登录
三、解答题.
“校园义卖”:一次函数实际应用
【问题情境】
学校团委组织“校园义卖”活动,你所在的班级计划售卖多肉盆栽和向日葵盆栽,所得收益全部捐赠给乡村学校购买图书.
成本:每盆多肉成本8元,每盆向日葵成本12元.
售价:每盆多肉定价15元,每盆向日葵定价22元.
采购约束:班级用于采购盆栽的资金共360元,要求两种盆栽至少各采购10盆.
固定支出:义卖当天需要制作宣传海报、包装材料等,共花费40元.
你的任务是通过函数分析,制订最优采购方案,让本次义卖的捐款金额最大化.
【解决问题】
(1)在不受资金360元的限制下,若班级计划共采购40盆盆栽,要让捐款金额达到300元,需要采购多少盆多肉?
(2)设采购x盆多肉,义卖总利润(即捐款金额)为y元,请写出y与x的函数关系式,并标明x的取值范围和y的最大值.
“校园义卖”:一次函数实际应用
【问题情境】
学校团委组织“校园义卖”活动,你所在的班级计划售卖多肉盆栽和向日葵盆栽,所得收益全部捐赠给乡村学校购买图书.
成本:每盆多肉成本8元,每盆向日葵成本12元.
售价:每盆多肉定价15元,每盆向日葵定价22元.
采购约束:班级用于采购盆栽的资金共360元,要求两种盆栽至少各采购10盆.
固定支出:义卖当天需要制作宣传海报、包装材料等,共花费40元.
你的任务是通过函数分析,制订最优采购方案,让本次义卖的捐款金额最大化.
【解决问题】
(1)在不受资金360元的限制下,若班级计划共采购40盆盆栽,要让捐款金额达到300元,需要采购多少盆多肉?
(2)设采购x盆多肉,义卖总利润(即捐款金额)为y元,请写出y与x的函数关系式,并标明x的取值范围和y的最大值.
答案
(1)多肉每盆利润 15-8=7 元,向日葵每盆利润22-12=10 元. 若共采购 40 盆盆栽,设采购 x盆多肉,则向日葵数量为 40-x,总利润满足:7x+10(40-x)-40=300,解得 x=20,采购 20盆多肉、20 盆向日葵时,总利润为 300 元,满足目标要求.
(2)采购 x 盆多肉时,剩余采购金为 360-8x 元,因此向日葵最大采购量为$\frac{360-8x}{12}=30-\frac{2x}{3}$盆,因此函数关系式为:$y=7x+10(30-\frac{2x}{3})-40=\frac{1}{3}x+$260,$10≤x≤30$,且 x 为整数. 当 x=30 时,$y_{max}$=270元
(2)采购 x 盆多肉时,剩余采购金为 360-8x 元,因此向日葵最大采购量为$\frac{360-8x}{12}=30-\frac{2x}{3}$盆,因此函数关系式为:$y=7x+10(30-\frac{2x}{3})-40=\frac{1}{3}x+$260,$10≤x≤30$,且 x 为整数. 当 x=30 时,$y_{max}$=270元
解析
【分析】
本题是一次函数与一元一次方程结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 先计算每盆多肉和向日葵的单盆利润，设采购多肉的数量为未知数，根据“总利润=多肉总利润+向日葵总利润-固定支出”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 首先根据采购总资金和“两种盆栽至少各采购10盆”的约束条件，确定自变量x的取值范围；再根据总利润的计算方式列出y与x的函数关系式，结合一次函数的增减性即可求出y的最大值。
【解析】
(1) 先计算单盆利润：
每盆多肉的利润为 $15-8=7$ 元，每盆向日葵的利润为 $22-12=10$ 元。
设采购x盆多肉，则采购向日葵的数量为 $40-x$ 盆，根据总捐款金额为300元列方程：
$7x + 10(40-x) - 40 = 300$
展开得：$7x + 400 -10x -40 = 300$
合并同类项得：$-3x + 360 = 300$
移项解得：$x=20$
即需要采购20盆多肉。
(2) 已知采购x盆多肉，采购总资金为360元，则可采购向日葵的数量为 $\frac{360-8x}{12}=30-\frac{2x}{3}$ 盆。
根据约束条件：两种盆栽至少各采购10盆，可得：
① $x≥10$
② $30-\frac{2x}{3}≥10$，解得 $x≤30$
因此x的取值范围为 $10≤ x≤30$，且x为整数。
总利润y的表达式为：
$y=7x + 10×(30-\frac{2x}{3}) - 40$
化简得：$y=\frac{1}{3}x + 260$
因为一次函数中 $k=\frac{1}{3}＞0$，所以y随x的增大而增大，因此当x取最大值30时，y取得最大值：
$y_{max}=\frac{1}{3}×30 + 260 = 270$ 元
【答案】
(1) 需要采购20盆多肉；
(2) $y=\frac{1}{3}x + 260$（$10≤ x≤30$，且x为整数），y的最大值为270元。
【知识点】
一元一次方程的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合校园义卖的生活情境，考查方程与函数在实际最优方案问题中的应用，解题的核心是理清利润的计算逻辑，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实约束，掌握一次函数的增减性是求最值的关键。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与一元一次方程结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 先计算每盆多肉和向日葵的单盆利润，设采购多肉的数量为未知数，根据“总利润=多肉总利润+向日葵总利润-固定支出”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 首先根据采购总资金和“两种盆栽至少各采购10盆”的约束条件，确定自变量x的取值范围；再根据总利润的计算方式列出y与x的函数关系式，结合一次函数的增减性即可求出y的最大值。
