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9. 在分式$\dfrac{x+a}{3x-6}$中,当$x=-a$时,下列结论正确的是 （
A.分式的值为零
B.分式无意义
C.当$a≠-2$时,分式的值为零
D.当$a≠2$时,分式的值为零
C
）A.分式的值为零
B.分式无意义
C.当$a≠-2$时,分式的值为零
D.当$a≠2$时,分式的值为零
答案
9.C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确分式的相关性质：分式有意义的条件是分母不为0，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。我们先将x=-a分别代入分式的分子和分母，先判断分子的取值，再根据分母不为0的要求求出a的取值范围，最后结合选项判断即可。
【解析】
分式值为0需要同时满足两个条件：①分子等于0；②分母不等于0，二者缺一不可。
1. 代入x=-a到分子：
分子 = x + a = -a + a = 0，已经满足分子为0的条件。
2. 要使分式有意义，分母不能为0，代入x=-a到分母得：
3x - 6 ≠ 0
即 3×(-a) - 6 ≠ 0
计算得：-3a - 6 ≠ 0
移项化简：-3a ≠ 6，解得a ≠ -2。
综上，当a≠-2时，分子为0且分母不为0，分式的值为零；若a=-2，分母为0，分式无意义。因此C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式概念的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，直接根据分子为0判断分式值为0。解题时要牢记分式值为0的两个条件必须同时满足，避免漏看分母的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确分式的相关性质：分式有意义的条件是分母不为0，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。我们先将x=-a分别代入分式的分子和分母，先判断分子的取值，再根据分母不为0的要求求出a的取值范围，最后结合选项判断即可。
【解析】
分式值为0需要同时满足两个条件：①分子等于0；②分母不等于0，二者缺一不可。
1. 代入x=-a到分子：
分子 = x + a = -a + a = 0，已经满足分子为0的条件。
2. 要使分式有意义，分母不能为0，代入x=-a到分母得：
3x - 6 ≠ 0
即 3×(-a) - 6 ≠ 0
计算得：-3a - 6 ≠ 0
移项化简：-3a ≠ 6，解得a ≠ -2。
综上，当a≠-2时，分子为0且分母不为0，分式的值为零；若a=-2，分母为0，分式无意义。因此C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式概念的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，直接根据分子为0判断分式值为0。解题时要牢记分式值为0的两个条件必须同时满足，避免漏看分母的限制条件。
【难度系数】
0.7
10. [开放题]有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点. 甲:分式的值不可能为0;乙:当分式有意义时，x的取值范围是$x≠±1$;丙:当$x=-2$时，分式的值为1. 请你写出满足上述全部特点的一个分式:________.
答案
10.$\dfrac{3}{x^2-1}$(答案不唯一)
解析
【分析】
我们可以根据三位同学给出的特点，逐步推导分式的分子、分母需要满足的要求：
1. 结合甲的描述：分式的值不可能为0。分式值为0的条件是“分子为0且分母不为0”，要让分式值永远不为0，说明分子永远不能等于0，最简单的选择是将分子设为不等于0的常数。
