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8. 已知代数式 $ A = 2x^2 + 3xy + 2y $，$ B = x^2 - xy + x $。
(1)求 $ A - 2B $；
(2)当 $ x = -1, y = 2 $ 时，求 $ A - 2B $ 的值；
(3)若 $ A - 2B $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ y $ 的值。
(1)求 $ A - 2B $；
(2)当 $ x = -1, y = 2 $ 时，求 $ A - 2B $ 的值；
(3)若 $ A - 2B $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ y $ 的值。
答案
8. 解:(1)$A-2B=(2x^2+3xy+2y)-2(x^2-xy+x)=2x^2+3xy+2y-2x^2+2xy-2x=5xy-2x+2y$。
(2)当$x=-1,y=2$时,$A-2B=-4$。
(3)$A-2B=5xy-2x+2y=(5y-2)x+2y$,因为$A-2B$的值与$x$的取值无关,所以$5y-2=0$,解得$y=\dfrac{2}{5}$。
(2)当$x=-1,y=2$时,$A-2B=-4$。
(3)$A-2B=5xy-2x+2y=(5y-2)x+2y$,因为$A-2B$的值与$x$的取值无关,所以$5y-2=0$,解得$y=\dfrac{2}{5}$。
解析
【分析】
(1) 求A-2B的思路：先将A、B对应的代数式整体代入所求式子，再按照去括号法则去掉括号（注意括号前有系数和负号时，括号内每一项都要乘系数、变符号），最后合并同类项得到化简结果。
(2) 求代值后的结果：直接把x=-1、y=2代入第(1)问得到的化简式中，按照有理数运算规则计算即可。
(3) 求y的值：若代数式的值与x的取值无关，说明式子中所有含x的项的系数总和为0，先把第(1)问的结果整理为“含x的项+不含x的项”的形式，令x的系数等于0，解关于y的一元一次方程即可得到y的值。
【解析】
(1) 将$A=2x^2+3xy+2y$，$B=x^2-xy+x$代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2+3xy+2y)-2(x^2-xy+x)\\&=2x^2+3xy+2y-2x^2+2xy-2x\\&=5xy-2x+2y\end{aligned}$
(2) 把$x=-1$，$y=2$代入$5xy-2x+2y$：
$\begin{aligned}原式&=5×(-1)×2 -2×(-1)+2×2\\&=-10+2+4\\&=-4\end{aligned}$
(3) 将$A-2B=5xy-2x+2y$变形为$A-2B=(5y-2)x+2y$，
因为$A-2B$的值与$x$的取值无关，所以含x项的系数为0，即：
$5y-2=0$
解得$y=\dfrac{2}{5}$
【答案】
(1) $5xy-2x+2y$；(2) $-4$；(3) $y=\dfrac{2}{5}$
【知识点】
整式的加减，代数式求值，多项式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式章节的经典分层题型，基础部分考查去括号、合并同类项的核心运算规则，第三问侧重对特殊条件的理解，掌握“代数式与某字母取值无关即该字母的系数为0”的规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求A-2B的思路：先将A、B对应的代数式整体代入所求式子，再按照去括号法则去掉括号（注意括号前有系数和负号时，括号内每一项都要乘系数、变符号），最后合并同类项得到化简结果。
(2) 求代值后的结果：直接把x=-1、y=2代入第(1)问得到的化简式中，按照有理数运算规则计算即可。
(3) 求y的值：若代数式的值与x的取值无关，说明式子中所有含x的项的系数总和为0，先把第(1)问的结果整理为“含x的项+不含x的项”的形式，令x的系数等于0，解关于y的一元一次方程即可得到y的值。
【解析】
(1) 将$A=2x^2+3xy+2y$，$B=x^2-xy+x$代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2+3xy+2y)-2(x^2-xy+x)\\&=2x^2+3xy+2y-2x^2+2xy-2x\\&=5xy-2x+2y\end{aligned}$
(2) 把$x=-1$，$y=2$代入$5xy-2x+2y$：
$\begin{aligned}原式&=5×(-1)×2 -2×(-1)+2×2\\&=-10+2+4\\&=-4\end{aligned}$
(3) 将$A-2B=5xy-2x+2y$变形为$A-2B=(5y-2)x+2y$，
因为$A-2B$的值与$x$的取值无关，所以含x项的系数为0，即：
$5y-2=0$
解得$y=\dfrac{2}{5}$
【答案】
(1) $5xy-2x+2y$；(2) $-4$；(3) $y=\dfrac{2}{5}$
【知识点】
整式的加减，代数式求值，多项式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式章节的经典分层题型，基础部分考查去括号、合并同类项的核心运算规则，第三问侧重对特殊条件的理解，掌握“代数式与某字母取值无关即该字母的系数为0”的规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
9. 下面添括号正确的是 （
A.$2a - 3b + c - 1 = -(-2a + 3b - c + 1)$
B.$x^2 - 2x - y + 2x^3 - 2y = -2x - (y - 2y) - (-x^2 - 2x^3)$
C.$a - b + b - c - c - a = (a - b) + (b - c) - (c - a)$
D.$(a - b - c)(a + b - c) = [a - (b - c)][a + (b - c)]$
A
）A.$2a - 3b + c - 1 = -(-2a + 3b - c + 1)$
B.$x^2 - 2x - y + 2x^3 - 2y = -2x - (y - 2y) - (-x^2 - 2x^3)$
C.$a - b + b - c - c - a = (a - b) + (b - c) - (c - a)$
D.$(a - b - c)(a + b - c) = [a - (b - c)][a + (b - c)]$
