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【例1】计算:(1)$(\dfrac{x}{y})^2 =$
$\dfrac{x^2}{y^2}$
；(2)$(-\dfrac{2b}{a})^3 =$ $-\dfrac{8b^3}{a^3}$
。答案
(1)$\dfrac{x^2}{y^2}$ (2)$-\dfrac{8b^3}{a^3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，同时结合乘方的符号规律（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）、积的乘方规则（积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）。第(1)题是正分式的偶次乘方，直接对分子分母分别平方即可；第(2)题是负分式的奇次乘方，先确定结果符号为负，再对分子里的系数和字母、分母分别进行三次方运算。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则，对分子$x$和分母$y$分别平方：
$(\dfrac{x}{y})^2=\dfrac{x^2}{y^2}$
(2) 首先判断符号：负数的奇次幂为负，再对分子的$2b$和分母$a$分别三次方，其中$(2b)^3=2^3· b^3=8b^3$：
$(-\dfrac{2b}{a})^3=-\dfrac{(2b)^3}{a^3}=-\dfrac{8b^3}{a^3}$
【答案】
(1)$\dfrac{x^2}{y^2}$；(2)$-\dfrac{8b^3}{a^3}$
【知识点】
1. 分式乘方运算 2. 积的乘方运算 3. 乘方符号法则
【点评】
本题属于分式乘方的基础运算题，核心考查分式乘方法则的应用，运算时需注意先确定结果的符号，再对分子分母的每一项（包括系数）分别乘方，避免出现漏算系数乘方、符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，同时结合乘方的符号规律（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）、积的乘方规则（积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）。第(1)题是正分式的偶次乘方，直接对分子分母分别平方即可；第(2)题是负分式的奇次乘方，先确定结果符号为负，再对分子里的系数和字母、分母分别进行三次方运算。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则，对分子$x$和分母$y$分别平方：
$(\dfrac{x}{y})^2=\dfrac{x^2}{y^2}$
(2) 首先判断符号：负数的奇次幂为负，再对分子的$2b$和分母$a$分别三次方，其中$(2b)^3=2^3· b^3=8b^3$：
$(-\dfrac{2b}{a})^3=-\dfrac{(2b)^3}{a^3}=-\dfrac{8b^3}{a^3}$
【答案】
(1)$\dfrac{x^2}{y^2}$；(2)$-\dfrac{8b^3}{a^3}$
【知识点】
1. 分式乘方运算 2. 积的乘方运算 3. 乘方符号法则
【点评】
本题属于分式乘方的基础运算题，核心考查分式乘方法则的应用，运算时需注意先确定结果的符号，再对分子分母的每一项（包括系数）分别乘方，避免出现漏算系数乘方、符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.9
练习 1.(1) $(\dfrac{y}{x})^2 × (-\dfrac{x}{y})^3 =$
(2) $(-\dfrac{b}{a})^3 ÷ (\dfrac{b}{a})^2 =$
$-\dfrac{x}{y}$
；(2) $(-\dfrac{b}{a})^3 ÷ (\dfrac{b}{a})^2 =$
$-\dfrac{b}{a}$
.答案
(1)$-\dfrac{x}{y}$ (2)$-\dfrac{b}{a}$
解析
【分析】
解题时遵循分式混合运算顺序：先算乘方，再算乘除。首先根据分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算乘方项，注意负号的奇数次幂为负、偶数次幂为正确定符号；再将分式乘除转化为分子分母分别相乘的形式，最后根据同底数幂的运算法则约分得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法：
$\begin{aligned}(\dfrac{y}{x})^2 × (-\dfrac{x}{y})^3&=\dfrac{y^2}{x^2} × (-\dfrac{x^3}{y^3})\\&=-\dfrac{y^2 · x^3}{x^2 · y^3}\\&=-\dfrac{x}{y}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{b}{a})^3 ÷ (\dfrac{b}{a})^2&=-\dfrac{b^3}{a^3} ÷ \dfrac{b^2}{a^2}\\&=-\dfrac{b^3}{a^3} × \dfrac{a^2}{b^2}\\&=-\dfrac{b^3 · a^2}{a^3 · b^2}\\&=-\dfrac{b}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{x}{y}$；(2)$-\dfrac{b}{a}$
