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一、填空题
1. 下图是用对顶角的量角器测量圆锥形零件锥角的示意图，则此零件的锥角等于________.
1. 下图是用对顶角的量角器测量圆锥形零件锥角的示意图，则此零件的锥角等于________.
答案
1. 30°
解析
【分析】
解题的核心是利用对顶角的性质。首先观察测量示意图可知，量角器测量出的角与圆锥形零件的锥角互为对顶角，根据对顶角相等的性质，二者大小相等，只需得到量角器的读数就能直接得出锥角的度数。
【解析】
根据对顶角的性质：对顶角相等。
由测量原理可得，量角器测得的角与零件的锥角是一对对顶角，已知量角器对应的读数为30°，因此零件的锥角等于30°。
【答案】
30°
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题是数学知识在实际测量中的应用类基础题，解题的关键是识别出两个角的对顶角关系，结合对顶角相等的性质即可快速得出结果，有助于锻炼学生将理论知识结合实际应用的能力。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用对顶角的性质。首先观察测量示意图可知，量角器测量出的角与圆锥形零件的锥角互为对顶角，根据对顶角相等的性质，二者大小相等，只需得到量角器的读数就能直接得出锥角的度数。
【解析】
根据对顶角的性质：对顶角相等。
由测量原理可得，量角器测得的角与零件的锥角是一对对顶角，已知量角器对应的读数为30°，因此零件的锥角等于30°。
【答案】
30°
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题是数学知识在实际测量中的应用类基础题，解题的关键是识别出两个角的对顶角关系，结合对顶角相等的性质即可快速得出结果，有助于锻炼学生将理论知识结合实际应用的能力。
【难度系数】
0.9
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC = 3∠BOC，则∠AOD的度数等于
45°
.答案
2. 45°
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，直线AB、CD相交于点O，首先可得∠AOC与∠BOC是邻补角，二者之和为180°；结合题目给出的∠AOC=3∠BOC的数量关系，可先计算出∠BOC的度数；再根据对顶角相等的性质，∠AOD与∠BOC是对顶角，即可直接得出∠AOD的度数。
【解析】
∵ 直线AB为平角，平角等于180°
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°
又
∵ 已知∠AOC = 3∠BOC，代入上式可得：
3∠BOC + ∠BOC = 180°
即4∠BOC = 180°，解得∠BOC = 45°
∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等的性质
∴ ∠AOD = ∠BOC = 45°
【答案】
45°
【知识点】
邻补角互补，对顶角相等
【点评】
本题是相交线相关性质的基础考查题，解题核心是准确识别图中的邻补角和对顶角，结合已知的角度倍数关系计算即可，注意角度运算时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.9
解题时先观察图形特征，直线AB、CD相交于点O，首先可得∠AOC与∠BOC是邻补角，二者之和为180°；结合题目给出的∠AOC=3∠BOC的数量关系，可先计算出∠BOC的度数；再根据对顶角相等的性质，∠AOD与∠BOC是对顶角，即可直接得出∠AOD的度数。
【解析】
∵ 直线AB为平角，平角等于180°
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°
又
∵ 已知∠AOC = 3∠BOC，代入上式可得：
3∠BOC + ∠BOC = 180°
即4∠BOC = 180°，解得∠BOC = 45°
∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等的性质
∴ ∠AOD = ∠BOC = 45°
【答案】
45°
【知识点】
邻补角互补，对顶角相等
【点评】
本题是相交线相关性质的基础考查题，解题核心是准确识别图中的邻补角和对顶角，结合已知的角度倍数关系计算即可，注意角度运算时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.9
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，直线MN平分$∠ AOC$.若$∠ BOD=76°$，则$∠ AON$的度数等于________.
