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17.（环保意识）为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200 kW·h按第一阶梯电价收费，超过200 kW·h的部分按第二阶梯电价收费. 张磊家2025年3月和4月所缴纳的电费金额及用电量如下表，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每千瓦时多少元？
答案
17. 第一阶梯电价为每千瓦时0.5元，第二阶梯电价为每千瓦时0.6元.
解析
【分析】
这是一道阶梯收费类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：1. 先明确收费规则：用电量不超过200kW·h时按第一阶梯单价收费，超出200kW·h的部分按第二阶梯单价收费，总电费=200×第一阶梯单价 + 超出200部分的电量×第二阶梯单价；2. 设两个未知数分别代表第一、第二阶梯电价；3. 结合表格里3月、4月的用电量和缴费金额，分别列出两个方程，组成二元一次方程组；4. 用消元法解方程组，验证解的合理性即可得到答案。
【解析】
解：设该市规定的第一阶梯电价为每千瓦时$x$元，第二阶梯电价为每千瓦时$y$元。
根据3月的用电量和缴费金额可得：
$200x + (220 - 200)y = 112$，整理得$200x + 20y = 112$ ①
根据4月的用电量和缴费金额可得：
$200x + (265 - 200)y = 139$，整理得$200x + 65y = 139$ ②
用②式减去①式消去$x$：
$(200x + 65y) - (200x + 20y) = 139 - 112$
$45y = 27$
解得$y = 0.6$
将$y=0.6$代入①式：
$200x + 20×0.6 = 112$
$200x + 12 = 112$
$200x = 100$
解得$x = 0.5$
经检验，$x=0.5$、$y=0.6$符合题意。
【答案】
第一阶梯电价为每千瓦时0.5元，第二阶梯电价为每千瓦时0.6元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；阶梯计费问题；消元法解方程组
【点评】
本题结合生活中阶梯用电的实际场景考查方程的应用，解题核心是准确理解阶梯收费的规则，找准不同用电量对应的收费标准，列出对应等量关系求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
这是一道阶梯收费类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：1. 先明确收费规则：用电量不超过200kW·h时按第一阶梯单价收费，超出200kW·h的部分按第二阶梯单价收费，总电费=200×第一阶梯单价 + 超出200部分的电量×第二阶梯单价；2. 设两个未知数分别代表第一、第二阶梯电价；3. 结合表格里3月、4月的用电量和缴费金额，分别列出两个方程，组成二元一次方程组；4. 用消元法解方程组，验证解的合理性即可得到答案。
【解析】
解：设该市规定的第一阶梯电价为每千瓦时$x$元，第二阶梯电价为每千瓦时$y$元。
根据3月的用电量和缴费金额可得：
$200x + (220 - 200)y = 112$，整理得$200x + 20y = 112$ ①
根据4月的用电量和缴费金额可得：
$200x + (265 - 200)y = 139$，整理得$200x + 65y = 139$ ②
用②式减去①式消去$x$：
$(200x + 65y) - (200x + 20y) = 139 - 112$
$45y = 27$
解得$y = 0.6$
将$y=0.6$代入①式：
$200x + 20×0.6 = 112$
$200x + 12 = 112$
$200x = 100$
解得$x = 0.5$
经检验，$x=0.5$、$y=0.6$符合题意。
【答案】
第一阶梯电价为每千瓦时0.5元，第二阶梯电价为每千瓦时0.6元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；阶梯计费问题；消元法解方程组
【点评】
本题结合生活中阶梯用电的实际场景考查方程的应用，解题核心是准确理解阶梯收费的规则，找准不同用电量对应的收费标准，列出对应等量关系求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
18. 已知关于$x$、$y$的方程组$\begin{cases}2x - 3y = 3, \\ax + by = -1\end{cases}$和$\begin{cases}3x + 2y = 11, \\2ax + 3by = 3\end{cases}$的解相同，求$(3a + b)^{2025}$的值.
