综合与实践 社区公园改造的几何设计
试题背景
某社区计划将一块三角形空地(△ABC)改造成休闲公园,现需设计步道系统和休闲设施位置。要求运用三角形的性质进行科学规划。设计任务如下:
任务1 步道系统设计
如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。
(1)若AD平分∠BAC,求证:AE=AF;

(2)在(1)的条件下,若AB=10 m,BC=12 m,求DE的长度。
任务2 休闲广场位置确定
如图,休闲广场P需满足到AB,AC两边的距离相等,且到B,C两点的距离也相等。试确定点P的位置(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并说明作图依据)。

任务3 观景台位置设计
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10 m,BC=12 m,AD是底边BC的高,在AD的中点处设置观景台Q,求BQ的长度。

(1) $\because$ $AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,$\therefore$ $DE=DF$。
$\because$ $AD=AD$,$\therefore$ $\boldsymbol{\mathrm{Rt}△ AED≌\mathrm{Rt}△ AFD(\mathrm{HL})}$。$\therefore$ $AE=AF$。
(2) $\because$ $AB=AC$,$AD$平分$∠ BAC$,$\therefore$ $AD⊥ BC$,$BD=DC=6\ \mathrm{m}$(等腰三角形“三线合一”)。
$\because$ $AB=10\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 由勾股定理,得$AD=8\ \mathrm{m}$。$\therefore$ $\boldsymbol{\frac{1}{2}×10× DE=\frac{1}{2}×6×8}$。
$\therefore$ $5DE=24$。$\therefore$ $DE=4.8\ \mathrm{m}$。
作图:作$\boldsymbol{∠ BAC}$的平分线和$\boldsymbol{BC}$的垂直平分线,两条线的交点即为点$\boldsymbol{P}$,图略。
依据:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
$\because$ $AB=AC=10\ \mathrm{m}$,$BC=12\ \mathrm{m}$,$AD$是底边$BC$的高,
$\therefore$ $BD=DC=6\ \mathrm{m}$。
$\because$ $AB=10\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 由勾股定理,得$AD=8\ \mathrm{m}$。
$\because$ $Q$为$AD$的中点,$\therefore$ $DQ=4\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 在$\boldsymbol{\mathrm{Rt}△ BDQ}$中,$\boldsymbol{BQ=\sqrt{DQ^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}(\mathrm{m})}$。