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9.(2025·如皋月考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$M$是直线$y=-2x$上的动点,过点$M$作$MN⊥x$轴,交直线$y=x$于点$N$,当$MN≤6$时,设点$M$的横坐标为$m$,则$m$的取值范围为________.
答案
9.$-2≤m≤2$
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，根据点M的横坐标为m，结合M在正比例函数y=-2x上，可写出M的坐标；第二步，由MN垂直x轴可知N点横坐标和M相同，再结合N在y=x上，可写出N的坐标；第三步，横坐标相同的两点的线段长度等于纵坐标差的绝对值，据此写出MN的长度表达式，结合MN≤6列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点M的横坐标为m，且在直线y=-2x上，
∴点M的坐标为$\boldsymbol{(m, -2m)}$，
∵$MN⊥ x$轴，交直线$y=x$于点N，
∴点N的横坐标也为m，代入$y=x$得N点坐标为$\boldsymbol{(m, m)}$，
∵MN是横坐标相同的两点间的竖直线段，
∴$MN=|y_M - y_N|=|-2m - m|=|{-3m}|=3|m|$，
根据题意$MN≤6$，可得：
$3|m|≤6$，
化简得$|m|≤2$，
解得$-2≤ m≤2$。
【答案】
$-2≤ m≤2$
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；坐标系线段长度计算；绝对值不等式求解
【点评】
本题是正比例函数的基础应用类题型，解题的核心是熟练掌握正比例函数上点的坐标的求法，以及横坐标相同的点之间的线段长度的计算方法，注意求线段长度时要使用绝对值避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，根据点M的横坐标为m，结合M在正比例函数y=-2x上，可写出M的坐标；第二步，由MN垂直x轴可知N点横坐标和M相同，再结合N在y=x上，可写出N的坐标；第三步，横坐标相同的两点的线段长度等于纵坐标差的绝对值，据此写出MN的长度表达式，结合MN≤6列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点M的横坐标为m，且在直线y=-2x上，
∴点M的坐标为$\boldsymbol{(m, -2m)}$，
∵$MN⊥ x$轴，交直线$y=x$于点N，
∴点N的横坐标也为m，代入$y=x$得N点坐标为$\boldsymbol{(m, m)}$，
∵MN是横坐标相同的两点间的竖直线段，
∴$MN=|y_M - y_N|=|-2m - m|=|{-3m}|=3|m|$，
根据题意$MN≤6$，可得：
$3|m|≤6$，
化简得$|m|≤2$，
解得$-2≤ m≤2$。
【答案】
$-2≤ m≤2$
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；坐标系线段长度计算；绝对值不等式求解
【点评】
本题是正比例函数的基础应用类题型，解题的核心是熟练掌握正比例函数上点的坐标的求法，以及横坐标相同的点之间的线段长度的计算方法，注意求线段长度时要使用绝对值避免符号错误。
【难度系数】
0.7
10.(2025·靖江期末)如图,在平面直角坐标系中,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}A_{2},A_{2}B_{2}C_{2}A_{3},A_{3}B_{3}C_{3}A_{4},···$的顶点$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},···$都在$x$轴的正半轴上,顶点$B_{1},B_{2},B_{3},···$都在直线$y=x$上.若点$A_{1}$的坐标为$(1,0)$,则点$C_{2025}$的坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
10.$(2^{2025},2^{2024})$
解析
【分析】
解题时先利用直线y=x上点的横纵坐标相等的性质，结合正方形边长相等的特点，从已知的$A_1$坐标出发，依次求出前几个点$C_1$、$C_2$、$C_3$的坐标，再归纳总结出$C_n$的坐标规律，最后代入n=2025即可得到结果。
【解析】
∵ 点$A_1$的坐标为$(1,0)$，点$B_1$在直线$y=x$上，直线$y=x$上的点横纵坐标相等，
∴ $B_1$的横坐标为1，纵坐标也为1，即正方形$A_1B_1C_1A_2$的边长为1，
∴ $A_2$的坐标为$(1+1,0)=(2,0)$，点$C_1$的坐标为$(2,1)=(2^1,2^0)$；
同理，$B_2$的横坐标为$A_2$的横坐标2，纵坐标也为2，即正方形$A_2B_2C_2A_3$的边长为2，
∴ $A_3$的坐标为$(2+2,0)=(4,0)$，点$C_2$的坐标为$(4,2)=(2^2,2^1)$；
$B_3$的横坐标为$A_3$的横坐标4，纵坐标也为4，即正方形$A_3B_3C_3A_4$的边长为4，
∴ $A_4$的坐标为$(4+4,0)=(8,0)$，点$C_3$的坐标为$(8,4)=(2^3,2^2)$；
综上可归纳规律：第$n$个点$C_n$的坐标为$(2^n, 2^{n-1})$，
当$n=2025$时，$C_{2025}$的坐标为$(2^{2025}, 2^{2024})$。
【答案】
$\boxed{(2^{2025},2^{2024})}$
【知识点】
正比例函数的性质，图形与坐标，规律探究
【点评】
