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14. 已知关于$x$、$y$的二元一次方程组$\begin{cases} x - 2y = -6, \\ bx + ay = -8 \end{cases}$与方程组$\begin{cases} x + 2y = 10, \\ ax - by = 6 \end{cases}$有相同的解.
(1) 求这两个方程组的相同解；
(2) 求$(a - b)^{2026}$的值.
(1) 求这两个方程组的相同解；
(2) 求$(a - b)^{2026}$的值.
答案
14. (1)这两个方程组相同的解为
$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$(a-b)^{2026}=1.$
$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$(a-b)^{2026}=1.$
解析
【分析】
(1) 两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程，优先联立不含参数a、b的两个方程，解出的结果就是两个方程组的公共解；
(2) 把求出的公共解代入剩下的含参数a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 联立不含参数的两个方程，得：
$\begin{cases}x - 2y = -6&① \\x + 2y = 10&② \end{cases}$
①+②，得$2x=4$，解得$x=2$。
把$x=2$代入②，得$2+2y=10$，解得$y=4$。
因此两个方程组的相同解为$\begin{cases}x=2 \\y=4 \end{cases}$。
(2) 将$\begin{cases}x=2 \\y=4 \end{cases}$代入$\begin{cases}bx + ay = -8 \\ax - by = 6 \end{cases}$，得：
$\begin{cases}2b + 4a = -8&③ \\2a - 4b = 6&④ \end{cases}$
化简③得：$2a + b = -4$ ⑤
化简④得：$a - 2b = 3$ ⑥
⑤×2 + ⑥，得$5a=-5$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入⑥，得$-1-2b=3$，解得$b=-2$。
则$a-b=-1-(-2)=1$，因此$(a-b)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$1$
【知识点】
二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题解题关键是抓住同解的性质，先通过无参数方程求出公共解，再代入求参数，整体逻辑清晰，熟练掌握二元一次方程组的消元解法就能轻松解决。
【难度系数】
0.7
(1) 两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程，优先联立不含参数a、b的两个方程，解出的结果就是两个方程组的公共解；
(2) 把求出的公共解代入剩下的含参数a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 联立不含参数的两个方程，得：
$\begin{cases}x - 2y = -6&① \\x + 2y = 10&② \end{cases}$
①+②，得$2x=4$，解得$x=2$。
把$x=2$代入②，得$2+2y=10$，解得$y=4$。
因此两个方程组的相同解为$\begin{cases}x=2 \\y=4 \end{cases}$。
(2) 将$\begin{cases}x=2 \\y=4 \end{cases}$代入$\begin{cases}bx + ay = -8 \\ax - by = 6 \end{cases}$，得：
$\begin{cases}2b + 4a = -8&③ \\2a - 4b = 6&④ \end{cases}$
化简③得：$2a + b = -4$ ⑤
化简④得：$a - 2b = 3$ ⑥
⑤×2 + ⑥，得$5a=-5$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入⑥，得$-1-2b=3$，解得$b=-2$。
则$a-b=-1-(-2)=1$，因此$(a-b)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$1$
【知识点】
二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题解题关键是抓住同解的性质，先通过无参数方程求出公共解，再代入求参数，整体逻辑清晰，熟练掌握二元一次方程组的消元解法就能轻松解决。
【难度系数】
0.7
15. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x、y的二元一次方程组$\begin{cases}3x+4y=3, \quad ① \\ x+2y=2-3m②\end{cases}$的解满足$x+y=2$③，求m的值.
请结合他们的对话，解答下列问题：
(1)按照小云的方法，x的值为
(2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值.
已知关于x、y的二元一次方程组$\begin{cases}3x+4y=3, \quad ① \\ x+2y=2-3m②\end{cases}$的解满足$x+y=2$③，求m的值.
请结合他们的对话，解答下列问题：
(1)按照小云的方法，x的值为
5
，y的值为-3
.(2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值.
答案
15. (1)5 -3 (2)$m=1$
解析
【分析】
(1) 小云的方法是联立不含参数m的方程①和③，得到仅含x、y的二元一次方程组，使用加减消元法或代入消元法即可求解x、y的值。
(2) 小辉的思路是通过①-②进行整体消元，将所得式子整理为含(x+y)的形式，再把x+y=2整体代入，无需计算x、y的具体值就可直接求出m，计算更简便。
【解析】
(1) 联立方程①和③得到方程组：
$\begin{cases}3x+4y=3 \quad ① \\ x+y=2 \quad ③\end{cases}$
将③两边同乘3，得$3x+3y=6$ ④
用①减去④，得$(3x+4y)-(3x+3y)=3-6$，解得$y=-3$
把$y=-3$代入③，得$x-3=2$，解得$x=5$。
(2) 用方程①减去方程②：
左边：$3x+4y-(x+2y)=2x+2y=2(x+y)$
右边：$3-(2-3m)=1+3m$
因此可得等式$2(x+y)=1+3m$
已知$x+y=2$，将其代入上式：
$2×2=1+3m$
即$4=1+3m$，移项计算得$3m=3$，解得$m=1$。
【答案】
(1) 5；-3 (2) $m=1$
【知识点】
解二元一次方程组，加减消元法，整体代入思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，两种解题思路分别对应常规消元法和整体思想的运用，能有效检验学生对解题方法的选择和优化能力。
【难度系数】
0.7
(1) 小云的方法是联立不含参数m的方程①和③，得到仅含x、y的二元一次方程组，使用加减消元法或代入消元法即可求解x、y的值。
(2) 小辉的思路是通过①-②进行整体消元，将所得式子整理为含(x+y)的形式，再把x+y=2整体代入，无需计算x、y的具体值就可直接求出m，计算更简便。
【解析】
(1) 联立方程①和③得到方程组：
$\begin{cases}3x+4y=3 \quad ① \\ x+y=2 \quad ③\end{cases}$
将③两边同乘3，得$3x+3y=6$ ④
用①减去④，得$(3x+4y)-(3x+3y)=3-6$，解得$y=-3$
把$y=-3$代入③，得$x-3=2$，解得$x=5$。
(2) 用方程①减去方程②：
左边：$3x+4y-(x+2y)=2x+2y=2(x+y)$
右边：$3-(2-3m)=1+3m$
因此可得等式$2(x+y)=1+3m$
已知$x+y=2$，将其代入上式：
$2×2=1+3m$
即$4=1+3m$，移项计算得$3m=3$，解得$m=1$。
【答案】
(1) 5；-3 (2) $m=1$
【知识点】
解二元一次方程组，加减消元法，整体代入思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，两种解题思路分别对应常规消元法和整体思想的运用，能有效检验学生对解题方法的选择和优化能力。
【难度系数】
0.7
