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1.计算：
(1)$1 ÷ \dfrac{1+m}{1-m} · (m^2 - 1)$；
(2)$\dfrac{a^2 - 1}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{a + 1}{a - 1} · \dfrac{1 - a}{a + 1}$；
(3)$( \dfrac{1 - x}{3 - x} )^2 ÷ ( \dfrac{1}{9 - $
$} )^2 · \dfrac{1}{x^2 - 2x + 1}$；
(1)$1 ÷ \dfrac{1+m}{1-m} · (m^2 - 1)$；
(2)$\dfrac{a^2 - 1}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{a + 1}{a - 1} · \dfrac{1 - a}{a + 1}$；
(3)$( \dfrac{1 - x}{3 - x} )^2 ÷ ( \dfrac{1}{9 - $
$} )^2 · \dfrac{1}{x^2 - 2x + 1}$；答案
解:(1)原式$=1×\dfrac{1-m}{m+1} · (m+1)(m-1)$
$=-(1-m)^2$
$=-m^2+2m-1$；
(2)原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \dfrac{a-1}{a+1} · \dfrac{1-a}{a+1}$
$=\dfrac{1-a}{a+1}$；
(3)原式$=\dfrac{(1-x)^2}{(3-x)^2} · (3+x)^2(3-x)^2 · \dfrac{1}{(x-1)^2}$
$=(x+3)^2$
$=x^2+6x+9$。
$=-(1-m)^2$
$=-m^2+2m-1$；
(2)原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \dfrac{a-1}{a+1} · \dfrac{1-a}{a+1}$
$=\dfrac{1-a}{a+1}$；
(3)原式$=\dfrac{(1-x)^2}{(3-x)^2} · (3+x)^2(3-x)^2 · \dfrac{1}{(x-1)^2}$
$=(x+3)^2$
$=x^2+6x+9$。
解析
【分析】
解决分式乘除及混合运算类题目，遵循以下思路：①先算乘方，再按照从左到右的顺序计算乘除；②遇除法先转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；③将每个分式的分子、分母中能因式分解的多项式用平方差公式、完全平方公式等分解因式；④约去分子分母的公因式，最后化简得到最简结果，注意处理互为相反数的因式（如$1-m$和$m-1$）时的符号变化。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再对$m^2-1$因式分解：
原式$=1×\dfrac{1-m}{m+1} · (m+1)(m-1)$
约去公因式$m+1$，注意$m-1=-(1-m)$：
$=(1-m)(m-1)=-(1-m)^2$
展开得：
$=-m^2+2m-1$
(2) 先对各多项式因式分解，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \dfrac{a-1}{a+1} · \dfrac{1-a}{a+1}$
依次约去公因式$a+1$、$a-1$，得：
$=\dfrac{1-a}{a+1}$
(3) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解：
原式$=\dfrac{(1-x)^2}{(3-x)^2} · [(3+x)(3-x)]^2 · \dfrac{1}{(x-1)^2}$
化简得$\dfrac{(1-x)^2}{(3-x)^2} · (3+x)^2(3-x)^2 · \dfrac{1}{(1-x)^2}$
约去公因式$(1-x)^2$、$(3-x)^2$，得：
$=(x+3)^2$
展开得：
$=x^2+6x+9$
【答案】
(1) $-m^2+2m-1$；
(2) $\dfrac{1-a}{a+1}$；
(3) $x^2+6x+9$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式乘方
【点评】
这组题目是分式乘除混合运算的常规题型，核心是掌握运算顺序，熟练运用因式分解公式对多项式变形，约分过程中注意互为相反数的因式的符号处理，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解决分式乘除及混合运算类题目，遵循以下思路：①先算乘方，再按照从左到右的顺序计算乘除；②遇除法先转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；③将每个分式的分子、分母中能因式分解的多项式用平方差公式、完全平方公式等分解因式；④约去分子分母的公因式，最后化简得到最简结果，注意处理互为相反数的因式（如$1-m$和$m-1$）时的符号变化。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再对$m^2-1$因式分解：
原式$=1×\dfrac{1-m}{m+1} · (m+1)(m-1)$
约去公因式$m+1$，注意$m-1=-(1-m)$：
$=(1-m)(m-1)=-(1-m)^2$
展开得：
$=-m^2+2m-1$
(2) 先对各多项式因式分解，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \dfrac{a-1}{a+1} · \dfrac{1-a}{a+1}$
依次约去公因式$a+1$、$a-1$，得：
$=\dfrac{1-a}{a+1}$
(3) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解：
原式$=\dfrac{(1-x)^2}{(3-x)^2} · [(3+x)(3-x)]^2 · \dfrac{1}{(x-1)^2}$
化简得$\dfrac{(1-x)^2}{(3-x)^2} · (3+x)^2(3-x)^2 · \dfrac{1}{(1-x)^2}$
约去公因式$(1-x)^2$、$(3-x)^2$，得：
$=(x+3)^2$
展开得：
$=x^2+6x+9$
【答案】
(1) $-m^2+2m-1$；
(2) $\dfrac{1-a}{a+1}$；
(3) $x^2+6x+9$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式乘方
【点评】
这组题目是分式乘除混合运算的常规题型，核心是掌握运算顺序，熟练运用因式分解公式对多项式变形，约分过程中注意互为相反数的因式的符号处理，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
2.(教材 P150T1 改编)先化简,再求值:
(1)$\frac{16 - a^2}{a^2 + 8a + 16} ÷ \frac{a - 4}{2a + 8} · \frac{a - 2}{a + 2}$,
其中$a = 3$.