2. 结合乙的描述：分式有意义时x的取值范围是$x≠±1$。分式有意义的条件是分母不为0，说明分母等于0时x的解为$x=1$和$x=-1$，因此分母可以设为$(x-1)(x+1)$，也就是$x^2-1$。
3. 结合丙的描述：当$x=-2$时，分式的值为1。把$x=-2$代入已经确定的分母算出分母的取值，再结合分式值为1的要求，就能求出分子的大小。
【解析】
步骤1：根据分式值不可能为0的要求，设分子为非零常数$a$；
步骤2：根据分式有意义时$x≠±1$，可得分母为0时$x=±1$，因此分母可取$x^2-1$；
步骤3：将$x=-2$代入分式，此时分式值为1，代入得：
$\dfrac{a}{(-2)^2 - 1} = 1$
计算分母得：$(-2)^2 -1=4-1=3$，因此$\dfrac{a}{3}=1$，解得$a=3$。
因此满足条件的一个分式为$\dfrac{3}{x^2-1}$，也可构造其他满足要求的分式，答案不唯一。
【答案】
$\dfrac{3}{x^2-1}$(答案不唯一)
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；分式求值
【点评】
本题属于开放类题型，综合考查分式的核心性质，解题时可先通过分式有意义的条件确定分母的形式，再结合分式值的相关要求确定分子即可，解题思路灵活，符合条件的答案均正确。
【难度系数】
0.7
我们可以根据三位同学给出的特点，逐步推导分式的分子、分母需要满足的要求：
1. 结合甲的描述：分式的值不可能为0。分式值为0的条件是“分子为0且分母不为0”，要让分式值永远不为0，说明分子永远不能等于0，最简单的选择是将分子设为不等于0的常数。
2. 结合乙的描述：分式有意义时x的取值范围是$x≠±1$。分式有意义的条件是分母不为0，说明分母等于0时x的解为$x=1$和$x=-1$，因此分母可以设为$(x-1)(x+1)$，也就是$x^2-1$。
3. 结合丙的描述：当$x=-2$时，分式的值为1。把$x=-2$代入已经确定的分母算出分母的取值，再结合分式值为1的要求，就能求出分子的大小。
【解析】
步骤1：根据分式值不可能为0的要求，设分子为非零常数$a$；
步骤2：根据分式有意义时$x≠±1$，可得分母为0时$x=±1$，因此分母可取$x^2-1$；
步骤3：将$x=-2$代入分式，此时分式值为1，代入得：
$\dfrac{a}{(-2)^2 - 1} = 1$
计算分母得：$(-2)^2 -1=4-1=3$，因此$\dfrac{a}{3}=1$，解得$a=3$。
因此满足条件的一个分式为$\dfrac{3}{x^2-1}$，也可构造其他满足要求的分式，答案不唯一。
【答案】
$\dfrac{3}{x^2-1}$(答案不唯一)
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；分式求值
【点评】
本题属于开放类题型，综合考查分式的核心性质，解题时可先通过分式有意义的条件确定分母的形式，再结合分式值的相关要求确定分子即可，解题思路灵活，符合条件的答案均正确。
【难度系数】
0.7
11. 如图，设$ k = \frac{\mathrm{甲图中阴影部分面积}}{\mathrm{乙图中阴影部分面积}} (a ＞ b ＞ 0) $，试确定$ k $的取值范围。
答案
11.解:由题意,得$S_{\mathrm{甲阴影}}=a^2-b^2$,$S_{\mathrm{乙阴影}}=a^2-ab$,所以$k=\dfrac{a^2-b^2}{a^2-ab}=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}=\dfrac{a+b}{a}$.又因为$a＞b＞0$,所以$a＜a+b＜2a$,所以$1＜\dfrac{a+b}{a}＜2$.故$k$的取值范围为$1＜k＜2$.