【知识点】
分式的乘方运算；分式的乘除运算；同底数幂的运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是牢记运算顺序和符号判定规则，运算过程中先确定结果符号，再进行幂次运算和约分，可有效减少出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时遵循分式混合运算顺序：先算乘方，再算乘除。首先根据分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算乘方项，注意负号的奇数次幂为负、偶数次幂为正确定符号；再将分式乘除转化为分子分母分别相乘的形式，最后根据同底数幂的运算法则约分得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法：
$\begin{aligned}(\dfrac{y}{x})^2 × (-\dfrac{x}{y})^3&=\dfrac{y^2}{x^2} × (-\dfrac{x^3}{y^3})\\&=-\dfrac{y^2 · x^3}{x^2 · y^3}\\&=-\dfrac{x}{y}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{b}{a})^3 ÷ (\dfrac{b}{a})^2&=-\dfrac{b^3}{a^3} ÷ \dfrac{b^2}{a^2}\\&=-\dfrac{b^3}{a^3} × \dfrac{a^2}{b^2}\\&=-\dfrac{b^3 · a^2}{a^3 · b^2}\\&=-\dfrac{b}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{x}{y}$；(2)$-\dfrac{b}{a}$
【知识点】
分式的乘方运算；分式的乘除运算；同底数幂的运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是牢记运算顺序和符号判定规则，运算过程中先确定结果符号，再进行幂次运算和约分，可有效减少出错概率。
【难度系数】
0.8
练习2.计算$(\dfrac{3x}{x+y})^2$的值是（
A.$\dfrac{6x^2}{x^2+y^2}$
B.$\dfrac{9x^2}{x^2+y^2}$
C.$\dfrac{6x^2}{(x+y)^2}$
D.$\dfrac{9x^2}{(x+y)^2}$
D
）A.$\dfrac{6x^2}{x^2+y^2}$
B.$\dfrac{9x^2}{x^2+y^2}$
C.$\dfrac{6x^2}{(x+y)^2}$
D.$\dfrac{9x^2}{(x+y)^2}$
答案
D
解析
【分析】
要解决分式乘方的计算问题，首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方需要将分子、分母分别进行乘方运算。首先确定原式的分子是3x，分母是x+y，分别对分子和分母进行乘方计算，再将结果化简后和选项对比即可得到答案。计算分子乘方时要注意积的乘方规则：积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，不要遗漏系数3的乘方；分母是多项式，乘方后保留整体平方的形式即可，不要错误展开为x²+y²。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（$n$为正整数），可得：
$(\dfrac{3x}{x+y})^2=\dfrac{(3x)^2}{(x+y)^2}$
再根据积的乘方运算法则计算分子：$(3x)^2=3^2· x^2=9x^2$
因此原式化简结果为$\dfrac{9x^2}{(x+y)^2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式乘方运算
2.积的乘方运算
【点评】
本题是分式乘方的基础计算题，核心是熟练掌握分式乘方的运算规则，易错点是容易遗漏系数的乘方，或者错误将分母的和的平方展开为平方和，计算时注意规避这两类错误即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决分式乘方的计算问题，首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方需要将分子、分母分别进行乘方运算。首先确定原式的分子是3x，分母是x+y，分别对分子和分母进行乘方计算，再将结果化简后和选项对比即可得到答案。计算分子乘方时要注意积的乘方规则：积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，不要遗漏系数3的乘方；分母是多项式，乘方后保留整体平方的形式即可，不要错误展开为x²+y²。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（$n$为正整数），可得：
$(\dfrac{3x}{x+y})^2=\dfrac{(3x)^2}{(x+y)^2}$
再根据积的乘方运算法则计算分子：$(3x)^2=3^2· x^2=9x^2$