本题是规律探究类题型，结合了正比例函数的图像特征和正方形的性质，解题的核心是通过计算前几个特殊点的坐标，总结出通用的坐标变化规律，考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用直线y=x上点的横纵坐标相等的性质，结合正方形边长相等的特点，从已知的$A_1$坐标出发，依次求出前几个点$C_1$、$C_2$、$C_3$的坐标，再归纳总结出$C_n$的坐标规律，最后代入n=2025即可得到结果。
【解析】
∵ 点$A_1$的坐标为$(1,0)$，点$B_1$在直线$y=x$上，直线$y=x$上的点横纵坐标相等，
∴ $B_1$的横坐标为1，纵坐标也为1，即正方形$A_1B_1C_1A_2$的边长为1，
∴ $A_2$的坐标为$(1+1,0)=(2,0)$，点$C_1$的坐标为$(2,1)=(2^1,2^0)$；
同理，$B_2$的横坐标为$A_2$的横坐标2，纵坐标也为2，即正方形$A_2B_2C_2A_3$的边长为2，
∴ $A_3$的坐标为$(2+2,0)=(4,0)$，点$C_2$的坐标为$(4,2)=(2^2,2^1)$；
$B_3$的横坐标为$A_3$的横坐标4，纵坐标也为4，即正方形$A_3B_3C_3A_4$的边长为4，
∴ $A_4$的坐标为$(4+4,0)=(8,0)$，点$C_3$的坐标为$(8,4)=(2^3,2^2)$；
综上可归纳规律：第$n$个点$C_n$的坐标为$(2^n, 2^{n-1})$，
当$n=2025$时，$C_{2025}$的坐标为$(2^{2025}, 2^{2024})$。
【答案】
$\boxed{(2^{2025},2^{2024})}$
【知识点】
正比例函数的性质，图形与坐标，规律探究
【点评】
本题是规律探究类题型，结合了正比例函数的图像特征和正方形的性质，解题的核心是通过计算前几个特殊点的坐标，总结出通用的坐标变化规律，考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
11.(2025·江宁区月考)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(1,2)$,B 是正比例函数$y=x$图象上一动点,C 是 y 轴上一动点,求$△ ABC$周长的最小值.
答案
11.解:作点 A 关于直线$y=x$的对称点 P,关于 y 轴的对称点Q,连接 PQ 交直线$y=x$于点 B,交 y 轴于点 C,如答图.
$\because AC=CQ,BP=AB,$
$\therefore C_{△ ABC}=AC+CB+AB=CQ+CB+BP,$
$\therefore$ 当 P,B,C,Q 四点共线时,
$CQ+CB+BP$的值最小,即$△ ABC$的周长最小,最小值为 PQ 的长度.
由$A(1,2)$知$Q(-1,2),P(2,1),$
$\therefore PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10},$
$\therefore △ ABC$周长的最小值为$\sqrt{10}.$
解析
【分析】
本题属于动点构成的三角形周长最小值求解的最短路径类问题，解题思路如下：①$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC$，点$B$在$y=x$上、点$C$在$y$轴上均为动点，要使三条线段的和最小，需要借助轴对称的性质，将分散的线段转化到同一条直线上；②分别作点$A$关于直线$y=x$的对称点$P$、关于$y$轴的对称点$Q$，根据轴对称性质可得$AB=BP$、$AC=CQ$，此时周长可转化为$CQ+CB+BP$；③根据“两点之间线段最短”，当$P、B、C、Q$四点共线时，$CQ+CB+BP$的和最小，最小值就是线段$PQ$的长度，最后计算$PQ$的长度即可得到$△ ABC$周长的最小值。
【解析】
作点$A$关于直线$y=x$的对称点$P$，关于$y$轴的对称点$Q$，连接$PQ$交直线$y=x$于点$B$，交$y$轴于点$C$，如答图。
根据轴对称的性质可知：$AC=CQ$，$BP=AB$，
因此$△ ABC$的周长$C_{△ ABC}=AC+CB+AB=CQ+CB+BP$。
根据两点之间线段最短，当$P、B、C、Q$四点共线时，$CQ+CB+BP$的值最小，即$△ ABC$的周长最小，最小值为$PQ$的长度。
已知点$A$的坐标为$(1,2)$，根据关于$y$轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，可得$Q$点坐标为$(-1,2)$；根据关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换，可得$P$点坐标为$(2,1)$。
根据勾股定理，$PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$△ ABC$周长的最小值为$\sqrt{10}$。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题核心是利用轴对称转化线段，将动态的周长最小值问题转化为静态的两点间距离计算，解题的关键是准确找到两个对称点的坐标，同时要熟练掌握不同对称方式下点的坐标变化规律，以及勾股定理在平面直角坐标系中求线段长度的应用。
【难度系数】
0.6
本题属于动点构成的三角形周长最小值求解的最短路径类问题，解题思路如下：①$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC$，点$B$在$y=x$上、点$C$在$y$轴上均为动点，要使三条线段的和最小，需要借助轴对称的性质，将分散的线段转化到同一条直线上；②分别作点$A$关于直线$y=x$的对称点$P$、关于$y$轴的对称点$Q$，根据轴对称性质可得$AB=BP$、$AC=CQ$，此时周长可转化为$CQ+CB+BP$；③根据“两点之间线段最短”，当$P、B、C、Q$四点共线时，$CQ+CB+BP$的和最小，最小值就是线段$PQ$的长度，最后计算$PQ$的长度即可得到$△ ABC$周长的最小值。