答案
18.-1
解析
【分析】
两个方程组解相同，说明该公共解同时满足四个方程，解题可分三步：第一步，先联立不含参数a、b的两个方程，求出x、y的公共解；第二步，将x、y代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，将a、b代入待求式计算结果即可。
【解析】
∵ 两个方程组的解相同，
∴ 先联立不含a、b的方程得：
$\begin{cases}2x - 3y = 3 \\3x + 2y = 11\end{cases}$
给第一个方程两边乘2得：$4x - 6y = 6$ ③
给第二个方程两边乘3得：$9x + 6y = 33$ ④
③+④得：$13x = 39$，解得$x=3$
把$x=3$代入$2x - 3y = 3$，得$6 - 3y = 3$，解得$y=1$
将$\begin{cases}x=3 \\y=1\end{cases}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}3a + b = -1 \\6a + 3b = 3\end{cases}$
化简第二个方程得：$2a + b = 1$ ⑤
用$3a + b = -1$减去⑤得：$a = -2$
把$a=-2$代入$3a + b = -1$，得$-6 + b = -1$，解得$b=5$
∴ $(3a + b)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$
【答案】
-1
【知识点】
同解方程组，二元一次方程组的解法，乘方运算
【点评】
本题核心是抓住“解相同”的性质，先求公共解再求参数，主要考察对二元一次方程组解的定义的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
两个方程组解相同，说明该公共解同时满足四个方程，解题可分三步：第一步，先联立不含参数a、b的两个方程，求出x、y的公共解；第二步，将x、y代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，将a、b代入待求式计算结果即可。
【解析】
∵ 两个方程组的解相同，
∴ 先联立不含a、b的方程得：
$\begin{cases}2x - 3y = 3 \\3x + 2y = 11\end{cases}$
给第一个方程两边乘2得：$4x - 6y = 6$ ③
给第二个方程两边乘3得：$9x + 6y = 33$ ④
③+④得：$13x = 39$，解得$x=3$
把$x=3$代入$2x - 3y = 3$，得$6 - 3y = 3$，解得$y=1$
将$\begin{cases}x=3 \\y=1\end{cases}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}3a + b = -1 \\6a + 3b = 3\end{cases}$
化简第二个方程得：$2a + b = 1$ ⑤
用$3a + b = -1$减去⑤得：$a = -2$
把$a=-2$代入$3a + b = -1$，得$-6 + b = -1$，解得$b=5$
∴ $(3a + b)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$
【答案】
-1
【知识点】
同解方程组，二元一次方程组的解法，乘方运算
【点评】
本题核心是抓住“解相同”的性质，先求公共解再求参数，主要考察对二元一次方程组解的定义的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
19. 某商店分两次购进A、B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A、B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%.
(1)第一次购进A、B型两种台灯，每台进价分别是多少元？
(2)A、B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元.
①A、B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A、B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，求有哪几种购进方案.
(1)第一次购进A、B型两种台灯，每台进价分别是多少元？
(2)A、B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元.
①A、B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A、B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，求有哪几种购进方案.
答案
19. (1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元.
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②有4种购进方案.
方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台；方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台.
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②有4种购进方案.
方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台；方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台.