因此原式化简结果为$\dfrac{9x^2}{(x+y)^2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.分式乘方运算
2.积的乘方运算
【点评】
本题是分式乘方的基础计算题，核心是熟练掌握分式乘方的运算规则，易错点是容易遗漏系数的乘方，或者错误将分母的和的平方展开为平方和，计算时注意规避这两类错误即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
【例2】计算：
(1) $(\dfrac{2x}{3y})^2 · (-\dfrac{3y}{4x})^3$；
(2) $-(\dfrac{n}{m^2})^2 ÷ (\dfrac{n^2}{m^3})$。
(1) $(\dfrac{2x}{3y})^2 · (-\dfrac{3y}{4x})^3$；
(2) $-(\dfrac{n}{m^2})^2 ÷ (\dfrac{n^2}{m^3})$。
答案
解:(1)原式$=-\dfrac{3y}{16x}$；
(2)原式$=-\dfrac{1}{m}$。
(2)原式$=-\dfrac{1}{m}$。
解析
【分析】
这两道题考查分式的乘方与乘除混合运算，解题遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序：①先依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，同时注意判断符号（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）；②乘除是同级运算，遇到除法先转化为乘法（除以分式等于乘它的倒数）；③最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算分式乘方，再做乘法运算：
原式$=\dfrac{(2x)^2}{(3y)^2} · [-\dfrac{(3y)^3}{(4x)^3}]$
$=\dfrac{4x^2}{9y^2} · (-\dfrac{27y^3}{64x^3})$
确定符号为负，约去分子分母的公因式$4、9、x^2、y^2$，计算得：
$=-\dfrac{3y}{16x}$
(2) 先计算分式乘方，再将除法转化为乘法计算：
原式$=-\dfrac{n^2}{(m^2)^2} ÷ \dfrac{n^2}{m^3}$
$=-\dfrac{n^2}{m^4} · \dfrac{m^3}{n^2}$
约去分子分母的公因式$n^2、m^3$，计算得：
$=-\dfrac{1}{m}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3y}{16x}$；(2) $-\dfrac{1}{m}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，注意乘方时的符号判断，约分要彻底，避免因漏看符号或约分不完整出现错误。
【难度系数】
0.8
这两道题考查分式的乘方与乘除混合运算，解题遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序：①先依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，同时注意判断符号（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）；②乘除是同级运算，遇到除法先转化为乘法（除以分式等于乘它的倒数）；③最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
(1) 先计算分式乘方，再做乘法运算：
原式$=\dfrac{(2x)^2}{(3y)^2} · [-\dfrac{(3y)^3}{(4x)^3}]$
$=\dfrac{4x^2}{9y^2} · (-\dfrac{27y^3}{64x^3})$
确定符号为负，约去分子分母的公因式$4、9、x^2、y^2$，计算得：
$=-\dfrac{3y}{16x}$
(2) 先计算分式乘方，再将除法转化为乘法计算：
原式$=-\dfrac{n^2}{(m^2)^2} ÷ \dfrac{n^2}{m^3}$
$=-\dfrac{n^2}{m^4} · \dfrac{m^3}{n^2}$
约去分子分母的公因式$n^2、m^3$，计算得：
$=-\dfrac{1}{m}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3y}{16x}$；(2) $-\dfrac{1}{m}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，注意乘方时的符号判断，约分要彻底，避免因漏看符号或约分不完整出现错误。
【难度系数】
0.8
练习.计算:
(1)$\frac{x^2}{y} ÷ \frac{-y}{x} · ( \frac{y}{x} )^2$；
(2)$( -\frac{2a}{b^2} )^2 · ( \frac{b}{2a} )^3$；
(3)$\frac{2x^2y}{3mn^2} · \frac{5m^2n}{4xy^2} ÷ \frac{5xym}{3n}$；
(4)$( \frac{a - b}{ab} )^3 ÷ ( \frac{b - a}{ab} )^2$。
