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16. 某小区在创建文明县城的活动中，为了改善业主的宜居环境，规划修建一个健身广场，其平面图形如图所示.
(1)用含$m$、$n$的代数式表示该广场的面积；
(2)若$m$、$n$满足$(m-2n+49)^2 + |n-4m| = 0$，求该广场的面积.
(1)用含$m$、$n$的代数式表示该广场的面积；
(2)若$m$、$n$满足$(m-2n+49)^2 + |n-4m| = 0$，求该广场的面积.
答案
16. (1)$3.5mn$
(2)$S=686$
(2)$S=686$
解析
【分析】
(1)求不规则图形的面积可采用“补形法”：先将图形补成完整的大长方形，用大长方形面积减去凹进去的小长方形面积即可得到广场面积。首先确定大长方形的长、宽和凹进去小长方形的长、宽，分别计算面积后作差即可得到含m、n的代数式。
(2)根据非负数的性质：平方和绝对值的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此可列方程组求出m、n的值，再代入(1)中得到的代数式计算面积即可。
【解析】
(1) 首先计算补全后的大长方形面积：
大长方形的长为$2n$，宽为$2m$，面积为$2m × 2n = 4mn$。
再计算凹进去的小长方形面积：
小长方形的长为$m$，高为$2n - n - 0.5n = 0.5n$，面积为$m × 0.5n = 0.5mn$。
因此广场的面积$S = 4mn - 0.5mn = 3.5mn$。
(2) 因为$(m-2n+49)^2 ≥ 0$，$|n-4m| ≥ 0$，且两者之和为0，所以：
$\begin{cases}m - 2n + 49 = 0 \\n - 4m = 0\end{cases}$
将$n = 4m$代入第一个方程，得：
$m - 2×4m + 49 = 0$
$m - 8m = -49$
$-7m = -49$
解得$m = 7$，则$n = 4×7 = 28$。
将$m=7$，$n=28$代入$S=3.5mn$，得：
$S = 3.5×7×28 = 686$
【答案】
(1) $3.5mn$；(2) $686$
【知识点】
不规则图形面积计算、非负数的性质、代数式求值
【点评】
本题将几何面积计算和代数运算相结合，解题的核心是用割补法转化不规则图形的面积计算，再利用非负性求解参数，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)求不规则图形的面积可采用“补形法”：先将图形补成完整的大长方形，用大长方形面积减去凹进去的小长方形面积即可得到广场面积。首先确定大长方形的长、宽和凹进去小长方形的长、宽，分别计算面积后作差即可得到含m、n的代数式。
(2)根据非负数的性质：平方和绝对值的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此可列方程组求出m、n的值，再代入(1)中得到的代数式计算面积即可。
【解析】
(1) 首先计算补全后的大长方形面积：
大长方形的长为$2n$，宽为$2m$，面积为$2m × 2n = 4mn$。
再计算凹进去的小长方形面积：
小长方形的长为$m$，高为$2n - n - 0.5n = 0.5n$，面积为$m × 0.5n = 0.5mn$。
因此广场的面积$S = 4mn - 0.5mn = 3.5mn$。
(2) 因为$(m-2n+49)^2 ≥ 0$，$|n-4m| ≥ 0$，且两者之和为0，所以：
$\begin{cases}m - 2n + 49 = 0 \\n - 4m = 0\end{cases}$
将$n = 4m$代入第一个方程，得：
$m - 2×4m + 49 = 0$
$m - 8m = -49$
$-7m = -49$
解得$m = 7$，则$n = 4×7 = 28$。
将$m=7$，$n=28$代入$S=3.5mn$，得：
$S = 3.5×7×28 = 686$
【答案】
(1) $3.5mn$；(2) $686$
【知识点】
不规则图形面积计算、非负数的性质、代数式求值
【点评】
本题将几何面积计算和代数运算相结合，解题的核心是用割补法转化不规则图形的面积计算，再利用非负性求解参数，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
17. 有一个被墨水污染的方程组：$\begin{cases} \blacksquare x + \blacksquare y = 2, \\ \blacksquare x -7y =8, \end{cases}$ 小刚回忆道：“这个方程组的解是$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$ 而我求出的解是$\begin{cases} x=-2, \\ y=2, \end{cases}$ 经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的$x$的系数.”请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来.
答案
17. $\begin{cases}4x+5y=2,\\-2x-7y=8.\end{cases}$
解析
【分析】
要复原被污染的方程组，需要求出三个被遮挡的系数。首先，方程组的正确解$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$满足原方程组的所有方程，因此可以先将其代入第二个方程，求出第二个方程中$x$的系数。其次，小刚仅看错了第二个方程中$x$的系数，说明他求出的解$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$和正确解都满足第一个方程，把这两个解同时代入第一个方程，就能得到关于第一个方程两个系数的二元一次方程组，解出这两个系数后即可复原整个方程组。
【解析】
设被污染的方程组为$\begin{cases} ax+by=2 \\ cx-7y=8 \end{cases}$。
1. 求第二个方程中$x$的系数$c$：
把正确解$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入$cx-7y=8$，得：
$3c -7×(-2)=8$
化简得$3c+14=8$，解得$c=-2$。
2. 求第一个方程的系数$a$、$b$：
因为小刚仅看错第二个方程的$x$系数，因此$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$和$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$都满足第一个方程$ax+by=2$，分别代入得：
$\begin{cases} 3a-2b=2 \\ -2a+2b=2 \end{cases}$
将两个方程相加，得$a=4$，把$a=4$代入$3a-2b=2$，得$12-2b=2$，解得$b=5$。
【答案】
$\begin{cases}4x+5y=2,\\-2x-7y=8.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题解题的关键是抓住“正确解满足所有方程，错解仅不满足看错系数的方程，仍满足其余方程”的特点，以此为突破口建立方程或方程组求解即可。
【难度系数】
0.6
要复原被污染的方程组，需要求出三个被遮挡的系数。首先，方程组的正确解$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$满足原方程组的所有方程，因此可以先将其代入第二个方程，求出第二个方程中$x$的系数。其次，小刚仅看错了第二个方程中$x$的系数，说明他求出的解$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$和正确解都满足第一个方程，把这两个解同时代入第一个方程，就能得到关于第一个方程两个系数的二元一次方程组，解出这两个系数后即可复原整个方程组。
【解析】
设被污染的方程组为$\begin{cases} ax+by=2 \\ cx-7y=8 \end{cases}$。
1. 求第二个方程中$x$的系数$c$：
把正确解$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入$cx-7y=8$，得：
$3c -7×(-2)=8$
化简得$3c+14=8$，解得$c=-2$。
2. 求第一个方程的系数$a$、$b$：
因为小刚仅看错第二个方程的$x$系数，因此$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$和$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$都满足第一个方程$ax+by=2$，分别代入得：
$\begin{cases} 3a-2b=2 \\ -2a+2b=2 \end{cases}$
将两个方程相加，得$a=4$，把$a=4$代入$3a-2b=2$，得$12-2b=2$，解得$b=5$。
【答案】
$\begin{cases}4x+5y=2,\\-2x-7y=8.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题解题的关键是抓住“正确解满足所有方程，错解仅不满足看错系数的方程，仍满足其余方程”的特点，以此为突破口建立方程或方程组求解即可。
【难度系数】
0.6
