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15. 李明和刘伟分别从A、B两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发24 min后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行进4.8 km，相遇后6 min李明到达B地，两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达A地？
答案
15. 刘伟每小时行进4 km，李明每小时行进16 km，相遇后经过1.6 h刘伟到达A地.
解析
【分析】
这是一道相向而行的相遇类行程问题，解题时首先统一时间单位，将分钟换算为小时，匹配速度单位“km/h”的计算要求。解题思路分两步：第一步找核心等量关系，一是相遇后李明6分钟走的路程等于相遇前刘伟24分钟走的路程，由此可推出两人速度的倍数关系；二是相遇时两人行驶时间相同，路程差为4.8km，结合“路程差=速度差×行驶时间”即可列方程求解两人速度。第二步计算相遇后刘伟到达A地的时间，只需用相遇前李明走的路程（即刘伟剩余待走的路程）除以刘伟的速度即可。
【解析】
先进行单位换算：$24\mathrm{min}=\frac{24}{60}\mathrm{h}=0.4\mathrm{h}$，$6\mathrm{min}=\frac{6}{60}\mathrm{h}=0.1\mathrm{h}$。
1. 求解两人的速度
设刘伟每小时行进$x$km，因为相遇后李明0.1h走的路程等于刘伟0.4h走的路程，因此李明的速度为$\frac{0.4x}{0.1}=4x$ km/h。
根据相遇时李明比刘伟多行进4.8km，列方程：
$(4x - x)×0.4=4.8$
化简得$1.2x=4.8$，解得$x=4$。
因此刘伟的速度为$4\mathrm{km/h}$，李明的速度为$4×4=16\mathrm{km/h}$。
2. 求解相遇后刘伟到达A地的时间
相遇前李明行驶的路程为：$16×0.4=6.4\mathrm{km}$，该路程为刘伟相遇后需要走的路程，所需时间为：
$6.4÷4=1.6\mathrm{h}$
【答案】
刘伟每小时行进4 km，李明每小时行进16 km，相遇后经过1.6 h刘伟到达A地。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程相遇问题
3. 路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题核心是挖掘相遇前后两人行驶路程的等量关系，推导速度关联后结合路程差列方程求解，可有效考察学生分析等量关系、运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道相向而行的相遇类行程问题，解题时首先统一时间单位，将分钟换算为小时，匹配速度单位“km/h”的计算要求。解题思路分两步：第一步找核心等量关系，一是相遇后李明6分钟走的路程等于相遇前刘伟24分钟走的路程，由此可推出两人速度的倍数关系；二是相遇时两人行驶时间相同，路程差为4.8km，结合“路程差=速度差×行驶时间”即可列方程求解两人速度。第二步计算相遇后刘伟到达A地的时间，只需用相遇前李明走的路程（即刘伟剩余待走的路程）除以刘伟的速度即可。
【解析】
先进行单位换算：$24\mathrm{min}=\frac{24}{60}\mathrm{h}=0.4\mathrm{h}$，$6\mathrm{min}=\frac{6}{60}\mathrm{h}=0.1\mathrm{h}$。
1. 求解两人的速度
设刘伟每小时行进$x$km，因为相遇后李明0.1h走的路程等于刘伟0.4h走的路程，因此李明的速度为$\frac{0.4x}{0.1}=4x$ km/h。
根据相遇时李明比刘伟多行进4.8km，列方程：
$(4x - x)×0.4=4.8$
化简得$1.2x=4.8$，解得$x=4$。
因此刘伟的速度为$4\mathrm{km/h}$，李明的速度为$4×4=16\mathrm{km/h}$。
2. 求解相遇后刘伟到达A地的时间
相遇前李明行驶的路程为：$16×0.4=6.4\mathrm{km}$，该路程为刘伟相遇后需要走的路程，所需时间为：
$6.4÷4=1.6\mathrm{h}$
【答案】
刘伟每小时行进4 km，李明每小时行进16 km，相遇后经过1.6 h刘伟到达A地。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程相遇问题
3. 路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题核心是挖掘相遇前后两人行驶路程的等量关系，推导速度关联后结合路程差列方程求解，可有效考察学生分析等量关系、运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
16. 已知关于$x$、$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=3k+1, & ① \\x-y=5. & ②\end{cases}$
（1）若方程组的解$x$、$y$互为相反数，求$k$的值；
（2）若方程组的解满足$-1＜x+y＜1$，求$k$的取值范围.