(2)$[ \frac{xy}{(x - y)^2} ]^2 · ( \frac{x - y}{$
$y^2} )^2 ÷ ( \frac{1}{xy - y^2} )^3$,
其中$x = -2, y = 4$.
(1)$\frac{16 - a^2}{a^2 + 8a + 16} ÷ \frac{a - 4}{2a + 8} · \frac{a - 2}{a + 2}$,
其中$a = 3$.
(2)$[ \frac{xy}{(x - y)^2} ]^2 · ( \frac{x - y}{$
$y^2} )^2 ÷ ( \frac{1}{xy - y^2} )^3$,其中$x = -2, y = 4$.
答案
解:(1)原式$=\dfrac{(4+a)(4-a)}{(a+4)^2} · \dfrac{2(a+4)}{a-4} · \dfrac{a-2}{a+2}$
$=\dfrac{-2(a-2)}{a+2}$,
当$a=3$时,原式$=-\dfrac{2}{5}$；
(2)原式$=\dfrac{x^2y^2}{(x-y)^4} · \dfrac{(x-y)^2}{x^2y^4} · y^3(x-y)^3$
$=y(x-y)$,
当$x=-2,y=4$时,原式$=-24$。
$=\dfrac{-2(a-2)}{a+2}$,
当$a=3$时,原式$=-\dfrac{2}{5}$；
(2)原式$=\dfrac{x^2y^2}{(x-y)^4} · \dfrac{(x-y)^2}{x^2y^4} · y^3(x-y)^3$
$=y(x-y)$,
当$x=-2,y=4$时,原式$=-24$。
解析
【分析】
这两道题属于分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的解题思路：①先计算运算中的乘方，再将除法统一转化为乘法运算；②对各分式的分子、分母进行因式分解，约去公因式得到最简结果；③最后将给定的字母取值代入最简式计算结果。运算中要注意符号变化，如$4-a$和$a-4$互为相反数，约分后需保留负号。
【解析】
(1) 先对各分式因式分解，将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(4+a)(4-a)}{(a+4)^2} · \dfrac{2(a+4)}{a-4} · \dfrac{a-2}{a+2}$
其中$4-a=-(a-4)$，约去公因式$(a+4)$、$(a-4)$后得：
$=\dfrac{-2(a-2)}{a+2}$
将$a=3$代入最简式：
原式$=\dfrac{-2×(3-2)}{3+2}=-\dfrac{2}{5}$
(2) 先计算乘方，将除法转化为乘法，同时因式分解$xy-y^2=y(x-y)$：
原式$=\dfrac{x^2y^2}{(x-y)^4} · \dfrac{(x-y)^2}{x^2y^4} · y^3(x-y)^3$
约去公因式$x^2$、$y^2$、$(x-y)^2$后合并得：
$=y(x-y)$
将$x=-2,y=4$代入最简式：
原式$=4×(-2-4)=-24$
【答案】
(1) $-\dfrac{2}{5}$；(2) $-24$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查分式混合运算与化简求值，核心是熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，先因式分解再约分能大幅简化计算，要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的解题思路：①先计算运算中的乘方，再将除法统一转化为乘法运算；②对各分式的分子、分母进行因式分解，约去公因式得到最简结果；③最后将给定的字母取值代入最简式计算结果。运算中要注意符号变化，如$4-a$和$a-4$互为相反数，约分后需保留负号。
【解析】
(1) 先对各分式因式分解，将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(4+a)(4-a)}{(a+4)^2} · \dfrac{2(a+4)}{a-4} · \dfrac{a-2}{a+2}$
其中$4-a=-(a-4)$，约去公因式$(a+4)$、$(a-4)$后得：
$=\dfrac{-2(a-2)}{a+2}$
将$a=3$代入最简式：
原式$=\dfrac{-2×(3-2)}{3+2}=-\dfrac{2}{5}$
(2) 先计算乘方，将除法转化为乘法，同时因式分解$xy-y^2=y(x-y)$：
原式$=\dfrac{x^2y^2}{(x-y)^4} · \dfrac{(x-y)^2}{x^2y^4} · y^3(x-y)^3$
约去公因式$x^2$、$y^2$、$(x-y)^2$后合并得：
$=y(x-y)$
将$x=-2,y=4$代入最简式：
原式$=4×(-2-4)=-24$
【答案】
(1) $-\dfrac{2}{5}$；(2) $-24$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查分式混合运算与化简求值，核心是熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，先因式分解再约分能大幅简化计算，要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
3.如图，设$k=\frac{甲图中阴影部分面积}{乙图中阴影部分面积}(a＞b＞0)$，则有（