解析
【分析】
要确定k的取值范围，首先需要分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，再写出k的表达式并化简，最后结合已知条件$a＞b＞0$推导k的范围。第一步先求面积：甲图阴影是边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形，乙图阴影是边长为a的大正方形减去长为a、宽为b的小长方形；第二步将面积代入k的表达式，利用分式的基本性质约分，注意$a-b≠0$可以约去；第三步根据$a＞b＞0$得到$a+b$的取值范围，再结合不等式的性质求出分式的取值范围。
【解析】
解：首先计算两个阴影部分的面积：
甲图阴影面积：$S_{\mathrm{甲阴影}} = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{中间小正方形}} = a^2 - b^2$
乙图阴影面积：$S_{\mathrm{乙阴影}} = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{上方小长方形}} = a^2 - ab$
将面积代入k的表达式：
$k=\dfrac{S_{\mathrm{甲阴影}}}{S_{\mathrm{乙阴影}}}=\dfrac{a^2-b^2}{a^2-ab}$
对分子分母因式分解：分子用平方差公式得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分母提取公因式得$a^2-ab=a(a-b)$
因为$a＞b＞0$，所以$a-b≠0$，根据分式的基本性质，约去公因式$a-b$，得：
$k=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}=\dfrac{a+b}{a}$
接下来推导k的范围：
因为$a＞b＞0$，所以在不等式$b＞0$两边同时加a，得$a+b＞a$；在不等式$b＜a$两边同时加a，得$a+b＜a+a=2a$
即$a＜a+b＜2a$
因为a是正数，不等式三边同时除以a，不等号方向不变，得：
$\dfrac{a}{a}＜\dfrac{a+b}{a}＜\dfrac{2a}{a}$，即$1＜k＜2$
【答案】
$1＜k＜2$
【知识点】
阴影面积计算、分式化简、不等式的性质
【点评】
本题是几何与代数的基础综合题，解题的核心是准确表示出两个阴影部分的面积，正确对分式约分，再结合已知的大小关系利用不等式性质推导取值范围，能很好地考查学生的综合运算能力。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，首先需要分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，再写出k的表达式并化简，最后结合已知条件$a＞b＞0$推导k的范围。第一步先求面积：甲图阴影是边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形，乙图阴影是边长为a的大正方形减去长为a、宽为b的小长方形；第二步将面积代入k的表达式，利用分式的基本性质约分，注意$a-b≠0$可以约去；第三步根据$a＞b＞0$得到$a+b$的取值范围，再结合不等式的性质求出分式的取值范围。
【解析】
解：首先计算两个阴影部分的面积：
甲图阴影面积：$S_{\mathrm{甲阴影}} = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{中间小正方形}} = a^2 - b^2$
乙图阴影面积：$S_{\mathrm{乙阴影}} = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{上方小长方形}} = a^2 - ab$
将面积代入k的表达式：
$k=\dfrac{S_{\mathrm{甲阴影}}}{S_{\mathrm{乙阴影}}}=\dfrac{a^2-b^2}{a^2-ab}$
对分子分母因式分解：分子用平方差公式得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分母提取公因式得$a^2-ab=a(a-b)$
因为$a＞b＞0$，所以$a-b≠0$，根据分式的基本性质，约去公因式$a-b$，得：
$k=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}=\dfrac{a+b}{a}$
接下来推导k的范围：
因为$a＞b＞0$，所以在不等式$b＞0$两边同时加a，得$a+b＞a$；在不等式$b＜a$两边同时加a，得$a+b＜a+a=2a$
即$a＜a+b＜2a$
因为a是正数，不等式三边同时除以a，不等号方向不变，得：
$\dfrac{a}{a}＜\dfrac{a+b}{a}＜\dfrac{2a}{a}$，即$1＜k＜2$
【答案】
$1＜k＜2$
【知识点】
阴影面积计算、分式化简、不等式的性质
【点评】
本题是几何与代数的基础综合题，解题的核心是准确表示出两个阴影部分的面积，正确对分式约分，再结合已知的大小关系利用不等式性质推导取值范围，能很好地考查学生的综合运算能力。
【难度系数】
0.7
12. 如果一个分式的分子或分母可以分解因式，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)下列分式:①$\frac{x-1}{x^2+1}$;②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$;③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$;④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$.其中和谐分式是________. (填序号)
(2)若$a$为正整数,且$\frac{x-1}{x^2+ax+4}$为和谐分式,请直接写出$a$的值.
(1)下列分式:①$\frac{x-1}{x^2+1}$;②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$;③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$;④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$.其中和谐分式是________. (填序号)
(2)若$a$为正整数,且$\frac{x-1}{x^2+ax+4}$为和谐分式,请直接写出$a$的值.
答案
12.解:(1)②
(2)$a$的值为4或5.
(2)$a$的值为4或5.