答案
3. 142°
解析
【分析】
解题时先观察图形中角的关系：首先直线AB和CD相交，根据对顶角相等可得到∠AOC的度数；再结合MN平分∠AOC，利用角平分线的定义算出∠AOM的度数；最后根据∠AOM和∠AON组成平角（邻补角互补），即可求出∠AON的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB，CD相交于点O，∠BOD=76°，
∴ ∠AOC=∠BOD=76°（对顶角相等）。
∵ 直线MN平分∠AOC，
∴ $∠ AOM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×76°=38°$（角平分线的定义）。
∵ ∠AOM + ∠AON = 180°（邻补角互补），
∴ ∠AON = 180° - 38° = 142°。
【答案】
142°
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别图形中的对顶角、邻补角，结合角平分线的定义逐步推导角度，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中角的关系：首先直线AB和CD相交，根据对顶角相等可得到∠AOC的度数；再结合MN平分∠AOC，利用角平分线的定义算出∠AOM的度数；最后根据∠AOM和∠AON组成平角（邻补角互补），即可求出∠AON的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB，CD相交于点O，∠BOD=76°，
∴ ∠AOC=∠BOD=76°（对顶角相等）。
∵ 直线MN平分∠AOC，
∴ $∠ AOM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×76°=38°$（角平分线的定义）。
∵ ∠AOM + ∠AON = 180°（邻补角互补），
∴ ∠AON = 180° - 38° = 142°。
【答案】
142°
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，解题的关键是准确识别图形中的对顶角、邻补角，结合角平分线的定义逐步推导角度，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，直线$ l_{1}, l_{2}, l_{3} $相交于点$ O $，$ ∠ 1 = 36° $，$ ∠ 2 = 90° $，则$ ∠ 3 = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
4. 54°
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：三条直线交于同一点O，首先回忆平角和对顶角的相关性质。要计算∠3的度数，可先找角之间的和差关系：∠1、∠3与∠2的对顶角共同组成平角（和为180°），又因为对顶角相等，所以∠2的对顶角等于∠2=90°，因此可以通过平角的度数减去已知的∠1和∠2的度数，得到∠3的大小。
【解析】
解：
∵ 平角的度数为180°，且对顶角相等，
∴ ∠1 + ∠3 + ∠2 = 180°，
已知∠1=36°，∠2=90°，代入得：
∠3 = 180° - 36° - 90° = 54°。
【答案】
54°
【知识点】
对顶角相等；平角的定义；角度计算
【点评】
本题属于基础的角度运算题，解题核心是利用相交线的对顶角性质和平角的定义，建立已知角和未知角的数量关系，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：三条直线交于同一点O，首先回忆平角和对顶角的相关性质。要计算∠3的度数，可先找角之间的和差关系：∠1、∠3与∠2的对顶角共同组成平角（和为180°），又因为对顶角相等，所以∠2的对顶角等于∠2=90°，因此可以通过平角的度数减去已知的∠1和∠2的度数，得到∠3的大小。
【解析】
解：
∵ 平角的度数为180°，且对顶角相等，
∴ ∠1 + ∠3 + ∠2 = 180°，
已知∠1=36°，∠2=90°，代入得：
∠3 = 180° - 36° - 90° = 54°。
【答案】
54°
【知识点】
对顶角相等；平角的定义；角度计算
【点评】
本题属于基础的角度运算题，解题核心是利用相交线的对顶角性质和平角的定义，建立已知角和未知角的数量关系，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.8
5. 如图，一块三角板放在两条平行直线上，$∠ 1 + ∠ 2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
5. 90°
解析
【分析】
解题时结合题目给出的“两条平行直线”“直角三角板”两个关键条件思考：首先回忆平行线的性质，我们可以通过作辅助线（过三角板直角顶点作已知平行线的平行线），利用两直线平行内错角相等的性质，将∠1、∠2分别转化为三角板直角的两个组成部分，二者之和恰好等于三角板的直角度数；也可以借助对顶角相等的性质，把∠1、∠2转化到含直角的三角形中，结合三角形内角和定理计算。
【解析】
过三角板的直角顶点作与两条已知平行直线平行的辅助线，根据平行公理的推论，这条辅助线与两条已知直线都互相平行。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠1与三角板直角的左半部分角相等，∠2与三角板直角的右半部分角相等，因此∠1+∠2的和就等于三角板直角的度数，即90°。
