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12. (徐州中考)如图,下列装在相同的透明密封盒内的古钱币,其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量,例如:钱币“文星高照”密封盒上所标“$45.4*2.8\ \mathrm{mm},24.4\ \mathrm{g}$”是指该枚古钱币的直径为$45.4\ \mathrm{mm}$,厚度为$2.8\ \mathrm{mm}$,质量为$24.4\ \mathrm{g}$.已知这些古钱币的材质相同.
根据图中信息,解决下列问题.
(1) 这 5 枚古钱币,所标直径的平均数是
(2) 由于古钱币无法从密封盒内取出,为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错,桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下:
请你应用所学的统计知识,判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大,并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克.
根据图中信息,解决下列问题.
(1) 这 5 枚古钱币,所标直径的平均数是
45.74
$\mathrm{mm}$,所标厚度的众数是2.3
$\mathrm{mm}$,所标质量的中位数是21.7
$\mathrm{g}$;(2) 由于古钱币无法从密封盒内取出,为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错,桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下:
请你应用所学的统计知识,判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大,并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克.
答案
(1) 平均数：$\frac{1}{5}×(45.4+48.1+45.1+44.6+45.5)=45.74$(mm)；这 5 枚古钱币的厚度分别为 2.8 mm、2.4 mm、2.3 mm、2.1 mm、2.3 mm，其中 2.3 mm出现了 2 次，出现的次数最多，
∴ 这 5 枚古钱币厚度的众数为 2.3 mm；将这 5 枚古钱币的质量按从小到大的顺序排列为 13.0 g、20.0 g、21.7 g、24.0 g、24.4 g，
∴ 这 5 枚古钱币质量的中位数为 21.7 g。
(2)
“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故古钱币“鹿鹤同春”所标质量与实际质量差异较大。其余四个密封盒质量的平均数为$\frac{34.3+34.1+34.3+34.1}{4}=34.2$(g)，55.2-34.2=21.0(g)，故古钱币“鹿鹤同春”的实际质量约为 21.0 g。
∴ 这 5 枚古钱币厚度的众数为 2.3 mm；将这 5 枚古钱币的质量按从小到大的顺序排列为 13.0 g、20.0 g、21.7 g、24.0 g、24.4 g，
∴ 这 5 枚古钱币质量的中位数为 21.7 g。
(2)
“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故古钱币“鹿鹤同春”所标质量与实际质量差异较大。其余四个密封盒质量的平均数为$\frac{34.3+34.1+34.3+34.1}{4}=34.2$(g)，55.2-34.2=21.0(g)，故古钱币“鹿鹤同春”的实际质量约为 21.0 g。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需依据平均数、众数、中位数的定义分别计算：平均数是所有数据之和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据排序后，数据个数为奇数时取中间位置的数。第(2)问利用“古钱币材质相同，正常密封盒质量相近”的特点，先计算正常密封盒的平均质量，再通过异常密封盒的总质量减去平均盒质量，得到该古钱币的实际质量，进而判断差异较大的钱币。
【解析】
(1) 计算直径的平均数：
5枚古钱币的直径分别为45.4mm、48.1mm、45.1mm、44.6mm、45.5mm，
平均数 = $\frac{1}{5}×(45.4 + 48.1 + 45.1 + 44.6 + 45.5) = \frac{1}{5}×228.7 = 45.74$ (mm)；
计算厚度的众数：
5枚古钱币的厚度分别为2.8mm、2.4mm、2.3mm、2.1mm、2.3mm，其中2.3mm出现次数最多（共2次），故众数为2.3mm；
计算质量的中位数：
将5枚古钱币的质量从小到大排列为：13.0g、20.0g、21.7g、24.0g、24.4g，共5个数据，中间位置是第3个，故中位数为21.7g；
