1. 下列式子中,属于分式的是 ()

A.$\dfrac{1}{π}$
B.$\dfrac{x}{3}$
C.$\dfrac{1}{x-1}$
D.$\dfrac{2}{5}$

1.C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式的判定规则：判断一个式子是否为分式，核心是看分母中是否含有字母，需特别注意圆周率π是固定的常数，不属于字母。接下来我们依次分析每个选项的分母，找到分母含有字母的选项即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。我们逐个分析选项：
A. $\frac{1}{π}$的分母是π，π是常数，因此该式是整式，不属于分式；
B. $\frac{x}{3}$的分母是3，是常数，因此该式是整式，不属于分式；
C. $\frac{1}{x-1}$的分母是$x-1$，含有字母x，符合分式的定义，属于分式；
D. $\frac{2}{5}$是常数，属于整式，不属于分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将π当作字母判断，只要牢记分式的判定标准，避开该易错点就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8

2. 当$x=1$时,下列分式没有意义的是（）

A.$\dfrac{x+1}{x}$
B.$\dfrac{x}{x-1}$
C.$\dfrac{x-1}{x}$
D.$\dfrac{x}{x+1}$

2.B

【分析】
要判断x=1时哪个分式没有意义，首先回忆分式无意义的判定规则：当分式的分母等于0时，分式没有意义。所以我们只需要将x=1分别代入四个选项的分母中计算，找到分母值为0的选项即可。
【解析】
分式无意义的条件为：分式的分母等于0。
将x=1分别代入各选项的分母计算：
A选项：分母为x，代入得1≠0，分式有意义，不符合要求；
B选项：分母为x-1，代入得1-1=0，分式无意义，符合要求；
C选项：分母为x，代入得1≠0，分式有意义，不符合要求；
D选项：分母为x+1，代入得1+1=2≠0，分式有意义，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式无意义的判定
2.代数式代入求值
【点评】
本题是基础概念题，核心考察分式无意义的判定规则，解题时只需紧扣“分母为0时分式无意义”的知识点，代入数值计算即可快速求解，注意不要和分式值为0的判定条件混淆。
【难度系数】
0.9

3. 若$a,b$都不为0,则下列分式变形正确的是（）

A.$\frac{a}{b}=\frac{a+2}{b+2}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a-2}{b-2}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{-2a}{-2b}$

3.D

【分析】
解题的核心依据是分式的基本性质，我们首先回忆该性质的内容：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。接下来我们逐一验证每个选项是否符合该性质，也可以通过举特殊值的方法快速排除错误选项。
【解析】
首先明确分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
对各选项逐一分析：
A选项：是给分子、分母同时加2，不符合分式基本性质“同乘或同除同一个不为0的整式”的要求，举例验证：若a=1，b=3，左边$\frac{1}{3}$，右边$\frac{1+2}{3+2}=\frac{3}{5}$，两边不相等，变形错误。
B选项：是给分子、分母同时减2，同样不符合分式基本性质的要求，举例验证：若a=3，b=4，左边$\frac{3}{4}$，右边$\frac{3-2}{4-2}=\frac{1}{2}$，两边不相等，变形错误。
C选项：是给分子、分母分别平方，不是同乘同一个不为0的整式，举例验证：若a=1，b=2，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}$，两边不相等，变形错误。
D选项：是给分子、分母同时乘不为0的数-2，符合分式基本性质，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题重点考查对分式基本性质的掌握，要注意性质中“同乘/同除”“同一个不为0的整式”是核心要点，随意对分子分母加减相同数、分别乘方的变形都不成立，解题时用特殊值代入验证的方法能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.85

4. 下列分式约分正确的是
（）

A.$\frac{2x + y}{x + y} = 2$
B.$\frac{x^2 + y^2}{x + y} = x + y$
C.$\frac{x + m}{x + n} = \frac{m}{n}$
D.$\frac{-x + y}{x - y} = -1$

