15.(★★)如图,$BE,CF$是$△ ABC$的高,
$P$是$BE,CF$的交点,点$Q$在$CF$的延长线上,
$BP=CA,QC=AB$。
(1)求证:$AP=AQ$。
(2)$AP$与$AQ$有什么位置关系? 写出你
的结论,并说明理由。

(1) 证明：
∵$BE$、$CF$是$△ ABC$的高，
∴$∠ AEB=∠ AFC=90°$，
∴$∠ ABE+∠ BAC=90°$，$∠ ACQ+∠ BAC=90°$，
∴$∠ ABE=∠ ACQ$。
在$△ ABP$和$△ QCA$中，
$\begin{cases}AB=QC\\∠ ABE=∠ ACQ\\BP=CA\end{cases}$
∴$△ ABP≌△ QCA$（$\mathrm{SAS}$），
∴$AP=AQ$。
(2) 结论：$AP⊥ AQ$，理由如下：
∵$△ ABP≌△ QCA$，
∴$∠ Q=∠ BAP$。
∵$∠ QFA=90°$，
∴$∠ Q+∠ QAF=90°$，
∴$∠ BAP+∠ QAF=90°$，即$∠ QAP=90°$，
∴$AP⊥ AQ$。

16.(★)一个多边形的各个内角都相等,
每个内角与外角的差为$100^{\circ }$,则这个多边形是
【 】

A.七边形
B.八边形
C.九边形
D.十边形

C

设这个多边形的每个外角为$x°$，则每个内角为$(x + 100)°$。
因为内角与外角互为邻补角，所以$x + (x + 100) = 180$，
解得$x = 40$。
又因为多边形外角和为$360°$，所以边数$n = 360÷40 = 9$，即这个多边形是九边形。

17.(★★)如图,在$△ ABC$

中,点$D$在$AB$上,点$E$在$AC$
的延长线上,连接$DE$,交$BC$于
点$F$,且$BD=CE,DF=EF$。求
证:$△ ABC$是等腰三角形。

证明：
过点$D$作$DG// AC$，交$BC$于点$G$。
$\therefore ∠ DGB=∠ ACB$，$∠ GDF=∠ E$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ GDF=∠ E\\DF=EF\\∠ DFG=∠ EFC\end{array} $
$\therefore △ DGF≌△ ECF$（ASA）。
$\therefore DG=CE$。
$\because BD=CE$，
$\therefore BD=DG$。
$\therefore ∠ B=∠ DGB$。
又$\because ∠ DGB=∠ ACB$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB$。
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。

18.(★★)图①是一把折叠凳实物图,
图②是凳子打开时的侧面示意图(忽略材料的
厚度),支架$AB$与$CD$交于点$O$,$OD=OB$,凳
面水平线$MN$与地面水平线$l$平行,$BD=2AC$,
$∠CAO=60^{\circ },BD=28\ \mathrm{cm}$,那么折叠后凳子比
完全打开时高 【 】

A.42 cm
B.$(21\sqrt{3}-21)\ \mathrm{cm}$

C.$21\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$(42-21\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$

D

1. 由$BD=2AC$，$BD=28\ \mathrm{cm}$，得$AC=14\ \mathrm{cm}$。
2. 因为$MN//$地面水平线$l$，所以$△ AOC ∽ △ BOD$，相似比为$\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$。
3. 已知$OD=OB$，结合相似比得$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，即$OB=2OA$。
4. 由$∠ CAO=60°$，$MN// l$，得$∠ OBD=∠ CAO=60°$，又$OB=OD$，故$△ BOD$为等边三角形，所以$OB=BD=28\ \mathrm{cm}$，进而$OA=14\ \mathrm{cm}$，$AB=OA+OB=42\ \mathrm{cm}$。
5. 过$A$作$AE⊥ l$于$E$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE=60°$，则完全打开时凳子的高度$AE=AB·\sin60°=42×\frac{\sqrt{3}}{2}=21\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
6. 折叠后凳子的高度为$AB$的长度$42\ \mathrm{cm}$，故折叠后比完全打开时高$42-21\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。

19.(★★)如图是脊柱侧弯的检测示意
图,在体检时为方便测出Cobb角(Cobb角是
评估脊柱侧凸弯曲程度的核心量化指标,由美
国骨科医生John Robert Cobb于1948年提出,
也是目前全球通用的脊柱侧凸诊断、分型、治
疗决策及疗效评估的金标准)$∠O$的大小,需
将$∠O$转化为与它相等的角,则图中与$∠O$相
等的角是 【 】


A.$∠BEA$
B.$∠DEB$
C.$∠ECA$
D.$∠ADO$

A

由图可知$AB⊥OD$，$AC⊥OE$，因此$∠ OBE=∠ OCE=90°$。
在四边形$OBEC$中，根据四边形内角和为$360°$，得$∠ O + ∠ BEC + ∠ OBE + ∠ OCE = 360°$，代入角度数可得$∠ O + ∠ BEC = 180°$。
根据邻补角定义，$∠ BEA + ∠ BEC = 180°$，由同角的补角相等，可推出$∠ O = ∠ BEA$。