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三、解答题
11. 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) $2\dfrac{7}{9}$；
(2) $(-\dfrac{2}{5})^2$；
(3) $\sqrt[3]{729}$.
11. 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1) $2\dfrac{7}{9}$；
(2) $(-\dfrac{2}{5})^2$；
(3) $\sqrt[3]{729}$.
答案
11. (1) $\pm\dfrac{5}{3}\quad\dfrac{5}{3}$ (2) $\pm\dfrac{2}{5}\quad\dfrac{2}{5}$ (3) $\pm3\quad3$
解析
【分析】
解题前先明确核心概念：若一个数$x$的平方等于$a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，其中正数的平方根有两个，互为相反数；正的平方根就是$a$的算术平方根。解题步骤：第一步先将每个小题所给的数化简为最简正有理数，第二步根据平方根和算术平方根的定义分别求解即可，注意第三小题需要先计算立方根，再对得到的结果求平方根和算术平方根。
【解析】
(1) 先化简带分数：$2\dfrac{7}{9}=\dfrac{2×9+7}{9}=\dfrac{25}{9}$
因为 $(\pm\dfrac{5}{3})^2=\dfrac{25}{9}$，所以$\dfrac{25}{9}$的平方根为$\pm\dfrac{5}{3}$，算术平方根为$\dfrac{5}{3}$。
(2) 先计算平方运算：$(-\dfrac{2}{5})^2=\dfrac{4}{25}$
因为 $(\pm\dfrac{2}{5})^2=\dfrac{4}{25}$，所以$\dfrac{4}{25}$的平方根为$\pm\dfrac{2}{5}$，算术平方根为$\dfrac{2}{5}$。
(3) 先计算立方根：$\sqrt[3]{729}=9$（$9^3=729$）
因为 $(\pm3)^2=9$，所以$9$的平方根为$\pm3$，算术平方根为$3$。
【答案】
(1) 平方根：$\pm\dfrac{5}{3}$，算术平方根：$\dfrac{5}{3}$
(2) 平方根：$\pm\dfrac{2}{5}$，算术平方根：$\dfrac{2}{5}$
(3) 平方根：$\pm3$，算术平方根：$3$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，立方根运算
【点评】
本题主要考查平方根与算术平方根的辨析计算，解题时需先将原式化简后再求根，注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根，遇到含有根式的题目要先完成已有根式的计算再进一步求解。
【难度系数】
0.7
解题前先明确核心概念：若一个数$x$的平方等于$a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，其中正数的平方根有两个，互为相反数；正的平方根就是$a$的算术平方根。解题步骤：第一步先将每个小题所给的数化简为最简正有理数，第二步根据平方根和算术平方根的定义分别求解即可，注意第三小题需要先计算立方根，再对得到的结果求平方根和算术平方根。
【解析】
(1) 先化简带分数：$2\dfrac{7}{9}=\dfrac{2×9+7}{9}=\dfrac{25}{9}$
因为 $(\pm\dfrac{5}{3})^2=\dfrac{25}{9}$，所以$\dfrac{25}{9}$的平方根为$\pm\dfrac{5}{3}$，算术平方根为$\dfrac{5}{3}$。
(2) 先计算平方运算：$(-\dfrac{2}{5})^2=\dfrac{4}{25}$
因为 $(\pm\dfrac{2}{5})^2=\dfrac{4}{25}$，所以$\dfrac{4}{25}$的平方根为$\pm\dfrac{2}{5}$，算术平方根为$\dfrac{2}{5}$。
(3) 先计算立方根：$\sqrt[3]{729}=9$（$9^3=729$）
因为 $(\pm3)^2=9$，所以$9$的平方根为$\pm3$，算术平方根为$3$。
【答案】
(1) 平方根：$\pm\dfrac{5}{3}$，算术平方根：$\dfrac{5}{3}$
(2) 平方根：$\pm\dfrac{2}{5}$，算术平方根：$\dfrac{2}{5}$
(3) 平方根：$\pm3$，算术平方根：$3$
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，立方根运算
【点评】
本题主要考查平方根与算术平方根的辨析计算，解题时需先将原式化简后再求根，注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根，遇到含有根式的题目要先完成已有根式的计算再进一步求解。
【难度系数】
0.7
12. 计算：
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} - \sqrt{0.5^2}$；
(2) $\sqrt{41^2 - 40^2}$。
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} - \sqrt{0.5^2}$；
(2) $\sqrt{41^2 - 40^2}$。
答案
12. (1) $-2$ (2) $9$
解析
【分析】
(1) 本题为实数的加减混合运算，解题时先分别计算每一项的开方结果，再按从左到右的顺序做加减即可。需要注意算术平方根的结果是非负数，立方根的符号与被开方数一致。
(2) 本题是带根号的平方差运算，有两种解题思路：一是先直接算出根号内两个平方的差值，再对差值开算术平方根；二是先用平方差公式简化根号内的运算，再开算术平方根，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{0.5^2}=|0.5|=0.5$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{2} - 2 - 0.5\\&=(\dfrac{1}{2} - 0.5) - 2\\&=0 - 2\\&=-2\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式简化计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{(41-40)×(41+40)}\\&=\sqrt{1×81}\\&=\sqrt{81}\\&=9\end{aligned}$