【解析】
作点$A$关于直线$y=x$的对称点$P$，关于$y$轴的对称点$Q$，连接$PQ$交直线$y=x$于点$B$，交$y$轴于点$C$，如答图。
根据轴对称的性质可知：$AC=CQ$，$BP=AB$，
因此$△ ABC$的周长$C_{△ ABC}=AC+CB+AB=CQ+CB+BP$。
根据两点之间线段最短，当$P、B、C、Q$四点共线时，$CQ+CB+BP$的值最小，即$△ ABC$的周长最小，最小值为$PQ$的长度。
已知点$A$的坐标为$(1,2)$，根据关于$y$轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，可得$Q$点坐标为$(-1,2)$；根据关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换，可得$P$点坐标为$(2,1)$。
根据勾股定理，$PQ=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$△ ABC$周长的最小值为$\sqrt{10}$。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题核心是利用轴对称转化线段，将动态的周长最小值问题转化为静态的两点间距离计算，解题的关键是准确找到两个对称点的坐标，同时要熟练掌握不同对称方式下点的坐标变化规律，以及勾股定理在平面直角坐标系中求线段长度的应用。
【难度系数】
0.6
12.(2025·玄武区期末)如图,在平面直角坐标系中,点$A(0,4),B(-2,0)$,点$D$在第一象限内,$AD=6,AD// x$轴,$DC// AB$交$x$轴于点$C$.
(1)求四边形$ABCD$的面积.
(2)直线$y=x$交$AD$于点$E$,点$P$在线段$OE$上.
①若$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$,求点$P$的坐标;
②设$m=PC+PD$,直接写出$m$的最小值.
(1)求四边形$ABCD$的面积.
(2)直线$y=x$交$AD$于点$E$,点$P$在线段$OE$上.
①若$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$,求点$P$的坐标;
②设$m=PC+PD$,直接写出$m$的最小值.
答案
12.解:(1)$\because$点$A(0,4),B(-2,0)$,点 D 在第一象限内，
$AD=6,AD// x$轴,$DC// AB$交$x$轴于点 C，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$D(6,4),C(4,0)$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24.$
(2)①在$y=x$中,当$y=4$时,$x=4$，
$\therefore E(4,4),DE=2.$
$\because S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12,$
$\therefore S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×12=6.$
设$P(a,a),\because S_{△ PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△ POC}-S_{△ PED}=6,$
$\therefore \frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4× a-\frac{1}{2}×2×(4-a)=6,$
解得$a=2,\therefore P(2,2).$
②$\because A(0,4),C(4,0),\therefore$点 A,C 关于直线$y=x$对称.
$\because AD$交直线$y=x$于点 E，
$\therefore$当点 P 在点 E 处时,$PD+PC$取最小值，
$\therefore m=ED+EC=ED+AE=AD=6,$
$\therefore m$的最小值为 6.
$AD=6,AD// x$轴,$DC// AB$交$x$轴于点 C，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$D(6,4),C(4,0)$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24.$
(2)①在$y=x$中,当$y=4$时,$x=4$，
$\therefore E(4,4),DE=2.$
$\because S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12,$
$\therefore S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×12=6.$
设$P(a,a),\because S_{△ PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△ POC}-S_{△ PED}=6,$
$\therefore \frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4× a-\frac{1}{2}×2×(4-a)=6,$
解得$a=2,\therefore P(2,2).$
②$\because A(0,4),C(4,0),\therefore$点 A,C 关于直线$y=x$对称.
