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13. 如图，已知$DE$是$△ ABC$的中位线，点$F$为$DE$上的一点，且$AF ⊥ CF$。若$AB=12$，$DF=\frac{3}{2}$，则$AC$的长为（
A.10
B.9
C.8
D.$8\sqrt{2}$
B
）A.10
B.9
C.8
D.$8\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用三角形中位线的性质求出DE的长度，并确定E是AC的中点；再结合已知DF的长度算出EF的长；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，建立EF与AC的关系，即可求出AC的长度。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，AB=12，
∴DE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×12 = 6$，且E是AC的中点。
∵DF = $\frac{3}{2}$，
∴EF = DE - DF = $6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
又
∵AF⊥CF，即△AFC是直角三角形，∠AFC=90°，E为AC中点，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，EF = $\frac{1}{2}$AC，
∴AC = 2EF = $2×\frac{9}{2}=9$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形中位线和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是明确E是AC中点这一隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形中位线的性质求出DE的长度，并确定E是AC的中点；再结合已知DF的长度算出EF的长；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，建立EF与AC的关系，即可求出AC的长度。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，AB=12，
∴DE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×12 = 6$，且E是AC的中点。
∵DF = $\frac{3}{2}$，
∴EF = DE - DF = $6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
又
∵AF⊥CF，即△AFC是直角三角形，∠AFC=90°，E为AC中点，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，EF = $\frac{1}{2}$AC，
∴AC = 2EF = $2×\frac{9}{2}=9$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形中位线和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是明确E是AC中点这一隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距 450 cm 的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的 2 倍.设小数行走的时间为$x$(s)，小数和小文行走的路程分别为$y_1$(cm)，$y_2$(cm)，$y_1$，$y_2$与$x$之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（
①小数比小文先出发 15 s；②小文提速后的速度为 30 cm/s；③$n=40$；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 150 cm.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
C
）①小数比小文先出发 15 s；②小文提速后的速度为 30 cm/s；③$n=40$；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 150 cm.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
答案
C
解析
【分析】
解题时先从函数图像提取关键时间、路程信息，首先判断两人出发时间差，再计算小文原速度与提速后的速度，接着计算两人走完全程的时间验证对应说法，最后分阶段分析两人的路程差找到最大距离，逐一判断每个说法的正误即可。
【解析】
1. 判断①：由图像可知，小数从x=0时开始出发，小文在x=15s时才开始行走，因此小数比小文先出发15s，①正确。
2. 判断②：小文在15s~17s共2s的时间里走了30cm，因此小文原速度为$30÷(17-15)=15\ \mathrm{cm/s}$，提速后速度为原来的2倍，即$15×2=30\ \mathrm{cm/s}$，②正确。
3. 判断③：小文走完全程，前2s走了30cm，剩余路程为$450-30=420\ \mathrm{cm}$，提速后走剩余路程所需时间为$420÷30=14\ \mathrm{s}$，因此小文走完全程对应的$m=15+2+14=31\ \mathrm{s}$。此时小数走了310cm，因此小数的速度为$310÷31=10\ \mathrm{cm/s}$，小数走完全程450cm的时间$n=450÷10=45\ \mathrm{s}≠40$，③错误。
4. 判断④：分阶段分析路程差：
小文出发前（$0≤ x＜15\ \mathrm{s}$）：小数速度为10cm/s，x=15s时小数走了$10×15=150\ \mathrm{cm}$，小文路程为0，两人相距150cm；
小文出发后到走完全程前：小文速度始终大于小数速度（15＞10、30＞10），两人距离先缩小，追上后小文超过小数，到x=31s小文到达终点时，小数走了310cm，两人相距$450-310=140\ \mathrm{cm}＜150\ \mathrm{cm}$；
小文到达终点后到小数走完全程：两人距离从140cm逐渐缩小到0。
因此两人最远相距150cm，④正确。
综上，①②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、函数图像分析