也可先算平方再求差：$41^2-40^2=1681-1600=81$，再开算术平方根得$\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握开方运算的规则，尤其要注意算术平方根的结果恒为非负数，避免出现符号错误，计算时合理运用运算公式可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为实数的加减混合运算，解题时先分别计算每一项的开方结果，再按从左到右的顺序做加减即可。需要注意算术平方根的结果是非负数，立方根的符号与被开方数一致。
(2) 本题是带根号的平方差运算，有两种解题思路：一是先直接算出根号内两个平方的差值，再对差值开算术平方根；二是先用平方差公式简化根号内的运算，再开算术平方根，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{0.5^2}=|0.5|=0.5$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{2} - 2 - 0.5\\&=(\dfrac{1}{2} - 0.5) - 2\\&=0 - 2\\&=-2\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式简化计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{(41-40)×(41+40)}\\&=\sqrt{1×81}\\&=\sqrt{81}\\&=9\end{aligned}$
也可先算平方再求差：$41^2-40^2=1681-1600=81$，再开算术平方根得$\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握开方运算的规则，尤其要注意算术平方根的结果恒为非负数，避免出现符号错误，计算时合理运用运算公式可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
13. 解下列方程：
(1) $(2x - 15)^2 = 49$；
(2) $2(x - 1)^3 = -\dfrac{125}{4}$。
(1) $(2x - 15)^2 = 49$；
(2) $2(x - 1)^3 = -\dfrac{125}{4}$。
答案
13. (1) $x=4$或$x=11$ (2) $x=-\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查利用平方根、立方根的性质求解方程。对于第(1)题，方程左边是完全平方形式，右边是正数，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此先对等式两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到两个解；对于第(2)题，先将方程变形为左边是含未知数的立方项、右边是常数的形式，再根据立方根的性质，任意实数都有唯一的立方根，对等式两边开立方，再解一元一次方程即可得到唯一解。
【解析】
(1) 对$(2x - 15)^2 = 49$两边开平方，得：
$2x - 15 = 7$ 或 $2x - 15 = -7$
当$2x - 15 = 7$时，移项得$2x = 15 + 7 = 22$，解得$x = 11$；
当$2x - 15 = -7$时，移项得$2x = 15 - 7 = 8$，解得$x = 4$。
(2) 对$2(x - 1)^3 = -\dfrac{125}{4}$，两边同时除以2，得：
$(x - 1)^3 = -\dfrac{125}{8}$
两边开立方，得：
$x - 1 = -\dfrac{5}{2}$
移项解得$x = 1 - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=4$或$x=11$；(2) $x=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是利用开方运算解方程的基础题型，解题时要注意开平方运算会得到两个互为相反数的结果，不要漏解，开立方运算结果唯一，计算过程中注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.8
本题考查利用平方根、立方根的性质求解方程。对于第(1)题，方程左边是完全平方形式，右边是正数，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此先对等式两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到两个解；对于第(2)题，先将方程变形为左边是含未知数的立方项、右边是常数的形式，再根据立方根的性质，任意实数都有唯一的立方根，对等式两边开立方，再解一元一次方程即可得到唯一解。
【解析】
(1) 对$(2x - 15)^2 = 49$两边开平方，得：
$2x - 15 = 7$ 或 $2x - 15 = -7$
当$2x - 15 = 7$时，移项得$2x = 15 + 7 = 22$，解得$x = 11$；
当$2x - 15 = -7$时，移项得$2x = 15 - 7 = 8$，解得$x = 4$。
(2) 对$2(x - 1)^3 = -\dfrac{125}{4}$，两边同时除以2，得：
$(x - 1)^3 = -\dfrac{125}{8}$
两边开立方，得：
$x - 1 = -\dfrac{5}{2}$
移项解得$x = 1 - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=4$或$x=11$；(2) $x=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是利用开方运算解方程的基础题型，解题时要注意开平方运算会得到两个互为相反数的结果，不要漏解，开立方运算结果唯一，计算过程中注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.8