(2) 判断异常古钱币并计算实际质量：
已知5枚古钱币与其密封盒的总质量，其中4个密封盒的总质量为34.3g、34.1g、34.3g、34.1g，这4个密封盒质量相近，计算其平均数：
$\frac{34.3 + 34.1 + 34.3 + 34.1}{4} = \frac{136.8}{4} = 34.2$ (g)；
异常密封盒的总质量为55.2g，该古钱币的实际质量 = 总质量 - 密封盒平均质量 = $55.2 - 34.2 = 21.0$ (g)，因此“鹿鹤同春”古钱币所标质量与实际质量差异较大，实际质量约为21.0g。
【答案】
(1) $45.74$；$2.3$；$21.7$；
(2) “鹿鹤同春”古钱币所标质量与实际质量差异较大，其实际质量约为$21.0$g。
【知识点】
平均数、众数、中位数
【点评】
本题结合古钱币的实际情境，考查统计量的基本计算与应用，既要求掌握平均数、众数、中位数的定义，又需理解利用样本平均数估计异常数据的思路，体现了统计知识在实际问题中的应用价值，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问需依据平均数、众数、中位数的定义分别计算：平均数是所有数据之和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据排序后，数据个数为奇数时取中间位置的数。第(2)问利用“古钱币材质相同，正常密封盒质量相近”的特点，先计算正常密封盒的平均质量，再通过异常密封盒的总质量减去平均盒质量，得到该古钱币的实际质量，进而判断差异较大的钱币。
【解析】
(1) 计算直径的平均数：
5枚古钱币的直径分别为45.4mm、48.1mm、45.1mm、44.6mm、45.5mm，
平均数 = $\frac{1}{5}×(45.4 + 48.1 + 45.1 + 44.6 + 45.5) = \frac{1}{5}×228.7 = 45.74$ (mm)；
计算厚度的众数：
5枚古钱币的厚度分别为2.8mm、2.4mm、2.3mm、2.1mm、2.3mm，其中2.3mm出现次数最多（共2次），故众数为2.3mm；
计算质量的中位数：
将5枚古钱币的质量从小到大排列为：13.0g、20.0g、21.7g、24.0g、24.4g，共5个数据，中间位置是第3个，故中位数为21.7g；
(2) 判断异常古钱币并计算实际质量：
已知5枚古钱币与其密封盒的总质量，其中4个密封盒的总质量为34.3g、34.1g、34.3g、34.1g，这4个密封盒质量相近，计算其平均数：
$\frac{34.3 + 34.1 + 34.3 + 34.1}{4} = \frac{136.8}{4} = 34.2$ (g)；
异常密封盒的总质量为55.2g，该古钱币的实际质量 = 总质量 - 密封盒平均质量 = $55.2 - 34.2 = 21.0$ (g)，因此“鹿鹤同春”古钱币所标质量与实际质量差异较大，实际质量约为21.0g。
【答案】
(1) $45.74$；$2.3$；$21.7$；
(2) “鹿鹤同春”古钱币所标质量与实际质量差异较大，其实际质量约为$21.0$g。
【知识点】
平均数、众数、中位数
【点评】
本题结合古钱币的实际情境，考查统计量的基本计算与应用，既要求掌握平均数、众数、中位数的定义，又需理解利用样本平均数估计异常数据的思路，体现了统计知识在实际问题中的应用价值，难度适中。
【难度系数】
0.7
13.(济南中考改编)近年来,国内文化和旅游行业复苏势头强劲.某社团对30个地区"五一"假期的出游人数进行了调查,获得了它们"五一"假期出游人数(出游人数用m表示,单位:百万)的数据,并对数据进行统计整理.数据分成5组:A组:$1≤ m＜12$;B组:$12≤ m＜$23;C组:$23≤ m＜34$;D组:$34≤ m＜45$;E组:$45≤ m＜56$.下面给出了部分信息:
a.B组中的数据:12,13,15,16,17,17,18,20.
b.不完整的"五一"假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下:
请根据以上信息完成下列问题:
(1)统计图中E组对应扇形的圆心角为
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这30个地区"五一"假期出游人数的中位数是
(4)各组"五一"假期的平均出游人数如下表:
求这30个地区"五一"假期的平均出游人数.
[视频讲题]
a.B组中的数据:12,13,15,16,17,17,18,20.
b.不完整的"五一"假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下:
请根据以上信息完成下列问题:
(1)统计图中E组对应扇形的圆心角为
36
度;(2)请补全频数分布直方图;
(3)这30个地区"五一"假期出游人数的中位数是
15.5
百万;(4)各组"五一"假期的平均出游人数如下表:
求这30个地区"五一"假期的平均出游人数.