【点评】
本题结合送餐的实际场景考查一次函数图像的应用，核心是能从图像中提取有效信息，结合速度、路程、时间的关系分阶段分析运动过程，易错点是计算全程时间和判断最大路程差时容易忽略小文出发前的阶段。
【难度系数】
0.65
解题时先从函数图像提取关键时间、路程信息，首先判断两人出发时间差，再计算小文原速度与提速后的速度，接着计算两人走完全程的时间验证对应说法，最后分阶段分析两人的路程差找到最大距离，逐一判断每个说法的正误即可。
【解析】
1. 判断①：由图像可知，小数从x=0时开始出发，小文在x=15s时才开始行走，因此小数比小文先出发15s，①正确。
2. 判断②：小文在15s~17s共2s的时间里走了30cm，因此小文原速度为$30÷(17-15)=15\ \mathrm{cm/s}$，提速后速度为原来的2倍，即$15×2=30\ \mathrm{cm/s}$，②正确。
3. 判断③：小文走完全程，前2s走了30cm，剩余路程为$450-30=420\ \mathrm{cm}$，提速后走剩余路程所需时间为$420÷30=14\ \mathrm{s}$，因此小文走完全程对应的$m=15+2+14=31\ \mathrm{s}$。此时小数走了310cm，因此小数的速度为$310÷31=10\ \mathrm{cm/s}$，小数走完全程450cm的时间$n=450÷10=45\ \mathrm{s}≠40$，③错误。
4. 判断④：分阶段分析路程差：
小文出发前（$0≤ x＜15\ \mathrm{s}$）：小数速度为10cm/s，x=15s时小数走了$10×15=150\ \mathrm{cm}$，小文路程为0，两人相距150cm；
小文出发后到走完全程前：小文速度始终大于小数速度（15＞10、30＞10），两人距离先缩小，追上后小文超过小数，到x=31s小文到达终点时，小数走了310cm，两人相距$450-310=140\ \mathrm{cm}＜150\ \mathrm{cm}$；
小文到达终点后到小数走完全程：两人距离从140cm逐渐缩小到0。
因此两人最远相距150cm，④正确。
综上，①②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、函数图像分析
【点评】
本题结合送餐的实际场景考查一次函数图像的应用，核心是能从图像中提取有效信息，结合速度、路程、时间的关系分阶段分析运动过程，易错点是计算全程时间和判断最大路程差时容易忽略小文出发前的阶段。
【难度系数】
0.65
15.已知平面直角坐标系中,有两点$A(a,0),B(0,b)$,且满足$b=\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+4$,P为AB上的动点(不与A,B重合),$PE⊥x$轴,$PF⊥y$轴,垂足分别为E,F,连接EF,则EF的最小值为 ( 
)
A.$\frac{12}{5}$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
)A.$\frac{12}{5}$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
A
解析
【分析】
首先根据二次根式被开方数非负的性质，求出a的值，进而得到b的值，确定A、B两点的坐标；其次由PE⊥x轴、PF⊥y轴且∠EOF为直角，可判定四边形OEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=OP，将求EF的最小值转化为求原点O到线段AB的最短距离；最后根据垂线段最短可知OP的最小值为O到AB的垂线段长度，用三角形面积法即可求出该长度，得到EF的最小值。
【解析】
1. 求a、b的值：
要使$\sqrt{a-3}$和$\sqrt{3-a}$有意义，需满足不等式组：
$\begin{cases}a-3≥0 \\ 3-a≥0\end{cases}$
解得$a=3$，代入$b=\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+4$得$b=4$，因此$A(3,0)$，$B(0,4)$。
2. 转化EF与OP的关系：
因为$PE⊥x$轴，$PF⊥y$轴，且$∠ EOF=90°$，所以四边形OEPF是矩形。根据矩形对角线相等的性质，可得$EF=OP$。
3. 求OP的最小值：
根据垂线段最短，当$OP⊥AB$时，OP的长度最小。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
利用三角形面积相等，$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· OP_{\mathrm{最小}}$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OP_{\mathrm{最小}}$
解得$OP_{\mathrm{最小}}=\frac{12}{5}$，即EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；矩形的性质；垂线段最短
【点评】
本题综合考察了二次根式、矩形性质和几何最值的求解，解题核心是通过转化思想将未知的EF最值转化为熟悉的点到线段的最短距离问题，再结合面积法快速计算，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据二次根式被开方数非负的性质，求出a的值，进而得到b的值，确定A、B两点的坐标；其次由PE⊥x轴、PF⊥y轴且∠EOF为直角，可判定四边形OEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=OP，将求EF的最小值转化为求原点O到线段AB的最短距离；最后根据垂线段最短可知OP的最小值为O到AB的垂线段长度，用三角形面积法即可求出该长度，得到EF的最小值。
【解析】
1. 求a、b的值：
要使$\sqrt{a-3}$和$\sqrt{3-a}$有意义，需满足不等式组：
$\begin{cases}a-3≥0 \\ 3-a≥0\end{cases}$
解得$a=3$，代入$b=\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+4$得$b=4$，因此$A(3,0)$，$B(0,4)$。
2. 转化EF与OP的关系：
因为$PE⊥x$轴，$PF⊥y$轴，且$∠ EOF=90°$，所以四边形OEPF是矩形。根据矩形对角线相等的性质，可得$EF=OP$。
3. 求OP的最小值：
根据垂线段最短，当$OP⊥AB$时，OP的长度最小。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