解析
【分析】
首先明确“和谐分式”的两个判定条件：①分式的分子或分母至少有一个可以分解因式；②分式不可约分。解题时先依据定义逐一判断第(1)问的四个分式；第(2)问先确定分子$x-1$无法再分解，因此需保证分母$x^2+ax+4$可因式分解，且分解后的因式不含公因式$(x-1)$（否则分式可约分），再结合$a$为正整数的条件求解即可。
【解析】
(1) 逐个分析分式：
① $\frac{x-1}{x^2+1}$：分子$x-1$、分母$x^2+1$均无法分解因式，不满足和谐分式条件，不是和谐分式；
② $\frac{a-2b}{a^2-b^2}$：分母$a^2-b^2$可分解为$(a-b)(a+b)$，且分子$a-2b$与分母无公因式，分式不可约分，符合和谐分式定义，是和谐分式；
③ $\frac{x+y}{x^2-y^2}$：分母$x^2-y^2$可分解为$(x-y)(x+y)$，与分子有公因式$x+y$，可约分，不是和谐分式；
④ $\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$：分子可分解为$(a-b)(a+b)$，与分母有公因式$a+b$，可约分，不是和谐分式。
因此和谐分式是②。
(2) 已知$\frac{x-1}{x^2+ax+4}$是和谐分式，分子$x-1$无法分解，因此分母$x^2+ax+4$必须可因式分解，且分解后不含因式$x-1$。
将$x^2+ax+4$用十字相乘法分解，常数项4的正整数因数对为$(1,4)$、$(2,2)$：
若分解为$(x+1)(x+4)$，则$a=1+4=5$，此时分母与分子无公因式，符合要求；
若分解为$(x+2)(x+2)$，则$a=2+2=4$，此时分母与分子无公因式，符合要求。
若取负因数对，得到的$a$为负整数，不符合$a$为正整数的条件，故舍去。
因此$a$的值为4或5。
【答案】
(1)②；(2)$a$的值为4或5
【知识点】
因式分解、分式约分、新定义运算
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确把握“和谐分式”的两个判定标准，结合因式分解和分式约分的规则分析即可，第二问需注意正整数的限制条件，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
首先明确“和谐分式”的两个判定条件：①分式的分子或分母至少有一个可以分解因式；②分式不可约分。解题时先依据定义逐一判断第(1)问的四个分式；第(2)问先确定分子$x-1$无法再分解，因此需保证分母$x^2+ax+4$可因式分解，且分解后的因式不含公因式$(x-1)$（否则分式可约分），再结合$a$为正整数的条件求解即可。
【解析】
(1) 逐个分析分式：
① $\frac{x-1}{x^2+1}$：分子$x-1$、分母$x^2+1$均无法分解因式，不满足和谐分式条件，不是和谐分式；
② $\frac{a-2b}{a^2-b^2}$：分母$a^2-b^2$可分解为$(a-b)(a+b)$，且分子$a-2b$与分母无公因式，分式不可约分，符合和谐分式定义，是和谐分式；
③ $\frac{x+y}{x^2-y^2}$：分母$x^2-y^2$可分解为$(x-y)(x+y)$，与分子有公因式$x+y$，可约分，不是和谐分式；
④ $\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$：分子可分解为$(a-b)(a+b)$，与分母有公因式$a+b$，可约分，不是和谐分式。
因此和谐分式是②。
(2) 已知$\frac{x-1}{x^2+ax+4}$是和谐分式，分子$x-1$无法分解，因此分母$x^2+ax+4$必须可因式分解，且分解后不含因式$x-1$。
将$x^2+ax+4$用十字相乘法分解，常数项4的正整数因数对为$(1,4)$、$(2,2)$：
若分解为$(x+1)(x+4)$，则$a=1+4=5$，此时分母与分子无公因式，符合要求；
若分解为$(x+2)(x+2)$，则$a=2+2=4$，此时分母与分子无公因式，符合要求。
若取负因数对，得到的$a$为负整数，不符合$a$为正整数的条件，故舍去。
因此$a$的值为4或5。
【答案】
(1)②；(2)$a$的值为4或5
【知识点】
因式分解、分式约分、新定义运算
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确把握“和谐分式”的两个判定标准，结合因式分解和分式约分的规则分析即可，第二问需注意正整数的限制条件，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
