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例2 直线$y=kx+b$过点$A(-2, 0)$，且与$y$轴交于点$B$，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线的解析式.
错解：设点$B$的坐标为$(0, y)$，则$OA=2$，$OB=y$.
因为$S=\frac{1}{2} · OA · OB=3$，所以$\frac{1}{2} × 2 × y=3$，得$y=3$.所以点$B$的坐标为$(0, 3)$.
因为直线$y=kx+b$过点$A(-2, 0)$，$B(0, 3)$，所以$\begin{cases} -2k + b = 0, \\ b = 3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \frac{3}{2}, \\ b = 3, \end{cases}$
所以直线的解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$.
剖析：直线与$y$轴交于点$B$有两种情况.本解法只考虑了与$y$轴正半轴相交，忽视了与$y$轴负半轴相交的情况，导致漏解.
正确答案：直线的解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$或$y=-\frac{3}{2}x-3$.
错解：设点$B$的坐标为$(0, y)$，则$OA=2$，$OB=y$.
因为$S=\frac{1}{2} · OA · OB=3$，所以$\frac{1}{2} × 2 × y=3$，得$y=3$.所以点$B$的坐标为$(0, 3)$.
因为直线$y=kx+b$过点$A(-2, 0)$，$B(0, 3)$，所以$\begin{cases} -2k + b = 0, \\ b = 3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \frac{3}{2}, \\ b = 3, \end{cases}$
所以直线的解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$.
剖析：直线与$y$轴交于点$B$有两种情况.本解法只考虑了与$y$轴正半轴相交，忽视了与$y$轴负半轴相交的情况，导致漏解.
正确答案：直线的解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$或$y=-\frac{3}{2}x-3$.
答案
$y=\frac{3}{2}x+3$或$y=-\frac{3}{2}x-3$
解析
【分析】
解题时先明确直线与坐标轴的交点坐标特征：与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0。已知直线过点A(-2,0)，可先得到x轴上的线段OA长度为2；直线与y轴交于B点，线段OB的长度是B点纵坐标的绝对值（因为交点可能在y轴正半轴或负半轴，长度为非负数）。再结合三角形面积为3，求出B点纵坐标的两个可能值，最后用待定系数法分别代入A、B两点坐标求解k和b，即可得到直线解析式，注意不要漏了B在y轴负半轴的情况。
【解析】
解：
∵直线$y=kx+b$与y轴交于点B，
∴点B的坐标为$(0, b)$。
∵点A坐标为$(-2, 0)$，
∴OA的长度为$|-2|=2$，OB的长度为$|b|$。
直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，面积公式为$S=\frac{1}{2} · OA · OB$，已知$S=3$，代入得：
$\frac{1}{2} × 2 × |b| = 3$，
解得$|b|=3$，即$b=3$或$b=-3$。
分两种情况计算：
① 当$b=3$时，直线解析式为$y=kx+3$，将点A$(-2, 0)$代入得：
$-2k + 3 = 0$，解得$k=\frac{3}{2}$，
此时直线解析式为$y=\frac{3}{2}x + 3$；
② 当$b=-3$时，直线解析式为$y=kx-3$，将点A$(-2, 0)$代入得：
$-2k - 3 = 0$，解得$k=-\frac{3}{2}$，
此时直线解析式为$y=-\frac{3}{2}x - 3$。
【答案】
$y=\frac{3}{2}x+3$或$y=-\frac{3}{2}x-3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算；绝对值的意义
【点评】
本题是一次函数的典型易错题，核心易错点是忽略直线与y轴交点可在负半轴的情况，涉及线段长度计算时要结合绝对值考虑两种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先明确直线与坐标轴的交点坐标特征：与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0。已知直线过点A(-2,0)，可先得到x轴上的线段OA长度为2；直线与y轴交于B点，线段OB的长度是B点纵坐标的绝对值（因为交点可能在y轴正半轴或负半轴，长度为非负数）。再结合三角形面积为3，求出B点纵坐标的两个可能值，最后用待定系数法分别代入A、B两点坐标求解k和b，即可得到直线解析式，注意不要漏了B在y轴负半轴的情况。
【解析】
解：
∵直线$y=kx+b$与y轴交于点B，
∴点B的坐标为$(0, b)$。
∵点A坐标为$(-2, 0)$，
∴OA的长度为$|-2|=2$，OB的长度为$|b|$。
直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，面积公式为$S=\frac{1}{2} · OA · OB$，已知$S=3$，代入得：
$\frac{1}{2} × 2 × |b| = 3$，
解得$|b|=3$，即$b=3$或$b=-3$。
分两种情况计算：
① 当$b=3$时，直线解析式为$y=kx+3$，将点A$(-2, 0)$代入得：
$-2k + 3 = 0$，解得$k=\frac{3}{2}$，
此时直线解析式为$y=\frac{3}{2}x + 3$；
② 当$b=-3$时，直线解析式为$y=kx-3$，将点A$(-2, 0)$代入得：
$-2k - 3 = 0$，解得$k=-\frac{3}{2}$，
此时直线解析式为$y=-\frac{3}{2}x - 3$。
【答案】
$y=\frac{3}{2}x+3$或$y=-\frac{3}{2}x-3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算；绝对值的意义
【点评】
本题是一次函数的典型易错题，核心易错点是忽略直线与y轴交点可在负半轴的情况，涉及线段长度计算时要结合绝对值考虑两种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
例3 一次函数$y=kx+b$的自变量的取值范围是$-3≤ x≤ 6$，相应的函数值的取值范围是$-5≤ y≤ -2$，则这个函数的解析式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
错解：因为当$x=-3$时，$y=-5$，当$x=6$时，$y=-2$，
所以$\begin{cases} -3k + b = -5, \\ 6k + b = -2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{1}{3}, \\ b = -4, \end{cases}$ 所以所求的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-4$.