4.D

【分析】
本题考查分式约分的正误判断，解题核心是牢记分式约分的依据为分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。因此约分的前提是分子、分母存在公因式，禁止直接约去分子、分母中相加或相减的单独项，我们只需逐个分析选项是否符合约分规则即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A. 分子$2x+y$与分母$x+y$没有公因式，无法约分，代入特殊值验证：如$x=1,y=1$时，$\frac{2×1+1}{1+1}=\frac{3}{2}≠2$，故A错误；
B. 分子$x^2+y^2$无法分解因式，与分母$x+y$没有公因式，且$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≠ x^2+y^2$，无法约分为$x+y$，故B错误；
C. 分子$x+m$与分母$x+n$没有公因式，无法直接约去$x$得到$\frac{m}{n}$，代入特殊值验证：如$x=1,m=1,n=2$时，$\frac{1+1}{1+2}=\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，故C错误；
D. 先对分子变形：$-x+y=-(x-y)$，因此原式$=\frac{-(x-y)}{x-y}$，当$x≠ y$时分式有意义，分子分母同时除以公因式$x-y$，可得结果为$-1$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是忽略约分的前提是分子分母存在公因式，错误地直接约去分子分母中加减的单独项，熟练掌握分式的基本性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7

5. 若分式$\dfrac{|x|-1}{x+1}$的值为0，则$x$的值是________.

5.1

【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需要明确分式值为0必须同时满足两个要求：第一，分式的分子等于0，保证分式的运算结果为0；第二，分式的分母不等于0，保证分式本身有意义。因此我们可以先根据分子为0列出方程求出x的可能取值，再代入分母验证，排除掉使分母为0的x值，剩下的就是正确答案。
【解析】
分式值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：$|x|-1=0$，
解该方程得：$|x|=1$，即$x=1$或$x=-1$。
2. 分母不为0：$x+1≠0$，
解得$x≠-1$。
结合两个条件排除$x=-1$，因此$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件，绝对值的性质，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，解题的核心是牢记分式值为0的两个限制条件，易错点是仅考虑分子为0，忽略分母不能为0的要求，导致误得出x=-1的错误结果。
【难度系数】
0.7

6. 当 $ a = 2025 $ 时，分式 $ \dfrac{a^2 - 1}{a + 1} $ 的值是 ______。

6.2024

【分析】
解题时先观察分式的结构，分子是平方差的形式，可先利用因式分解对分子变形，再结合分式的基本性质约分，将分式化简为最简形式后，再代入a的值计算，这样能避免直接代入的复杂运算，同时要注意约分的前提是分母不为0，本题中a=2025时分母a+1≠0，满足约分条件。
【解析】
首先对分子因式分解，由平方差公式得：$a^2 -1=(a-1)(a+1)$
则原式可写为：$\dfrac{(a-1)(a+1)}{a+1}$
当$a=2025$时，$a+1=2025+1=2026≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的$a+1$，约分可得：
原式$=a-1$
将$a=2025$代入化简后的式子，得：$2025-1=2024$
【答案】
2024
【知识点】
平方差公式、分式的基本性质、分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础题，核心思路是先化简再求值，通过因式分解和约分能大幅简化计算过程，解题时需注意验证分母不为0，确保约分合法。
【难度系数】
0.9

7. 列式表示下列各量：
(1)某批发商以$ a $元/个的价格购进一种畅销商品，共花600元，然后以比进价高5元/个的价格全部卖出，则批发商共赚元；
(2)甲车以$ v $ km/h的速度从A地行驶到B地，用了1 h，乙车每小时比甲车慢5 km，则乙车从A地行驶到B地的时间为h；
(3)已知在河岸一边的两地相距$ s $ km，船在静水中航行的速度是$ a $ km/h，水流的速度是$ b $ km/h（$ a＞b $），则此船往返一次所需要的时间为h.

