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三、解答题
11. 如图，如果$CD // AB$，$CE // AB$，那么$C$，$D$，$E$三点是否共线？你能说明理由吗？
11. 如图，如果$CD // AB$，$CE // AB$，那么$C$，$D$，$E$三点是否共线？你能说明理由吗？
答案
11. C，D，E共线. 因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD和CE都经过点C且与AB平行，所以点C，D，E三点共线
解析
【分析】
首先明确题目的已知条件：CD、CE都经过点C，且都与AB平行。要判断C、D、E是否共线，可结合平行公理思考：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若两条直线都过同一点且平行于同一条直线，说明这两条直线是同一条，即可得到三点共线的结论。
【解析】
C、D、E三点共线，理由如下：
已知$CD// AB$，$CE// AB$，且直线CD、CE都经过直线AB外的点C，根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，因此CD和CE是同一条直线，所以C、D、E三点共线。
【答案】
C，D，E共线. 因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD和CE都经过点C且与AB平行，所以点C，D，E三点共线
【知识点】
平行公理，三点共线判定
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平行公理的运用，解题时只需抓住“过直线外一点仅存在一条直线与已知直线平行”这一要点，即可快速判断两条平行线重合，进而得出三点共线的结论，属于对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的已知条件：CD、CE都经过点C，且都与AB平行。要判断C、D、E是否共线，可结合平行公理思考：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若两条直线都过同一点且平行于同一条直线，说明这两条直线是同一条，即可得到三点共线的结论。
【解析】
C、D、E三点共线，理由如下：
已知$CD// AB$，$CE// AB$，且直线CD、CE都经过直线AB外的点C，根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，因此CD和CE是同一条直线，所以C、D、E三点共线。
【答案】
C，D，E共线. 因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD和CE都经过点C且与AB平行，所以点C，D，E三点共线
【知识点】
平行公理，三点共线判定
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平行公理的运用，解题时只需抓住“过直线外一点仅存在一条直线与已知直线平行”这一要点，即可快速判断两条平行线重合，进而得出三点共线的结论，属于对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
12. 如图，已知三角形$ABC$，试说明$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$的理由.
答案
12. 如图，过点C作直线DE // AB
. 由平行线性质得∠A=∠DCA，∠B=∠BCE. 又因为D，C，E在同一条直线上，所以∠DCA + ∠BCE + ∠ACB = 180°，即∠A + ∠B + ∠ACB = 180°解析
【分析】
要证明三角形三个内角和为180°，已知平角的度数是180°，因此可以通过构造辅助线的方式，把三角形的三个内角拼接成一个平角来推导。我们可以过点C作AB的平行线，利用平行线内错角相等的性质，将∠A和∠B转移到点C处，和∠ACB共同组成平角，进而完成证明。
【解析】
解：过点C作直线$DE// AB$，如图。
$\because DE// AB$
$\therefore ∠ A=∠ DCA$（两直线平行，内错角相等），$∠ B=∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）
$\because$ D、C、E三点在同一条直线上
$\therefore ∠ DCA+∠ ACB+∠ BCE=180°$（平角的定义）
将$∠ DCA$替换为$∠ A$，$∠ BCE$替换为$∠ B$，通过等量代换可得：
$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$
【答案】
如图，过点C作直线DE // AB。由平行线性质得∠A=∠DCA，∠B=∠BCE。又因为D，C，E在同一条直线上，所以∠DCA + ∠BCE + ∠ACB = 180°，即∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的经典证明题，通过构造平行线作为辅助线，将三角形内角和问题转化为平角问题求解，体现了转化的数学思想，能帮助大家理解几何证明的逻辑和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
要证明三角形三个内角和为180°，已知平角的度数是180°，因此可以通过构造辅助线的方式，把三角形的三个内角拼接成一个平角来推导。我们可以过点C作AB的平行线，利用平行线内错角相等的性质，将∠A和∠B转移到点C处，和∠ACB共同组成平角，进而完成证明。
【解析】
解：过点C作直线$DE// AB$，如图
。$\because DE// AB$
$\therefore ∠ A=∠ DCA$（两直线平行，内错角相等），$∠ B=∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）
$\because$ D、C、E三点在同一条直线上
$\therefore ∠ DCA+∠ ACB+∠ BCE=180°$（平角的定义）
将$∠ DCA$替换为$∠ A$，$∠ BCE$替换为$∠ B$，通过等量代换可得：
$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$
【答案】
如图，过点C作直线DE // AB
。由平行线性质得∠A=∠DCA，∠B=∠BCE。又因为D，C，E在同一条直线上，所以∠DCA + ∠BCE + ∠ACB = 180°，即∠A + ∠B + ∠ACB = 180°【知识点】
平行线的性质，平角的定义，等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的经典证明题，通过构造平行线作为辅助线，将三角形内角和问题转化为平角问题求解，体现了转化的数学思想，能帮助大家理解几何证明的逻辑和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
13. 如图，已知B，E，C三点共线，BE平分∠DBF.
