. 由(1),得$∠ABE=∠2$,$\therefore ∠ABE=35^{\circ }$.$\because BE$是$∠ABC$的平分线,$\therefore ∠EBF=∠ABE=35^{\circ }$.

13. (15分)(1)已知四边形$ABCD$如图1所示,求证:$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D = 360°$.
(2)如图2所示是一块模板,按规定,$AB$、$CD$的延长线相交成$40°$的角.因交点不在板上,质检员不便测量,于是测得$∠ BAE = 115°$,$∠ DCE = 117°$.如果你是质检员,请你判断模板是否合格? 并说明理由.

13. (1)证明:如图 1,连接$BD$.$\because ∠A+∠ABD+∠ADB=180^{\circ }$,$∠C+∠CBD+∠CDB=180^{\circ }$,$∠ABC=∠ABD+∠CBD$,$∠ADC=∠ADB+∠CDB$,$\therefore ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360^{\circ }$.

(2)不合格. 理由如下:如图 2,延长$AB$、$CD$交于点$G$.$\because AE⊥EC$,$\therefore ∠E=90^{\circ }$.$\because ∠BAE=115^{\circ }$,$∠DCE=117^{\circ }$,$\therefore ∠G=360^{\circ }-(∠BAE+∠E+∠DCE)=38^{\circ }≠40^{\circ }$,$\therefore$该模板不合格.

14. (15分)如图1是一种网红弹弓的实物图,在两头系上皮筋,拉动皮筋可形成平面示意图(如图2和图3),弹弓的两边可看成是平行的,即$AB// CD$,各活动小组探究$∠ APD$与$∠ A$、$∠ D$之间的数量关系时,有如下发现:
(1)在图2所示的图形中,若$∠ A = 30^{\circ}$,$∠ D = 35^{\circ}$,则$∠ APD$的度数为.
(2)在图3中,若$∠ A = 150^{\circ}$,$∠ APD = 60^{\circ}$,则$∠ D$的度数为.
(3)有同学在图2和图3的基础上,画出了如图4所示的图形,其中$AB// CD$,请判断$∠ α$、$∠ β$、$∠ \gamma$之间的关系,并说明理由.

14. (1)$65^{\circ }$ 解析:如图 1,过点$P$作$PQ// AB$.$\because AB// CD$,$\therefore AB// PQ// CD$,$\therefore ∠APQ=∠A=30^{\circ }$,$∠DPQ=∠D=35^{\circ }$,$\therefore ∠APD=∠APQ+∠DPQ=65^{\circ }$.

(2)$150^{\circ }$ 解析:如图 2,过点$P$作$PQ// AB$.$\because AB// CD$,$\therefore AB// PQ// CD$,$\therefore ∠APQ=180^{\circ }-∠A=30^{\circ }$,$∠D=180^{\circ }-∠DPQ$.$\because ∠APD=60^{\circ }$,$\therefore ∠DPQ=∠APD-∠APQ=30^{\circ }$,$\therefore ∠D=150^{\circ }$.

(3)$∠β=180^{\circ }-∠α+∠γ$. 理由如下:如图 3,过点$P$作$PQ// AB$.$\because AB// CD$,$\therefore AB// PQ// CD$,$\therefore ∠BPQ=180^{\circ }-∠B$,$∠DPQ=∠D$,$\therefore ∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=180^{\circ }-∠B+∠D$,$\therefore ∠β=180^{\circ }-∠α+∠γ$.