11. 有理数范围内定义运算“*”，其规则为$a * b = -\frac{2a + b}{3}$，求方程$(2 * 3)(4 * x) = 49$的解。

11. $ x = 55 $

解：因为$a * b = -\frac{2a + b}{3}$，所以$2*3=-\frac{2×2 + 3}{3}=-\frac{7}{3}$，$4*x=-\frac{2×4 + x}{3}=-\frac{8 + x}{3}$。
则$(2 * 3)(4 * x)=(-\frac{7}{3})×(-\frac{8 + x}{3})=\frac{7(8 + x)}{9}$。
由$\frac{7(8 + x)}{9}=49$，得$7(8 + x)=441$，$8 + x=63$，解得$x = 55$。

12. 已知$a$，$b$为定值，关于$x$的方程$\frac{kx + a}{3} = 1 - \frac{2x + bk}{6}$，无论$k$为何值，它的解总是$x = 1$，求$a + b$的值。

12. 解：把 $ x = 1 $ 代入方程 $ \frac{kx + a}{3} = 1 - \frac{2x + bk}{6} $，得
$ \frac{k + a}{3} = 1 - \frac{2 + bk}{6} $。
方程两边都乘 6，得 $ 2(k + a) = 6 - (2 + bk) $。
去括号，得 $ 2k + 2a = 6 - 2 - bk $。
整理，得 $ (2 + b)k + 2a - 4 = 0 $。
因为无论 $ k $ 为何值，上面的方程都成立，
所以 $ 2 + b = 0 $，$ 2a - 4 = 0 $，
解得 $ b = -2 $，$ a = 2 $，
所以 $ a + b = 2 + (-2) = 0 $。

【分析】
这道题的核心条件是“无论k为何值，方程的解总是x=1”，我们可以按三步思考：第一步，既然x=1恒为方程的解，先把x=1代入原方程，消去未知数x，得到只含k、a、b的等式；第二步，对这个等式去分母、去括号、移项合并，整理成“Ak+B=0”的形式，也就是含k的项和不含k的常数项分置合并；第三步，因为等式对任意k都成立，只有k的系数A和常数项B同时为0时，无论k取什么值等式都成立，据此列方程求出a、b的值，相加即可得到a+b的结果。
【解析】
把$x=1$代入原方程$\frac{kx + a}{3} = 1 - \frac{2x + bk}{6}$，得：
$\frac{k + a}{3} = 1 - \frac{2 + bk}{6}$
方程两边同时乘6去分母，得：
$2(k + a) = 6 - (2 + bk)$
去括号：
$2k + 2a = 6 - 2 - bk$
移项、合并同类项，将含k的项和常数项分别合并：
$(2 + b)k + 2a - 4 = 0$
因为无论k取何值，上述等式都成立，因此k的系数和剩余常数项必须同时为0，可得：
$\begin{cases}2 + b = 0 \\ 2a - 4 = 0\end{cases}$
解得$b=-2$，$a=2$，因此$a + b = 2 + (-2) = 0$。
【答案】
0
【知识点】
一元一次方程的解，等式恒成立性质，等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程的经典拓展题型，很多同学容易卡在“无论k为何值等式都成立”的条件转化上，要牢记这类参数任意取值的恒成立题型的通用解法：整理为参数的一次式等于0的结构，令参数的系数和常数项同时为0即可求解，计算时注意去分母不要漏乘无分母的项，避免计算失误。
【难度系数】
0.4