(1)$\frac{x^2}{y} ÷ \frac{-y}{x} · ( \frac{y}{x} )^2$；
(2)$( -\frac{2a}{b^2} )^2 · ( \frac{b}{2a} )^3$；
(3)$\frac{2x^2y}{3mn^2} · \frac{5m^2n}{4xy^2} ÷ \frac{5xym}{3n}$；
(4)$( \frac{a - b}{ab} )^3 ÷ ( \frac{b - a}{ab} )^2$。
答案
解:(1)原式$=-x$；(2)原式$=\dfrac{1}{2ab}$；
(3)原式$=\dfrac{1}{2y^2}$；(4)原式$=\dfrac{a-b}{ab}$。
(3)原式$=\dfrac{1}{2y^2}$；(4)原式$=\dfrac{a-b}{ab}$。
解析
【分析】
分式的乘除、乘方混合运算遵循以下思路解题：①先算乘方运算，计算时注意乘方的符号法则，互为相反数的偶次幂相等；②将所有除法运算转化为乘法运算，统一为分式乘法的形式；③先确定最终结果的符号，再对分子、分母中的公因式进行约分，约分时注意相同字母的幂的运算规则；④最后将结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先算乘方，再将除法转为乘法：
原式$=\frac{x^2}{y} · (-\frac{x}{y}) · \frac{y^2}{x^2}$
$=-\frac{x^2 · x · y^2}{y · y · x^2}$
约分后得：原式$=-x$
(2) 先算乘方，再做乘法：
原式$=\frac{4a^2}{b^4} · \frac{b^3}{8a^3}$
$=\frac{4a^2 · b^3}{b^4 · 8a^3}$
约分后得：原式$=\frac{1}{2ab}$
(3) 先将除法转为乘法，再统一计算：
原式$=\frac{2x^2y}{3mn^2} · \frac{5m^2n}{4xy^2} · \frac{3n}{5xym}$
$=\frac{2x^2y · 5m^2n · 3n}{3mn^2 · 4xy^2 · 5xym}$
约分后得：原式$=\frac{1}{2y^2}$
(4) 先算乘方，利用$(b-a)^2=(a-b)^2$变形，再将除法转为乘法：
原式$=\frac{(a-b)^3}{a^3b^3} ÷ \frac{(a-b)^2}{a^2b^2}$
$=\frac{(a-b)^3}{a^3b^3} · \frac{a^2b^2}{(a-b)^2}$
约分后得：原式$=\frac{a-b}{ab}$
【答案】
(1)$-x$；(2)$\dfrac{1}{2ab}$；(3)$\dfrac{1}{2y^2}$；(4)$\dfrac{a-b}{ab}$
【知识点】
分式乘除运算，分式乘方运算，分式约分
【点评】
这类题目是分式运算的基础题型，解题的关键是牢记运算顺序，优先计算乘方，再将除法转化为乘法后约分，计算时要特别注意符号的判断，遇到底数互为相反数的幂时，先统一底数能简化运算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
分式的乘除、乘方混合运算遵循以下思路解题：①先算乘方运算，计算时注意乘方的符号法则，互为相反数的偶次幂相等；②将所有除法运算转化为乘法运算，统一为分式乘法的形式；③先确定最终结果的符号，再对分子、分母中的公因式进行约分，约分时注意相同字母的幂的运算规则；④最后将结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先算乘方，再将除法转为乘法：
原式$=\frac{x^2}{y} · (-\frac{x}{y}) · \frac{y^2}{x^2}$
$=-\frac{x^2 · x · y^2}{y · y · x^2}$
约分后得：原式$=-x$
(2) 先算乘方，再做乘法：
原式$=\frac{4a^2}{b^4} · \frac{b^3}{8a^3}$
$=\frac{4a^2 · b^3}{b^4 · 8a^3}$
约分后得：原式$=\frac{1}{2ab}$
(3) 先将除法转为乘法，再统一计算：
原式$=\frac{2x^2y}{3mn^2} · \frac{5m^2n}{4xy^2} · \frac{3n}{5xym}$
$=\frac{2x^2y · 5m^2n · 3n}{3mn^2 · 4xy^2 · 5xym}$
约分后得：原式$=\frac{1}{2y^2}$
(4) 先算乘方，利用$(b-a)^2=(a-b)^2$变形，再将除法转为乘法：
原式$=\frac{(a-b)^3}{a^3b^3} ÷ \frac{(a-b)^2}{a^2b^2}$
$=\frac{(a-b)^3}{a^3b^3} · \frac{a^2b^2}{(a-b)^2}$
约分后得：原式$=\frac{a-b}{ab}$
【答案】
(1)$-x$；(2)$\dfrac{1}{2ab}$；(3)$\dfrac{1}{2y^2}$；(4)$\dfrac{a-b}{ab}$
【知识点】
分式乘除运算，分式乘方运算，分式约分
【点评】
这类题目是分式运算的基础题型，解题的关键是牢记运算顺序，优先计算乘方，再将除法转化为乘法后约分，计算时要特别注意符号的判断，遇到底数互为相反数的幂时，先统一底数能简化运算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