$\because AD$交直线$y=x$于点 E，
$\therefore$当点 P 在点 E 处时,$PD+PC$取最小值，
$\therefore m=ED+EC=ED+AE=AD=6,$
$\therefore m$的最小值为 6.
解析
【分析】
(1) 先根据两组对边分别平行判定四边形ABCD是平行四边形，结合已知点坐标求出D、C的坐标，再利用平行四边形面积公式（底×高）计算面积即可。
(2) ① 先求出直线$y=x$与AD的交点E坐标，再算出$△ BCD$的面积，进而得到$△ PCD$的面积；设P点坐标为$(a,a)$，用割补法表示出$△ PCD$的面积，列方程求解即可得到P点坐标。
② 要找$PC+PD$的最小值，利用直线$y=x$的对称性可知点C关于$y=x$的对称点是A，根据两点之间线段最短，当P落在AD与$y=x$的交点处时，$PC+PD$取得最小值。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(0,4)$，$AD// x$轴且$AD=6$，点D在第一象限，$\therefore D(6,4)$。
又$\because DC// AB$，$AD// BC$，$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形。
$\because B(-2,0)$，$\therefore BC=AD=6$，可得$C(4,0)$。
平行四边形的高为AO的长度4，底$AD=6$，$\therefore S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24$。
(2) ① 直线$y=x$交AD于E，AD上点的纵坐标均为4，将$y=4$代入$y=x$得$x=4$，$\therefore E(4,4)$，$DE=6-4=2$。
$\because △ BCD$的面积是平行四边形ABCD面积的一半，$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×24=12$，则$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=6$。
设$P(a,a)$，用割补法计算：
$S_{△ PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△ POC}-S_{△ PED}$
$=\frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4·a-\frac{1}{2}×2·(4-a)=6$
化简得$8-a=6$，解得$a=2$，$\therefore P(2,2)$。
② $\because$ 点$A(0,4)$、$C(4,0)$关于直线$y=x$对称，$\therefore$ 对$y=x$上任意点P都有$PC=PA$，则$PC+PD=PA+PD$。
根据两点之间线段最短，$PA+PD$的最小值为AD的长度，$AD=6$，即m的最小值为6。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) ① $\boxed{(2,2)}$；② $\boxed{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，正比例函数的性质，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形性质、面积计算和最短路径问题，需要熟练掌握相关几何性质，会用割补法求解坐标系内图形面积，同时能利用轴对称性质解决线段和的最小值问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据两组对边分别平行判定四边形ABCD是平行四边形，结合已知点坐标求出D、C的坐标，再利用平行四边形面积公式（底×高）计算面积即可。
(2) ① 先求出直线$y=x$与AD的交点E坐标，再算出$△ BCD$的面积，进而得到$△ PCD$的面积；设P点坐标为$(a,a)$，用割补法表示出$△ PCD$的面积，列方程求解即可得到P点坐标。
② 要找$PC+PD$的最小值，利用直线$y=x$的对称性可知点C关于$y=x$的对称点是A，根据两点之间线段最短，当P落在AD与$y=x$的交点处时，$PC+PD$取得最小值。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(0,4)$，$AD// x$轴且$AD=6$，点D在第一象限，$\therefore D(6,4)$。
又$\because DC// AB$，$AD// BC$，$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形。
$\because B(-2,0)$，$\therefore BC=AD=6$，可得$C(4,0)$。
平行四边形的高为AO的长度4，底$AD=6$，$\therefore S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24$。
(2) ① 直线$y=x$交AD于E，AD上点的纵坐标均为4，将$y=4$代入$y=x$得$x=4$，$\therefore E(4,4)$，$DE=6-4=2$。
$\because △ BCD$的面积是平行四边形ABCD面积的一半，$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×24=12$，则$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=6$。
设$P(a,a)$，用割补法计算：
$S_{△ PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△ POC}-S_{△ PED}$
$=\frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4·a-\frac{1}{2}×2·(4-a)=6$
化简得$8-a=6$，解得$a=2$，$\therefore P(2,2)$。
② $\because$ 点$A(0,4)$、$C(4,0)$关于直线$y=x$对称，$\therefore$ 对$y=x$上任意点P都有$PC=PA$，则$PC+PD=PA+PD$。
根据两点之间线段最短，$PA+PD$的最小值为AD的长度，$AD=6$，即m的最小值为6。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) ① $\boxed{(2,2)}$；② $\boxed{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，正比例函数的性质，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形性质、面积计算和最短路径问题，需要熟练掌握相关几何性质，会用割补法求解坐标系内图形面积，同时能利用轴对称性质解决线段和的最小值问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