（1）过点A作$AG// BF$交BE于点G；
（2）试说明$∠DBF$与$∠BGA$之间的关系.
（1）过点A作$AG// BF$交BE于点G；
（2）试说明$∠DBF$与$∠BGA$之间的关系.
答案
13.（1）如图
（2）∠DBF = 2∠BGA. 理由：由AG // BF，得∠BGA = ∠EBF. 因为BE平分∠DBF，所以∠DBF = 2∠EBF. 所以∠DBF = 2∠BGA
解析
【分析】
（1）第一小问为作图题，可依据“同位角相等，两直线平行”的原理，过点A作AG，使AG与BF的同位角相等，AG和EC的交点即为G，即可完成作图。
（2）第二小问推导两角的数量关系，先结合已知的平行条件，利用平行线的性质得到一组相等的角，再结合角平分线的倍分关系，通过等量代换就能推出∠DBF和∠BGA的关系。
【解析】
（1）根据平行线的作图规范，过点A作AG平行于BF，交射线EC于点G，所作图形见参考答案。
（2）推导过程：
∵ AG // BF
∴ ∠BGA = ∠EBF（两直线平行，内错角相等）
∵ BE平分∠DBF（已知）
∴ ∠DBF = 2∠EBF（角平分线的定义）
通过等量代换可得：∠DBF = 2∠BGA
【答案】
13.（1）如图
（2）∠DBF = 2∠BGA. 理由：由AG // BF，得∠BGA = ∠EBF. 因为BE平分∠DBF，所以∠DBF = 2∠EBF. 所以∠DBF = 2∠BGA
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 平行线的画法
【点评】
本题属于基础几何综合题，将作图与简单几何推导结合，既考查了作图的规范性，也考查了平行线性质、角平分线定义的应用，解题关键是找准角之间的等量关系进行代换。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问为作图题，可依据“同位角相等，两直线平行”的原理，过点A作AG，使AG与BF的同位角相等，AG和EC的交点即为G，即可完成作图。
（2）第二小问推导两角的数量关系，先结合已知的平行条件，利用平行线的性质得到一组相等的角，再结合角平分线的倍分关系，通过等量代换就能推出∠DBF和∠BGA的关系。
【解析】
（1）根据平行线的作图规范，过点A作AG平行于BF，交射线EC于点G，所作图形见参考答案。
（2）推导过程：
∵ AG // BF
∴ ∠BGA = ∠EBF（两直线平行，内错角相等）
∵ BE平分∠DBF（已知）
∴ ∠DBF = 2∠EBF（角平分线的定义）
通过等量代换可得：∠DBF = 2∠BGA
【答案】
13.（1）如图
（2）∠DBF = 2∠BGA. 理由：由AG // BF，得∠BGA = ∠EBF. 因为BE平分∠DBF，所以∠DBF = 2∠EBF. 所以∠DBF = 2∠BGA
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 平行线的画法
【点评】
本题属于基础几何综合题，将作图与简单几何推导结合，既考查了作图的规范性，也考查了平行线性质、角平分线定义的应用，解题关键是找准角之间的等量关系进行代换。
【难度系数】
0.8
