【例1】计算:(1)$\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}$的结果是;(2)$\frac{5x+3y}{x^2-y^2}-\frac{2x}{x^2-y^2}=$

(1)1
(2)$\frac{3}{x-y}$

【分析】
首先观察两道题的分式特征，两个小题中参与运算的分式分母均相同，因此采用同分母分式加减法法则解题：同分母分式相加减，分母保持不变，只把分子相加减。完成分子的加减运算后，对分子、分母因式分解，约去公因式，将结果化简为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 依据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}$
当$x+1≠0$时，约分得：$\frac{x+1}{x+1}=1$
(2) 依据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{5x+3y}{x^2-y^2}-\frac{2x}{x^2-y^2}=\frac{5x+3y-2x}{x^2-y^2}$
分子合并同类项得：$\frac{3x+3y}{x^2-y^2}$
对分子、分母分别因式分解：分子$3x+3y=3(x+y)$，分母$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，因此原式可化为：
$\frac{3(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
当$x+y≠0$时，约去公因式$(x+y)$得：$\frac{3}{x-y}$
【答案】
(1)1；(2)$\frac{3}{x-y}$
【知识点】
同分母分式加减运算、分式约分、因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的加减运算法则，解题时需注意运算结果必须化为最简形式，约分前要先对分子、分母正确因式分解，再约去公因式，掌握基础法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.9

练习1.化简$\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2}{a-b}$的结果是（）

A.$a^2 - b^2$
B.$a + b$
C.$a - b$
D.1

B

【分析】
这道题是同分母分式的减法运算，解题思路清晰：首先观察两个分式的分母，发现二者相同，均为$a-b$，符合同分母分式减法的运算条件；接着根据同分母分式减法法则，保持分母不变，将两个分子相减，得到分子为$a^2-b^2$；最后对分子利用平方差公式因式分解，再和分母约分化简，就能得到最终结果。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法“分母不变，分子相减”的法则：
$\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2}{a-b} = \frac{a^2 - b^2}{a-b}$
对分子利用平方差公式因式分解，可得$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，代入上式：
原式$= \frac{(a - b)(a + b)}{a - b}$
由分式有意义的条件可知$a - b ≠ 0$，约分后得结果为$a + b$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题核心是先判断分式分母是否相同，再正确运用分式运算规则，结合因式分解完成约分，运算时要注意默认分式有意义的前提，避免出现不必要的错误。
【难度系数】
0.9

练习2.化简$\frac{m^2}{m-1} - \frac{2m -1}{m-1}$的结果是（）

A.$m+1$
B.$m-1$
C.$m-2$
D.$-m-2$

B

【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，先观察两个分式的分母，发现分母均为$m-1$，属于同分母分式相减，按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相减即可，注意相减时要给第二个分式的分子整体加括号，避免出现符号错误；第二步，对合并后的分子进行去括号、合并同类项，再利用乘法公式因式分解；第三步，将分子分母的公因式约分化简，即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m^2 - (2m - 1)}{m - 1}\\&=\frac{m^2 - 2m + 1}{m - 1}\\&=\frac{(m - 1)^2}{m - 1}\\&=m - 1 \quad (m≠1)\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、完全平方公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算法则，解题的易错点是分子相减时未对后一个分子加括号导致符号错误，熟练掌握分式运算规则和常用乘法公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8

练习3.计算：
(1)$\frac{a+2b}{a-b}+\frac{b}{b-a}-\frac{2a}{a-b}$；
(2)$\frac{x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-1}$；
(3)$\frac{x^2}{x+2}-\frac{4}{x+2}$；
(4)$\frac{x^2+y^2}{x-$$}+\frac{2xy}{y-x}$；

解:(1)原式$=\frac{a+2b}{a-b}-\frac{b}{a-b}-\frac{2a}{a-b}$
$=\frac{a+2b-b-2a}{a-b}$
$=\frac{b-a}{a-b}$
$=-1$；
(2)原式$=\frac{x-1}{x^2-1}$
$=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1}{x+1}$；
(3)原式$=\frac{x^2-4}{x+2}$
$=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}$
$=x-2$；
(4)原式$=\frac{x^2+y^2}{x-y}-\frac{2xy}{x-y}$
$=\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$
$=\frac{(x-y)^2}{x-y}$
$=x-y$。