[视频讲题]
答案
(1) 统计图中 E 组对应扇形的圆心角为 $360°×\frac{3}{30}=36°$。
(2)补全频数分布直方图如下：
(3) 共 30 个数，中位数为第 15 和 16 个数的平均数，第 15 和 16 个数分别为 15,16，
∴ 中位数为$\frac{15+16}{2}=15.5$(百万)。
(4)$\frac{5.5×12+16×8+32.5×4+42×3+50×3}{30}=20$(百万)
答：这 30 个地区“五一”假期的平均出游人数是 20 百万。
解析
【分析】
解决本题需掌握统计相关知识：首先，求扇形圆心角需利用“圆心角=360°×该组频数/总频数”；补全频数分布直方图需确认各组频数之和等于总数量；求中位数时，总数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，需确定中间两个数所在的组；计算平均数需用每组组中值乘以对应频数，求和后除以总频数。
【解析】
(1) 已知总共有30个地区，E组频数为3，因此E组对应扇形的圆心角为：
$360° × \frac{3}{30}=36°$；
(2) 各组频数之和为$12+8+4+3+3=30$，与总数量一致，补全频数分布直方图时，对应各组的高度与直方图标注的频数匹配即可；
(3) 30个数据的中位数是第15和第16个数据的平均数：A组有12个数据，B组有8个数据，前两组共20个数据，故第15、16个数据在B组；B组数据为12,13,15,16,17,17,18,20，第15个数据是B组第3个数据15，第16个是B组第4个数据16，因此中位数为$\frac{15+16}{2}=15.5$（百万）；
(4) 计算平均出游人数，每组取组中值：A组组中值5.5，B组16，C组32.5，D组42，E组50，因此：
$\frac{5.5×12 +16×8 +32.5×4 +42×3 +50×3}{30}=\frac{66+128+130+126+150}{30}=\frac{600}{30}=20$（百万）；
【答案】
(1) 36；
(2)；
(3) 15.5；
(4) 20百万；
【知识点】
频数分布直方图、中位数、平均数
【点评】
本题综合考查统计量的计算，需熟练掌握扇形圆心角、中位数、平均数的计算方法，解题时需准确提取各组数据的频数和范围，避免出错。
【难度系数】
0.5
解决本题需掌握统计相关知识：首先，求扇形圆心角需利用“圆心角=360°×该组频数/总频数”；补全频数分布直方图需确认各组频数之和等于总数量；求中位数时，总数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，需确定中间两个数所在的组；计算平均数需用每组组中值乘以对应频数，求和后除以总频数。
【解析】
(1) 已知总共有30个地区，E组频数为3，因此E组对应扇形的圆心角为：
$360° × \frac{3}{30}=36°$；
(2) 各组频数之和为$12+8+4+3+3=30$，与总数量一致，补全频数分布直方图时，对应各组的高度与直方图标注的频数匹配即可；
(3) 30个数据的中位数是第15和第16个数据的平均数：A组有12个数据，B组有8个数据，前两组共20个数据，故第15、16个数据在B组；B组数据为12,13,15,16,17,17,18,20，第15个数据是B组第3个数据15，第16个是B组第4个数据16，因此中位数为$\frac{15+16}{2}=15.5$（百万）；
(4) 计算平均出游人数，每组取组中值：A组组中值5.5，B组16，C组32.5，D组42，E组50，因此：
$\frac{5.5×12 +16×8 +32.5×4 +42×3 +50×3}{30}=\frac{66+128+130+126+150}{30}=\frac{600}{30}=20$（百万）；
【答案】
(1) 36；
(2)
；(3) 15.5；
(4) 20百万；
【知识点】
频数分布直方图、中位数、平均数
【点评】
本题综合考查统计量的计算，需熟练掌握扇形圆心角、中位数、平均数的计算方法，解题时需准确提取各组数据的频数和范围，避免出错。
【难度系数】
0.5