14. 已知$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，$3a + b + 2$的立方根是$3$，求$a + 2b$的平方根。
答案
14. $\pm5$
解析
【分析】
解题的核心是利用平方根、立方根的定义建立方程求解未知数。首先，若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²，据此可先列关于a的一元一次方程求出a的值；其次，若一个数的立方根是n，那么这个数等于n³，将求出的a代入可列关于b的方程求出b的值；最后计算a+2b的值，再求其平方根即可。
【解析】
解：
∵$2a - 1$的平方根是$\pm 3$
∴$2a - 1 = (\pm3)^2 = 9$
解得：$2a = 10$，$a = 5$
又
∵$3a + b + 2$的立方根是$3$
∴$3a + b + 2 = 3^3 = 27$
把$a=5$代入上式得：$3×5 + b + 2 = 27$
即$17 + b = 27$，解得$b = 10$
∴$a + 2b = 5 + 2×10 = 25$
∵25的平方根是$\pm5$
∴$a + 2b$的平方根是$\pm5$
【答案】
$\pm5$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握平方根、立方根的定义，根据定义建立方程求出未知参数的值，再代入计算即可。需要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用平方根、立方根的定义建立方程求解未知数。首先，若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²，据此可先列关于a的一元一次方程求出a的值；其次，若一个数的立方根是n，那么这个数等于n³，将求出的a代入可列关于b的方程求出b的值；最后计算a+2b的值，再求其平方根即可。
【解析】
解：
∵$2a - 1$的平方根是$\pm 3$
∴$2a - 1 = (\pm3)^2 = 9$
解得：$2a = 10$，$a = 5$
又
∵$3a + b + 2$的立方根是$3$
∴$3a + b + 2 = 3^3 = 27$
把$a=5$代入上式得：$3×5 + b + 2 = 27$
即$17 + b = 27$，解得$b = 10$
∴$a + 2b = 5 + 2×10 = 25$
∵25的平方根是$\pm5$
∴$a + 2b$的平方根是$\pm5$
【答案】
$\pm5$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握平方根、立方根的定义，根据定义建立方程求出未知参数的值，再代入计算即可。需要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
15. 若$\sqrt[3]{1-2a}$与$\sqrt[3]{3a-5}$互为相反数，$b$的立方根是它本身，求$a$，$b$的积.
答案
15. $0$或$\pm4$
解析
【分析】
解题时首先利用立方根的性质：两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，据此列出关于a的一元一次方程求解得到a的值；再根据“立方根是它本身”的条件，列举出所有符合条件的b的取值；最后分别计算a与b的乘积即可，注意不要漏写b的可能取值。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{1-2a}$与$\sqrt[3]{3a-5}$互为相反数
根据立方根的性质可得：$1-2a$与$3a-5$互为相反数
∴$(1-2a)+(3a-5)=0$
解方程得：
$1-2a+3a-5=0$
$a-4=0$
$a=4$
又
∵$b$的立方根是它本身
∴$b$的可能取值为$-1$、$0$、$1$
分别计算$ab$的积：
当$b=-1$时，$ab=4×(-1)=-4$
当$b=0$时，$ab=4×0=0$
当$b=1$时，$ab=4×1=4$
综上，$a$，$b$的积为$0$或$\pm4$
【答案】
$0$或$\pm4$
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 相反数的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查立方根相关性质的应用，解题的易错点是容易遗漏立方根等于自身的数的所有情况，导致漏解，做题时要考虑全面。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用立方根的性质：两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，据此列出关于a的一元一次方程求解得到a的值；再根据“立方根是它本身”的条件，列举出所有符合条件的b的取值；最后分别计算a与b的乘积即可，注意不要漏写b的可能取值。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{1-2a}$与$\sqrt[3]{3a-5}$互为相反数
根据立方根的性质可得：$1-2a$与$3a-5$互为相反数
∴$(1-2a)+(3a-5)=0$
解方程得：
$1-2a+3a-5=0$
$a-4=0$
$a=4$
又
∵$b$的立方根是它本身
∴$b$的可能取值为$-1$、$0$、$1$
分别计算$ab$的积：
当$b=-1$时，$ab=4×(-1)=-4$
当$b=0$时，$ab=4×0=0$
当$b=1$时，$ab=4×1=4$
综上，$a$，$b$的积为$0$或$\pm4$
【答案】
$0$或$\pm4$
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 相反数的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查立方根相关性质的应用，解题的易错点是容易遗漏立方根等于自身的数的所有情况，导致漏解，做题时要考虑全面。
【难度系数】
0.7