【分析】
解决分式加减运算问题，首先观察各分式的分母：①若分母互为相反数，先通过符号变换将分母统一为相同分母，注意分式整体的符号变化；②按照同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，计算分子的和差，计算时注意分子是多项式的要注意运算符号；③对计算后的分子因式分解，约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
(1) 先将分母$b-a$转化为$-(a-b)$，原式$=\frac{a+2b}{a-b}-\frac{b}{a-b}-\frac{2a}{a-b}$
分母不变，分子相加减得：$=\frac{a+2b-b-2a}{a-b}$
整理分子得：$=\frac{b-a}{a-b}$
约分后得：$=-1$
(2) 两个分式分母相同，直接分子相减：原式$=\frac{x-1}{x^2-1}$
对分母因式分解：$=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$
约去公因式$x-1$（$x≠1$）得：$=\frac{1}{x+1}$
(3) 两个分式分母相同，直接分子相减：原式$=\frac{x^2-4}{x+2}$
对分子用平方差公式因式分解：$=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}$
约去公因式$x+2$（$x≠-2$）得：$=x-2$
(4) 先将分母$y-x$转化为$-(x-y)$，原式$=\frac{x^2+y^2}{x-y}-\frac{2xy}{x-y}$
分母不变，分子相加减得：$=\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$
对分子用完全平方公式因式分解：$=\frac{(x-y)^2}{x-y}$
约去公因式$x-y$（$x≠ y$）得：$=x-y$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{x+1}}$；(3) $\boldsymbol{x-2}$；(4) $\boldsymbol{x-y}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，核心是先统一分母，注意互为相反数的分母变换时的符号问题，分子运算后要先因式分解再约分，可有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8

【例2】计算:(1)$\frac{1}{2x} - \frac{1}{x} =$ ；(2)$\frac{2}{m+n} - \frac{m-3n}{m^2 - n^2} =$ 。

(1)$-\frac{1}{2x}$
(2)$\frac{1}{m-n}$

【分析】
这两道题都是异分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察分式的分母，若分母可因式分解则先分解，据此确定最简公分母；再将各分式通分，转化为同分母分式；按照同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减计算，注意分子是多项式时，去括号要留意符号变化；最后化简分子，将结果约分为最简分式即可。
(1) 两个分式的分母分别是2x、x，最简公分母为2x，通分后按法则计算即可；
(2) 第二个分式的分母是$m^2-n^2$，可利用平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$，因此最简公分母为$(m+n)(m-n)$，通分后计算再约分得到结果。
【解析】
(1) 通分，将两个分式化为同分母分式：
$\frac{1}{2x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2x} - \frac{2}{2x}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{1-2}{2x} = -\frac{1}{2x}$
(2) 先利用平方差公式分解分母：$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，确定最简公分母为$(m+n)(m-n)$，对第一个分式通分：
$\frac{2}{m+n} - \frac{m-3n}{m^2 - n^2} = \frac{2(m-n)}{(m+n)(m-n)} - \frac{m-3n}{(m+n)(m-n)}$
分母不变，分子相减，去括号时注意符号：
$=\frac{2(m-n)-(m-3n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{2m-2n -m +3n}{(m+n)(m-n)}$
化简分子：
$=\frac{m+n}{(m+n)(m-n)}$
约去分子分母的公因式$m+n$（$m+n≠0$）：
$=\frac{1}{m-n}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{2x}$；(2)$\frac{1}{m-n}$
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，核心考查异分母分式的运算规则，解题时要注意准确确定最简公分母，分子为多项式时去括号不要出现符号错误，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8

练习.计算:
(1)$\frac{1}{x+y}-\frac{2x}{x^2-y^2}$；
(2)$\frac{1}{a-3}-\frac{3}{a^2-3a}$。

解:(1)原式$=\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}-\frac{2x}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{-(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
$=-\frac{1}{x-y}$；
(2)原式$=\frac{a}{a(a-3)}-\frac{3}{a(a-3)}$
$=\frac{1}{a}$。

【分析】
这两道题均为异分母分式的减法运算，解题遵循三步思路：①先对各分式的分母因式分解，确定最简公分母；②将异分母分式通分为同分母分式，按照同分母分式减法规则，分母不变，分子相减；③对运算得到的分式约分，化为最简分式。
第(1)题：先把分母$x^2-y^2$用平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，可得最简公分母是$(x+y)(x-y)$，将第一个分式通分后计算分子的差，再约分即可。
第(2)题：先把分母$a^2-3a$提取公因式分解为$a(a-3)$，可得最简公分母是$a(a-3)$，将第一个分式通分后计算分子的差，再约分即可。
【解析】
(1) 对分母因式分解后通分：
原式$=\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}-\frac{2x}{(x+y)(x-y)}$
分子相减合并同类项：
$=\frac{x-y-2x}{(x+y)(x-y)}=\frac{-(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$x+y$：
$=-\frac{1}{x-y}$
(2) 对分母因式分解后通分：
原式$=\frac{a}{a(a-3)}-\frac{3}{a(a-3)}$
分子相减合并同类项：
$=\frac{a-3}{a(a-3)}$
约去公因式$a-3$：
$=\frac{1}{a}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{x-y}$；(2) $\frac{1}{a}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是先通过因式分解准确找到最简公分母，通分后计算分子时要注意符号变化，最终结果必须化为最简分式，能有效考察学生对分式加减基本规则的掌握程度。
【难度系数】
0.7