利用三角形面积相等，$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· OP_{\mathrm{最小}}$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OP_{\mathrm{最小}}$
解得$OP_{\mathrm{最小}}=\frac{12}{5}$，即EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；矩形的性质；垂线段最短
【点评】
本题综合考察了二次根式、矩形性质和几何最值的求解，解题核心是通过转化思想将未知的EF最值转化为熟悉的点到线段的最短距离问题，再结合面积法快速计算，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 若式子$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是
$x≥-1$且$x≠2$
。答案
$x≥-1$且$x≠2$
解析
【分析】
要使含有二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不能为0。我们可以先分别列出两个要求对应的不等式，再求解不等式，最后取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$在实数范围内有意义：
1. 对于分子的二次根式$\sqrt{x+1}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，可得：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于分式的分母$x-2$，根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：
$x-2≠0$，解得$x≠2$；
综合以上两个条件，x需要同时满足$x≥-1$且$x≠2$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠2$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查代数式有意义时自变量取值范围的求解，解题时需注意要同时满足所有组成部分的有意义条件，避免遗漏其中某一个限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
要使含有二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不能为0。我们可以先分别列出两个要求对应的不等式，再求解不等式，最后取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$在实数范围内有意义：
1. 对于分子的二次根式$\sqrt{x+1}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，可得：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于分式的分母$x-2$，根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：
$x-2≠0$，解得$x≠2$；
综合以上两个条件，x需要同时满足$x≥-1$且$x≠2$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠2$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查代数式有意义时自变量取值范围的求解，解题时需注意要同时满足所有组成部分的有意义条件，避免遗漏其中某一个限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
2.生物学研究表明，植物的光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：$μ mol· m^{-2}· s^{-1}$)，统计结果如表：
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是
丁
.答案
丁
解析
【分析】
要找到光合作用速率又快又稳定的品种，首先明确两个判断标准：①“快”代表平均光合作用速率更高，对应表格中的平均数更大；②“稳定”代表光合作用速率的波动更小，对应表格中的方差更小。解题时先比较四个品种的平均数，筛选出平均数大的品种，再在筛选出的品种中比较方差，找到方差最小的品种，就是符合要求的答案。
【解析】
第一步：比较平均数判断速率快慢
四个品种的平均数分别为：甲24、乙25、丙23、丁25，其中乙和丁的平均数最大，说明这两个品种的平均光合作用速率更快，先排除平均数更小的甲、丙。
第二步：比较方差判断稳定性
方差越小，数据的波动越小，性状越稳定。乙的方差为15.6，丁的方差为4，4＜15.6，所以丁的光合作用速率更稳定。
综上可知丁的光合作用速率又快又稳定。
【答案】
丁
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题考查统计量在实际场景中的应用，解题关键是明确平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，结合实际需求选择对应的统计量分析即可。
【难度系数】
0.8
要找到光合作用速率又快又稳定的品种，首先明确两个判断标准：①“快”代表平均光合作用速率更高，对应表格中的平均数更大；②“稳定”代表光合作用速率的波动更小，对应表格中的方差更小。解题时先比较四个品种的平均数，筛选出平均数大的品种，再在筛选出的品种中比较方差，找到方差最小的品种，就是符合要求的答案。
【解析】
第一步：比较平均数判断速率快慢
四个品种的平均数分别为：甲24、乙25、丙23、丁25，其中乙和丁的平均数最大，说明这两个品种的平均光合作用速率更快，先排除平均数更小的甲、丙。
第二步：比较方差判断稳定性
方差越小，数据的波动越小，性状越稳定。乙的方差为15.6，丁的方差为4，4＜15.6，所以丁的光合作用速率更稳定。
综上可知丁的光合作用速率又快又稳定。
【答案】
丁
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题考查统计量在实际场景中的应用，解题关键是明确平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，结合实际需求选择对应的统计量分析即可。
【难度系数】
0.8