A.$k＞2$
B.$1＜k＜2$
C.$\frac{1}{2}＜k＜1$
D.$0＜k＜\frac{1}{2}$
B
）A.$k＞2$
B.$1＜k＜2$
C.$\frac{1}{2}＜k＜1$
D.$0＜k＜\frac{1}{2}$
答案
B
分析:$S_甲=a^2-b^2$,$S_乙=a^2-ab$,
$\dfrac{S_甲}{S_乙}=\dfrac{a^2-b^2}{a^2-ab}=\dfrac{a+b}{a}$,
$\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}＜2$,$\therefore 1＜k＜2$。
分析:$S_甲=a^2-b^2$,$S_乙=a^2-ab$,
$\dfrac{S_甲}{S_乙}=\dfrac{a^2-b^2}{a^2-ab}=\dfrac{a+b}{a}$,
$\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}＜2$,$\therefore 1＜k＜2$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需利用面积和差关系分别求出甲、乙两图的阴影部分面积，再写出k的分式表达式，通过因式分解对分式约分化简，最后结合已知条件$a＞b＞0$判断k的取值范围即可。第一步先结合图形特征：甲图阴影是大正方形挖去小正方形，面积为大、小正方形的面积差；乙图阴影是大正方形挖去上方长方形，面积为大正方形与小长方形的面积差。第二步对分式化简后，根据a和b的大小关系推导k的范围。
【解析】
1. 计算甲图阴影面积：
$S_甲 = S_{\mathrm{边长为}a\mathrm{的正方形}} - S_{\mathrm{边长为}b\mathrm{的正方形}} = a^2 - b^2$
2. 计算乙图阴影面积：
$S_乙 = S_{\mathrm{边长为}a\mathrm{的正方形}} - S_{\mathrm{长}a\mathrm{宽}b\mathrm{的长方形}} = a^2 - ab$
3. 推导k的表达式并化简：
$k=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{a^2-b^2}{a^2-ab}$
分子利用平方差公式因式分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
分母提取公因式因式分解：$a^2-ab=a(a-b)$
$\because a＞b＞0$，$\therefore a-b≠0$，可约去公因式$a-b$，得：
$k=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}$
4. 判断k的范围：
$\because a＞b＞0$，$\therefore 0＜\frac{b}{a}＜1$
因此$1＜1+\frac{b}{a}＜2$，即$1＜k＜2$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，分式约分，代数式范围判断
【点评】
本题结合几何面积考查分式化简与代数式取值范围的推导，解题核心是正确表示阴影面积，化简分式时需先判断约去的公因式不为0，再结合已知条件推导范围即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需利用面积和差关系分别求出甲、乙两图的阴影部分面积，再写出k的分式表达式，通过因式分解对分式约分化简，最后结合已知条件$a＞b＞0$判断k的取值范围即可。第一步先结合图形特征：甲图阴影是大正方形挖去小正方形，面积为大、小正方形的面积差；乙图阴影是大正方形挖去上方长方形，面积为大正方形与小长方形的面积差。第二步对分式化简后，根据a和b的大小关系推导k的范围。
【解析】
1. 计算甲图阴影面积：
$S_甲 = S_{\mathrm{边长为}a\mathrm{的正方形}} - S_{\mathrm{边长为}b\mathrm{的正方形}} = a^2 - b^2$
2. 计算乙图阴影面积：
$S_乙 = S_{\mathrm{边长为}a\mathrm{的正方形}} - S_{\mathrm{长}a\mathrm{宽}b\mathrm{的长方形}} = a^2 - ab$
3. 推导k的表达式并化简：
$k=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{a^2-b^2}{a^2-ab}$
分子利用平方差公式因式分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
分母提取公因式因式分解：$a^2-ab=a(a-b)$
$\because a＞b＞0$，$\therefore a-b≠0$，可约去公因式$a-b$，得：
$k=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}$
4. 判断k的范围：
$\because a＞b＞0$，$\therefore 0＜\frac{b}{a}＜1$
因此$1＜1+\frac{b}{a}＜2$，即$1＜k＜2$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，分式约分，代数式范围判断
【点评】
本题结合几何面积考查分式化简与代数式取值范围的推导，解题核心是正确表示阴影面积，化简分式时需先判断约去的公因式不为0，再结合已知条件推导范围即可。
【难度系数】
0.7