【解析】
(1) 先计算单盆利润：
每盆多肉的利润为 $15-8=7$ 元，每盆向日葵的利润为 $22-12=10$ 元。
设采购x盆多肉，则采购向日葵的数量为 $40-x$ 盆，根据总捐款金额为300元列方程：
$7x + 10(40-x) - 40 = 300$
展开得：$7x + 400 -10x -40 = 300$
合并同类项得：$-3x + 360 = 300$
移项解得：$x=20$
即需要采购20盆多肉。
(2) 已知采购x盆多肉，采购总资金为360元，则可采购向日葵的数量为 $\frac{360-8x}{12}=30-\frac{2x}{3}$ 盆。
根据约束条件：两种盆栽至少各采购10盆，可得：
① $x≥10$
② $30-\frac{2x}{3}≥10$，解得 $x≤30$
因此x的取值范围为 $10≤ x≤30$，且x为整数。
总利润y的表达式为：
$y=7x + 10×(30-\frac{2x}{3}) - 40$
化简得：$y=\frac{1}{3}x + 260$
因为一次函数中 $k=\frac{1}{3}＞0$，所以y随x的增大而增大，因此当x取最大值30时，y取得最大值：
$y_{max}=\frac{1}{3}×30 + 260 = 270$ 元
【答案】
(1) 需要采购20盆多肉；
(2) $y=\frac{1}{3}x + 260$（$10≤ x≤30$，且x为整数），y的最大值为270元。
【知识点】
一元一次方程的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合校园义卖的生活情境，考查方程与函数在实际最优方案问题中的应用，解题的核心是理清利润的计算逻辑，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实约束，掌握一次函数的增减性是求最值的关键。
【难度系数】
0.7
如图所示是一个由6个正方形组成的大矩形，若中间最小的一个正方形的边长为1，你能求出这个大矩形的面积吗？
答案
解：设右下角两个大小相等的正方形的边长为x，
则其余四个正方形的边长从小到大依次为x，x+1，x+2，x+3。
根据大矩形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+3)+(x+2) = x + x + (x+1)$
解得：$x=4$。
大矩形的长为：$x + x + (x+1) = 4+4+5=13$，
大矩形的宽为：$(x+3)+x = 7+4=11$，
大矩形的面积为：$13×11=143$。
答：这个大矩形的面积为143。
则其余四个正方形的边长从小到大依次为x，x+1，x+2，x+3。
根据大矩形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+3)+(x+2) = x + x + (x+1)$
解得：$x=4$。
大矩形的长为：$x + x + (x+1) = 4+4+5=13$，
大矩形的宽为：$(x+3)+x = 7+4=11$，
大矩形的面积为：$13×11=143$。
答：这个大矩形的面积为143。
解析
【分析】解题时先观察图形特征，发现右下角两个正方形边长相等，我们可以将其边长设为未知数x，再结合最小正方形边长为1，依次用含x的式子表示出其他正方形的边长；之后利用矩形对边长度相等的性质列出一元一次方程，解出未知数后即可求得大矩形的长和宽，最终计算出面积。
【解析】设右下角两个大小相等的正方形的边长为x，结合最小正方形边长为1，可得其余四个正方形的边长从小到大依次为x，x+1，x+2，x+3。
根据大矩形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+3)+(x+2) = x + x + (x+1)$
解得：$x=4$
大矩形的长为：$x + x + (x+1) = 4+4+5=13$
大矩形的宽为：$(x+3)+x = 7+4=11$
大矩形的面积为：$13×11=143$
【答案】143
【知识点】一元一次方程的应用；正方形的性质；矩形的性质
【点评】本题是几何与代数结合的典型习题，解题核心是通过观察图形找到边长等量关系，合理设未知数列方程求解，能很好地锻炼学生的图形观察能力和数形结合思维。
【难度系数】0.6
【解析】设右下角两个大小相等的正方形的边长为x，结合最小正方形边长为1，可得其余四个正方形的边长从小到大依次为x，x+1，x+2，x+3。
根据大矩形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+3)+(x+2) = x + x + (x+1)$
解得：$x=4$
大矩形的长为：$x + x + (x+1) = 4+4+5=13$
大矩形的宽为：$(x+3)+x = 7+4=11$
大矩形的面积为：$13×11=143$
【答案】143
【知识点】一元一次方程的应用；正方形的性质；矩形的性质
【点评】本题是几何与代数结合的典型习题，解题核心是通过观察图形找到边长等量关系，合理设未知数列方程求解，能很好地锻炼学生的图形观察能力和数形结合思维。
【难度系数】0.6