（1）若方程组的解$x$、$y$互为相反数，求$k$的值；
（2）若方程组的解满足$-1＜x+y＜1$，求$k$的取值范围.
答案
16. (1)$k=\dfrac{1}{2}$ (2)$0＜k＜1$
解析
【分析】
第（1）问：已知x、y互为相反数，根据相反数性质可得x+y=0，我们可以先用加减消元法把原方程组的解用含k的代数式表示出来，再代入x+y=0列方程即可求出k的值。第（2）问：在已经用k表示出x、y的基础上，先写出x+y关于k的代数式，再结合给出的x+y的取值范围列不等式组，解不等式组就能得到k的取值范围。
【解析】
先求解原二元一次方程组：
将方程①+②，得$3x=3k+6$，解得$x=k+2$。
把$x=k+2$代入方程②，得$k+2-y=5$，解得$y=k-3$。
即原方程组的解为$\begin{cases}x=k+2 \\ y=k-3\end{cases}$。
（1）
∵x、y互为相反数，
∴$x+y=0$，
代入x、y的表达式得：$(k+2)+(k-3)=0$，
合并同类项得$2k-1=0$，解得$k=\dfrac{1}{2}$。
（2）计算得$x+y=(k+2)+(k-3)=2k-1$，
根据题意$-1＜x+y＜1$，可得不等式组：
$\begin{cases}2k-1＞-1 \\ 2k-1＜1\end{cases}$
解第一个不等式：$2k＞0$，得$k＞0$；
解第二个不等式：$2k＜2$，得$k＜1$。
因此k的取值范围为$0＜k＜1$。
【答案】
（1）$k=\dfrac{1}{2}$；（2）$0＜k＜1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是二元一次方程组与不等式的综合常考题，解题核心是先将方程组的解用参数k表示，再结合题干条件列等式或不等式求解，计算量小，思路清晰，掌握消元法解方程组是解题的基础。
【难度系数】
0.7
第（1）问：已知x、y互为相反数，根据相反数性质可得x+y=0，我们可以先用加减消元法把原方程组的解用含k的代数式表示出来，再代入x+y=0列方程即可求出k的值。第（2）问：在已经用k表示出x、y的基础上，先写出x+y关于k的代数式，再结合给出的x+y的取值范围列不等式组，解不等式组就能得到k的取值范围。
【解析】
先求解原二元一次方程组：
将方程①+②，得$3x=3k+6$，解得$x=k+2$。
把$x=k+2$代入方程②，得$k+2-y=5$，解得$y=k-3$。
即原方程组的解为$\begin{cases}x=k+2 \\ y=k-3\end{cases}$。
（1）
∵x、y互为相反数，
∴$x+y=0$，
代入x、y的表达式得：$(k+2)+(k-3)=0$，
合并同类项得$2k-1=0$，解得$k=\dfrac{1}{2}$。
（2）计算得$x+y=(k+2)+(k-3)=2k-1$，
根据题意$-1＜x+y＜1$，可得不等式组：
$\begin{cases}2k-1＞-1 \\ 2k-1＜1\end{cases}$
解第一个不等式：$2k＞0$，得$k＞0$；
解第二个不等式：$2k＜2$，得$k＜1$。
因此k的取值范围为$0＜k＜1$。
【答案】
（1）$k=\dfrac{1}{2}$；（2）$0＜k＜1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是二元一次方程组与不等式的综合常考题，解题核心是先将方程组的解用参数k表示，再结合题干条件列等式或不等式求解，计算量小，思路清晰，掌握消元法解方程组是解题的基础。
【难度系数】
0.7
