三、思维魔方
17. 已知$3x + 4y - 6 = 0$，试求$8^x · 16^y$的值。

17.64

18. 已知$a+\frac{1}{a}=3$，求（1）$a^2+\frac{1}{a^2}$；（2）$a^4+\frac{1}{a^4}$；（3）$a^3+\frac{1}{a^3}$。

18.
（1）$\because a+\dfrac{1}{a}=3$
$\therefore (a+\dfrac{1}{a})^2=3^2$
$a^2+2· a· \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}=9$
$\therefore a^2+\dfrac{1}{a^2}=7$
（2）$\because a^2+\dfrac{1}{a^2}=7$
$\therefore (a^2+\dfrac{1}{a^2})^2=7^2$
$a^4+2· a^2· \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^4}=49$
$\therefore a^4+\dfrac{1}{a^4}=47$
（3）$\because a+\dfrac{1}{a}=3$，$a^2+\dfrac{1}{a^2}=7$
$\therefore (a+\dfrac{1}{a})(a^2+\dfrac{1}{a^2})=3×7$
$a^3+a· \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}· a^2+\dfrac{1}{a^3}=21$
$a^3+\dfrac{1}{a}+a+\dfrac{1}{a^3}=21$
$\therefore a^3+\dfrac{1}{a^3}=18$

19. 观察下列算式：
①$1× 3 - 2^2 = 3 - 4 = -1$；
②$2× 4 - 3^2 = 8 - 9 = -1$；
③$3× 5 - 4^2 = 15 - 16 = -1$；
④______；
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？说明理由。

19.（1）第4个算式为：$4×6-5^2=24-25=-1$；
（2）答案不唯一，如$n(n+2)-(n+1)^2=-1$；
（3）一定成立. 理由：$n(n+2)-(n+1)^2=n^2+2n-(n^2+2n+1)=n^2+2n-n^2-2n-1=-1$，故$n(n+2)-(n+1)^2=-1$成立.