7.(1)$\dfrac{3000}{a}$ (2)$\dfrac{v}{v-5}$ (3)$(\dfrac{s}{a+b}+\dfrac{s}{a-b})$

【分析】
解题时需先根据每个小问的实际场景，找准对应的数量关系，分步推导：
(1) 求总利润，需要先算出购进的商品总数量，再结合单个商品的利润计算总利润；
(2) 求乙车的行驶时间，需要先算出A、B两地的总路程，再结合乙车的速度计算时间；
(3) 求往返总时间，需要分别算出顺流、逆流的航行速度，再分别计算顺流、逆流的行驶时间后求和。
【解析】
(1) 首先计算购进的商品数量：总进价为600元，进价为$a$元/个，因此购进数量为$\dfrac{600}{a}$个；单个商品的利润为5元，总利润=单个利润×总数量，即总利润为$5×\dfrac{600}{a}=\dfrac{3000}{a}$元。
(2) 首先计算A、B两地的路程：甲车速度为$v$ km/h，行驶时间为1h，因此路程为$v×1=v$ km；乙车速度为$(v-5)$ km/h，行驶时间=路程÷速度，即乙车行驶时间为$\dfrac{v}{v-5}$ h。
(3) 顺流航行时，船的实际速度=静水速度+水流速度=$(a+b)$ km/h，顺流行驶时间为$\dfrac{s}{a+b}$ h；逆流航行时，船的实际速度=静水速度-水流速度=$(a-b)$ km/h，逆流行驶时间为$\dfrac{s}{a-b}$ h；往返总时间为两者之和，即$(\dfrac{s}{a+b}+\dfrac{s}{a-b})$ h。
【答案】
(1)$\dfrac{3000}{a}$；(2)$\dfrac{v}{v-5}$；(3)$(\dfrac{s}{a+b}+\dfrac{s}{a-b})$
【知识点】
列代数式；销售利润计算；行程问题公式
【点评】
本题结合生活和实际场景考查代数式的列写，核心是熟练掌握不同场景下的基本数量关系，理清已知量和未知量的关联，是分式基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.75

8. 已知分式$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$.
（1）当$x=0,1$时，分别求此分式的值.
（2）当$x$取何值时，此分式有意义？
（3）当$x$取何值时，此分式的值为零？

数学 七年级(配沪科版)

8.解:(1)当$x=0$时,原式$=\dfrac{0^2-4}{0+2}=-2$;当$x=1$时,原式$=\dfrac{1^2-4}{1+2}=-1$.
(2)由题意,得$x+2≠0$,解得$x≠-2$.
(3)由题意,得$\begin{cases}x^2-4=0,\\x+2≠0,\end{cases}$解得$x=2$.

【分析】
（1）求指定x值下的分式值，只需将x的取值直接代入分式，分别计算分子、分母的结果后做除法运算即可。
（2）分式有意义的前提是分母不为0，因此只需令分母$x+2≠0$，解不等式即可得到x的取值范围。
（3）分式值为0需要同时满足两个条件：分子的值为0、分母的值不为0（保证分式有意义），因此先求解分子为0的方程，再排除使分母为0的x值，即可得到最终结果。
【解析】
（1）将$x=0$代入分式：
原式$=\dfrac{0^2-4}{0+2}=\dfrac{-4}{2}=-2$
将$x=1$代入分式：
原式$=\dfrac{1^2-4}{1+2}=\dfrac{-3}{3}=-1$
（2）分式有意义时分母不为0，因此：
$x+2≠0$，解得$x≠-2$
（3）分式值为0需满足分子为0且分母不为0，列条件：
$\begin{cases}x^2-4=0\\x+2≠0\end{cases}$
解$x^2-4=0$得$x=2$或$x=-2$，结合$x≠-2$的限制，最终得$x=2$
【答案】
（1）当$x=0$时分式的值为$-2$，当$x=1$时分式的值为$-1$；
（2）当$x≠-2$时，分式有意义；
（3）当$x=2$时，分式的值为0。
【知识点】
分式求值；分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查分式的基础性质，需注意求解分式值为0的问题时，不要遗漏分母不为0的前提条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.8