也可通过对顶角性质推导：设∠1的对顶角为∠α，∠2的对顶角为∠β，由对顶角相等得∠1=∠α、∠2=∠β；∠α、∠β和三角板的直角是同一三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°，得∠α+∠β+90°=180°，因此∠α+∠β=90°，等量代换可得∠1+∠2=90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心考查基础几何定理的灵活运用，解题的关键是通过转化思想把待求的两个角和三角板的直角建立关联。
【难度系数】
0.7
解题时结合题目给出的“两条平行直线”“直角三角板”两个关键条件思考：首先回忆平行线的性质，我们可以通过作辅助线（过三角板直角顶点作已知平行线的平行线），利用两直线平行内错角相等的性质，将∠1、∠2分别转化为三角板直角的两个组成部分，二者之和恰好等于三角板的直角度数；也可以借助对顶角相等的性质，把∠1、∠2转化到含直角的三角形中，结合三角形内角和定理计算。
【解析】
过三角板的直角顶点作与两条已知平行直线平行的辅助线，根据平行公理的推论，这条辅助线与两条已知直线都互相平行。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠1与三角板直角的左半部分角相等，∠2与三角板直角的右半部分角相等，因此∠1+∠2的和就等于三角板直角的度数，即90°。
也可通过对顶角性质推导：设∠1的对顶角为∠α，∠2的对顶角为∠β，由对顶角相等得∠1=∠α、∠2=∠β；∠α、∠β和三角板的直角是同一三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°，得∠α+∠β+90°=180°，因此∠α+∠β=90°，等量代换可得∠1+∠2=90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心考查基础几何定理的灵活运用，解题的关键是通过转化思想把待求的两个角和三角板的直角建立关联。
【难度系数】
0.7
6. 下列说法中，正确的有(
① 对顶角相等；② 相等的角是对顶角；③ 若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④ 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
).① 对顶角相等；② 相等的角是对顶角；③ 若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④ 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先回忆对顶角的基本性质，再逐个判断4个说法的正误：对的说法要符合对顶角的性质，错误的说法可以通过举反例验证。首先明确：对顶角的核心性质是对顶角一定相等，反过来相等的角不一定是对顶角，按照这个逻辑逐一分析即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：对顶角相等，这是对顶角的基本性质，说法正确；
2. 说法②：相等的角是对顶角。举反例：两条平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该说法错误；
3. 说法③：若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角。因为对顶角一定是相等的，不相等的角不可能满足对顶角的性质，因此该说法正确；
4. 说法④：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。举反例：上述提到的同位角不是对顶角，但可以相等，因此该说法错误。
综上，正确的说法是①和③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 命题真假判断
【点评】
本题主要考查对顶角相关概念的辨析，解题关键是明确对顶角的性质，注意区分性质的原命题和逆命题的真假性，遇到判断类题目可通过举反例快速验证错误说法。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆对顶角的基本性质，再逐个判断4个说法的正误：对的说法要符合对顶角的性质，错误的说法可以通过举反例验证。首先明确：对顶角的核心性质是对顶角一定相等，反过来相等的角不一定是对顶角，按照这个逻辑逐一分析即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：对顶角相等，这是对顶角的基本性质，说法正确；
2. 说法②：相等的角是对顶角。举反例：两条平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该说法错误；
3. 说法③：若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角。因为对顶角一定是相等的，不相等的角不可能满足对顶角的性质，因此该说法正确；
4. 说法④：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。举反例：上述提到的同位角不是对顶角，但可以相等，因此该说法错误。
综上，正确的说法是①和③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 命题真假判断
【点评】
本题主要考查对顶角相关概念的辨析，解题关键是明确对顶角的性质，注意区分性质的原命题和逆命题的真假性，遇到判断类题目可通过举反例快速验证错误说法。
【难度系数】
0.7