剖析：错解只考虑了该一次函数是增函数的情况，而忽视了该一次函数是减函数的情况，即当$x=-3$时，$y=-2$，当$x=6$时，$y=-5$的情况.故解本题时，要从已知条件出发，分类讨论.
正确答案：所求的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-4$或$y=-\dfrac{1}{3}x-3$.
错解：因为当$x=-3$时，$y=-5$，当$x=6$时，$y=-2$，
所以$\begin{cases} -3k + b = -5, \\ 6k + b = -2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{1}{3}, \\ b = -4, \end{cases}$ 所以所求的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-4$.
剖析：错解只考虑了该一次函数是增函数的情况，而忽视了该一次函数是减函数的情况，即当$x=-3$时，$y=-2$，当$x=6$时，$y=-5$的情况.故解本题时，要从已知条件出发，分类讨论.
正确答案：所求的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-4$或$y=-\dfrac{1}{3}x-3$.
答案
$y=\dfrac{1}{3}x -4$或$y=-\dfrac{1}{3}x -3$
解析
【分析】
一次函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小。题干未明确k的正负，因此需要分两种情况讨论：①k＞0时，x取最小值对应y的最小值，x取最大值对应y的最大值；②k＜0时，x取最小值对应y的最大值，x取最大值对应y的最小值。再分别将两组x、y的对应值代入解析式，用待定系数法求解k和b即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ k＞0 $时，y随x的增大而增大，因此$ x=-3 $时$ y=-5 $，$ x=6 $时$ y=-2 $。
代入$ y=kx+b $得方程组：
$\begin{cases}-3k + b = -5 \\6k + b = -2\end{cases}$
两式相减得$ 9k=3 $，解得$ k=\frac{1}{3} $，将$ k=\frac{1}{3} $代入第一个方程，解得$ b=-4 $，此时解析式为$ y=\frac{1}{3}x - 4 $。
2. 当$ k＜0 $时，y随x的增大而减小，因此$ x=-3 $时$ y=-2 $，$ x=6 $时$ y=-5 $。
代入$ y=kx+b $得方程组：
$\begin{cases}-3k + b = -2 \\6k + b = -5\end{cases}$
两式相减得$ 9k=-3 $，解得$ k=-\frac{1}{3} $，将$ k=-\frac{1}{3} $代入第一个方程，解得$ b=-3 $，此时解析式为$ y=-\frac{1}{3}x - 3 $。
【答案】
$ y=\dfrac{1}{3}x -4 $或$ y=-\dfrac{1}{3}x -3 $
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；分类讨论
【点评】
本题易错点是受思维定式影响，只考虑k＞0的增函数情况导致漏解，解题时要结合函数性质全面分析已知条件，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小。题干未明确k的正负，因此需要分两种情况讨论：①k＞0时，x取最小值对应y的最小值，x取最大值对应y的最大值；②k＜0时，x取最小值对应y的最大值，x取最大值对应y的最小值。再分别将两组x、y的对应值代入解析式，用待定系数法求解k和b即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ k＞0 $时，y随x的增大而增大，因此$ x=-3 $时$ y=-5 $，$ x=6 $时$ y=-2 $。
代入$ y=kx+b $得方程组：
$\begin{cases}-3k + b = -5 \\6k + b = -2\end{cases}$
两式相减得$ 9k=3 $，解得$ k=\frac{1}{3} $，将$ k=\frac{1}{3} $代入第一个方程，解得$ b=-4 $，此时解析式为$ y=\frac{1}{3}x - 4 $。
2. 当$ k＜0 $时，y随x的增大而减小，因此$ x=-3 $时$ y=-2 $，$ x=6 $时$ y=-5 $。
代入$ y=kx+b $得方程组：
$\begin{cases}-3k + b = -2 \\6k + b = -5\end{cases}$
两式相减得$ 9k=-3 $，解得$ k=-\frac{1}{3} $，将$ k=-\frac{1}{3} $代入第一个方程，解得$ b=-3 $，此时解析式为$ y=-\frac{1}{3}x - 3 $。
【答案】
$ y=\dfrac{1}{3}x -4 $或$ y=-\dfrac{1}{3}x -3 $
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；分类讨论
【点评】
本题易错点是受思维定式影响，只考虑k＞0的增函数情况导致漏解，解题时要结合函数性质全面分析已知条件，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