解析
【分析】
(1) 要求第一次A、B型台灯的进价，我们可以设两个未知数，根据两次购进的费用找等量关系列二元一次方程组求解：第一次10台A型和20台B型总费用为3000元；第二次购进时A型进价上涨30%、B型上涨20%，15台A型和10台B型总费用为4500元，代入关系解方程组即可得到进价。
(2) ①求两种台灯的售价，同样设售价为未知数，根据“总利润=单台利润×销售数量”，分别结合第一次、第二次的总利润列方程组，代入第一问求出的进价即可解出售价。
②求购进方案时，先算出第二次的A、B型台灯进价，设再次购进A、B型的数量为未知数，根据总利润1000元列方程，结合购进数量为非负整数的隐含条件，找出所有符合要求的解，即可得到所有购进方案。
【解析】
(1) 设第一次购进A型台灯每台进价为$x$元，B型台灯每台进价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x + 20y = 3000 \\15×(1+30\%)x + 10×(1+20\%)y = 4500\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x + 2y = 300 ①\\19.5x + 12y = 4500 ②\end{cases}$
由①得$x=300-2y$，代入②：
$19.5×(300-2y)+12y=4500$
解得$y=50$，代入$x=300-2y$得$x=200$。
(2) ①设A型台灯每台售价为$m$元，B型台灯每台售价为$n$元，由题意得：
第二次A型进价为$200×1.3=260$元，B型进价为$50×1.2=60$元。
根据总利润关系列方程组：
$\begin{cases}10(m-200)+20(n-50)=2800 \\15(m-260)+10(n-60)=1800\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}m + 2n = 580 ①\\3m + 2n = 1260 ②\end{cases}$
②-①得$2m=680$，解得$m=340$，代入①得$n=120$。
②设再次购进A型台灯$a$台，B型台灯$b$台（$a,b$均为非负整数），单台A型利润为$340-260=80$元，单台B型利润为$120-60=60$元，根据总利润1000元列方程：
$80a + 60b = 1000$，化简得$4a+3b=50$，即$b=\frac{50-4a}{3}$。
由$b≥0$得$50-4a≥0$，即$a≤12.5$，且$50-4a$需为3的非负整数倍。
代入验证得符合条件的解为：
$a=2,b=14$；$a=5,b=10$；$a=8,b=6$；$a=11,b=2$，共4组解。
【答案】
(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元；
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②共有4种购进方案：方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台；方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台。
【知识点】
二元一次方程组的应用，方案设计问题，整数解求解
【点评】
本题属于生活实际类的应用题，核心是找准等量关系列方程求解，方案设计部分要注意未知数的非负整数限制，能有效考查学生的计算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求第一次A、B型台灯的进价，我们可以设两个未知数，根据两次购进的费用找等量关系列二元一次方程组求解：第一次10台A型和20台B型总费用为3000元；第二次购进时A型进价上涨30%、B型上涨20%，15台A型和10台B型总费用为4500元，代入关系解方程组即可得到进价。
(2) ①求两种台灯的售价，同样设售价为未知数，根据“总利润=单台利润×销售数量”，分别结合第一次、第二次的总利润列方程组，代入第一问求出的进价即可解出售价。
②求购进方案时，先算出第二次的A、B型台灯进价，设再次购进A、B型的数量为未知数，根据总利润1000元列方程，结合购进数量为非负整数的隐含条件，找出所有符合要求的解，即可得到所有购进方案。
【解析】
(1) 设第一次购进A型台灯每台进价为$x$元，B型台灯每台进价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x + 20y = 3000 \\15×(1+30\%)x + 10×(1+20\%)y = 4500\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x + 2y = 300 ①\\19.5x + 12y = 4500 ②\end{cases}$
由①得$x=300-2y$，代入②：
$19.5×(300-2y)+12y=4500$
解得$y=50$，代入$x=300-2y$得$x=200$。
(2) ①设A型台灯每台售价为$m$元，B型台灯每台售价为$n$元，由题意得：
第二次A型进价为$200×1.3=260$元，B型进价为$50×1.2=60$元。
根据总利润关系列方程组：
$\begin{cases}10(m-200)+20(n-50)=2800 \\15(m-260)+10(n-60)=1800\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}m + 2n = 580 ①\\3m + 2n = 1260 ②\end{cases}$
②-①得$2m=680$，解得$m=340$，代入①得$n=120$。
②设再次购进A型台灯$a$台，B型台灯$b$台（$a,b$均为非负整数），单台A型利润为$340-260=80$元，单台B型利润为$120-60=60$元，根据总利润1000元列方程：
$80a + 60b = 1000$，化简得$4a+3b=50$，即$b=\frac{50-4a}{3}$。
由$b≥0$得$50-4a≥0$，即$a≤12.5$，且$50-4a$需为3的非负整数倍。
代入验证得符合条件的解为：
$a=2,b=14$；$a=5,b=10$；$a=8,b=6$；$a=11,b=2$，共4组解。
【答案】
(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元；
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②共有4种购进方案：方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台；方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台。
【知识点】
二元一次方程组的应用，方案设计问题，整数解求解
【点评】
本题属于生活实际类的应用题，核心是找准等量关系列方程求解，方案设计部分要注意未知数的非负整数限制，能有效考查学生的计算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
