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20.(★★)如图,
在$△ ABC$中,$AB=AC$,
$∠A=120^{\circ },BC=6\ \mathrm{cm}$,
$AB$的垂直平分线交
$BC$于点$M$,交$AB$于
点$E$,$AC$的垂直平分线交$BC$于点$N$,交$AC$于
点$F$,则$MN$的长为 【 】
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm
在$△ ABC$中,$AB=AC$,
$∠A=120^{\circ },BC=6\ \mathrm{cm}$,
$AB$的垂直平分线交
$BC$于点$M$,交$AB$于
点$E$,$AC$的垂直平分线交$BC$于点$N$,交$AC$于
点$F$,则$MN$的长为 【 】
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm
答案
C
解析
连接AM、AN。
1. 由AB=AC，∠BAC=120°，得∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°；
2. 因ME是AB的垂直平分线，故AM=BM，∠MAB=∠B=30°；同理AN=CN，∠NAC=∠C=30°；
3. 计算∠MAN=120°-30°-30°=60°，∠AMN=∠B+∠MAB=60°，同理∠ANM=60°，则△AMN为等边三角形，AM=AN=MN；
4. 因此BM=MN=CN，又BC=6cm，故MN=6÷3=2cm。
1. 由AB=AC，∠BAC=120°，得∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°；
2. 因ME是AB的垂直平分线，故AM=BM，∠MAB=∠B=30°；同理AN=CN，∠NAC=∠C=30°；
3. 计算∠MAN=120°-30°-30°=60°，∠AMN=∠B+∠MAB=60°，同理∠ANM=60°，则△AMN为等边三角形，AM=AN=MN；
4. 因此BM=MN=CN，又BC=6cm，故MN=6÷3=2cm。
21.(★★)如图,
$P$是$△ ABC$内一点,
点$P$到三边$AB,AC$,
$BC$的距离$PD=PE=$
$PF,∠BPC=140^{\circ }$,则
$∠BAC$的度数为 【 】
A.$120^{\circ }$
B.$80^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$70^{\circ }$
$P$是$△ ABC$内一点,
点$P$到三边$AB,AC$,
$BC$的距离$PD=PE=$
$PF,∠BPC=140^{\circ }$,则
$∠BAC$的度数为 【 】
A.$120^{\circ }$
B.$80^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$70^{\circ }$
答案
C
解析
1. 由$PD=PE=PF$，且$PD⊥AB$，$PE⊥AC$，$PF⊥BC$，根据角平分线的判定定理，可知$BP$平分$∠ ABC$，$CP$平分$∠ ACB$。
2. 在$△ BPC$中，$∠ BPC=140°$，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ PBC+∠ PCB=180°-140°=40°$。
3. 因为$BP$、$CP$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$，所以$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ PBC+∠ PCB)=2×40°=80°$。
4. 在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-80°=100°$。
2. 在$△ BPC$中，$∠ BPC=140°$，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ PBC+∠ PCB=180°-140°=40°$。
3. 因为$BP$、$CP$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$，所以$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ PBC+∠ PCB)=2×40°=80°$。
4. 在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-80°=100°$。
22.(★★)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ACB=$
$90^{\circ },BC=3,AC=4$,$P$是$∠BAC$,
$∠ABC$的平分线的交点,试求
点$P$到$AB$边的距离。
思想方法 类比思想
$90^{\circ },BC=3,AC=4$,$P$是$∠BAC$,
$∠ABC$的平分线的交点,试求
点$P$到$AB$边的距离。
思想方法 类比思想
答案
解：
过点P作$PD⊥ AC$于$D$，$PE⊥ BC$于$E$，$PF⊥ AB$于$F$。
因为$P$是$∠ BAC$、$∠ ABC$的平分线的交点，
所以$PD=PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设$PD=PE=PF=h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
因为$S_{△ ABC}=S_{△ ACP}+S_{△ BCP}+S_{△ ABP}$，
所以$\frac{1}{2}× AC× BC = \frac{1}{2}× AC× PD + \frac{1}{2}× BC× PE + \frac{1}{2}× AB× PF$，
代入得：$\frac{1}{2}×4×3 = \frac{1}{2}×4× h + \frac{1}{2}×3× h + \frac{1}{2}×5× h$，
化简得：$6=6h$，
解得$h=1$。
答：点$P$到$AB$边的距离为1。
过点P作$PD⊥ AC$于$D$，$PE⊥ BC$于$E$，$PF⊥ AB$于$F$。
因为$P$是$∠ BAC$、$∠ ABC$的平分线的交点，
所以$PD=PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设$PD=PE=PF=h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
因为$S_{△ ABC}=S_{△ ACP}+S_{△ BCP}+S_{△ ABP}$，
所以$\frac{1}{2}× AC× BC = \frac{1}{2}× AC× PD + \frac{1}{2}× BC× PE + \frac{1}{2}× AB× PF$，
代入得：$\frac{1}{2}×4×3 = \frac{1}{2}×4× h + \frac{1}{2}×3× h + \frac{1}{2}×5× h$，
化简得：$6=6h$，
解得$h=1$。
答：点$P$到$AB$边的距离为1。
23.(1)如图①,直线$m$经过等边三角形
$ABC$的顶点$A$,在直线$m$上取两点$D,E$,使得
$∠ADB=60^{\circ },∠AEC=60^{\circ }$,求证:$BD+CE=DE$;
(2)将图①中的直线$m$绕着点$A$按逆时
针方向旋转一个角度到如图②的位置,并使
$∠ADB=120^{\circ },∠AEC=120^{\circ }$,若$BD=3,CE=7$,
求$DE$的长。
$ABC$的顶点$A$,在直线$m$上取两点$D,E$,使得
$∠ADB=60^{\circ },∠AEC=60^{\circ }$,求证:$BD+CE=DE$;
(2)将图①中的直线$m$绕着点$A$按逆时
针方向旋转一个角度到如图②的位置,并使
$∠ADB=120^{\circ },∠AEC=120^{\circ }$,若$BD=3,CE=7$,
求$DE$的长。
答案
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠DAB + ∠CAE = 180° - ∠BAC = 120°，
∵∠ADB=60°，
∴∠DAB + ∠DBA = 180° - ∠ADB = 120°，
∴∠DBA = ∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}∠ADB = ∠CEA = 60° \\∠DBA = ∠CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即BD+CE=DE。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠ADB=120°，
∴∠ABD + ∠BAD = 180° - ∠ADB = 60°，
又∵∠BAD + ∠CAE = 60°，
∴∠ABD = ∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}∠ADB = ∠CEA = 120° \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AD=CE=7，AE=BD=3，
∴DE=AD - AE=7-3=4。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠DAB + ∠CAE = 180° - ∠BAC = 120°，
∵∠ADB=60°，
∴∠DAB + ∠DBA = 180° - ∠ADB = 120°，
∴∠DBA = ∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}∠ADB = ∠CEA = 60° \\∠DBA = ∠CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即BD+CE=DE。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠ADB=120°，
∴∠ABD + ∠BAD = 180° - ∠ADB = 60°，
又∵∠BAD + ∠CAE = 60°，
∴∠ABD = ∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
$\begin{cases}∠ADB = ∠CEA = 120° \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AD=CE=7，AE=BD=3，
∴DE=AD - AE=7-3=4。