答案
9.A
解析
【分析】
解题的核心是运用添括号法则判断，也可以通过去括号法则反向验证每个选项中等号左右两边是否相等。添括号法则：括号前加正号，括号内各项符号不变；括号前加负号，括号内各项符号全部改变。我们逐个验证4个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们通过去括号反向验证各选项：
A选项：对右边$-(-2a + 3b - c + 1)$去括号，括号前是负号，括号内各项变号，得$2a - 3b + c - 1$，和左边完全相等，该选项正确。
B选项：对右边$-2x - (y - 2y) - (-x^2 - 2x^3)$去括号，得$-2x - y + 2y + x^2 + 2x^3 = x^2 + 2x^3 - 2x + y$，左边为$x^2 - 2x - y + 2x^3 - 2y = x^2 + 2x^3 - 2x - 3y$，两边不相等，该选项错误。
C选项：对右边$(a - b) + (b - c) - (c - a)$去括号，得$a - b + b - c - c + a = 2a - 2c$，左边为$a - b + b - c - c - a = -2c$，两边不相等，该选项错误。
D选项：对右边$[a - (b - c)][a + (b - c)]$的内层括号展开，得$(a - b + c)(a + b - c)$，左边为$(a - b - c)(a + b - c)$，两个因式的第一个括号内内容不相等，两边不相等，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1.添括号法则
2.去括号法则
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，重点考查对括号前后符号变化规则的掌握，通过去括号反向验证的方法可以避免混淆添括号的符号变化，有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用添括号法则判断，也可以通过去括号法则反向验证每个选项中等号左右两边是否相等。添括号法则：括号前加正号，括号内各项符号不变；括号前加负号，括号内各项符号全部改变。我们逐个验证4个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们通过去括号反向验证各选项：
A选项：对右边$-(-2a + 3b - c + 1)$去括号，括号前是负号，括号内各项变号，得$2a - 3b + c - 1$，和左边完全相等，该选项正确。
B选项：对右边$-2x - (y - 2y) - (-x^2 - 2x^3)$去括号，得$-2x - y + 2y + x^2 + 2x^3 = x^2 + 2x^3 - 2x + y$，左边为$x^2 - 2x - y + 2x^3 - 2y = x^2 + 2x^3 - 2x - 3y$，两边不相等，该选项错误。
C选项：对右边$(a - b) + (b - c) - (c - a)$去括号，得$a - b + b - c - c + a = 2a - 2c$，左边为$a - b + b - c - c - a = -2c$，两边不相等，该选项错误。
D选项：对右边$[a - (b - c)][a + (b - c)]$的内层括号展开，得$(a - b + c)(a + b - c)$，左边为$(a - b - c)(a + b - c)$，两个因式的第一个括号内内容不相等，两边不相等，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1.添括号法则
2.去括号法则
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，重点考查对括号前后符号变化规则的掌握，通过去括号反向验证的方法可以避免混淆添括号的符号变化，有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
10. 如图,下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.根据此规律,第$ n $个图中的$ d = \underline{\hspace{3cm}} $.
答案
10. $-178$
解析
【分析】
解题时先分别观察每个正方形四个位置的数字变化规律：首先看左上数字的变化规律，再推导左下、右下数字的规律，最后验证右上数字d和另外三个数字的运算关系；先根据第n个图左上数字为-64求出n的值，再代入运算关系计算d即可。
【解析】
1. 梳理各位置数字规律：
① 左上数字：第1个为$-1$，第2个为$2=-1×(-2)$，第3个为$-4=2×(-2)$，第4个为$8=-4×(-2)$，规律为第$n$个图左上数字$a=-(-2)^{n-1}$，且同个图中左下数字$b=2a$；
② 右下数字：第1个为$2=2×1$，第2个为$4=2×2$，第3个为$6=2×3$，第4个为$8=2×4$，规律为第$n$个图右下数字$c=2n$；
③ 右上数字$d$：验证各图可得$d=a+b+c$：
第1个：$-1+(-2)+2=-1=d$，第2个：$2+4+4=10=d$，均符合规律。
2. 求$n$的值：
已知第$n$个图左上$a=-64$，代入规律得：$-(-2)^{n-1}=-64$，即$(-2)^{n-1}=64=(-2)^6$，解得$n-1=6$，$n=7$。
3. 计算$d$：
$b=2a=2×(-64)=-128$，$c=2n=2×7=14$，则$d=-64+(-128)+14=-178$。
【答案】
$-178$
【知识点】
数字规律探究，整式的加减，乘方的意义
【点评】
本题是典型的图形数字规律题，需要先分别归纳单个位置数字的变化规律，再找到不同位置数字的运算关系，侧重考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
解题时先分别观察每个正方形四个位置的数字变化规律：首先看左上数字的变化规律，再推导左下、右下数字的规律，最后验证右上数字d和另外三个数字的运算关系；先根据第n个图左上数字为-64求出n的值，再代入运算关系计算d即可。
【解析】
1. 梳理各位置数字规律：
① 左上数字：第1个为$-1$，第2个为$2=-1×(-2)$，第3个为$-4=2×(-2)$，第4个为$8=-4×(-2)$，规律为第$n$个图左上数字$a=-(-2)^{n-1}$，且同个图中左下数字$b=2a$；
② 右下数字：第1个为$2=2×1$，第2个为$4=2×2$，第3个为$6=2×3$，第4个为$8=2×4$，规律为第$n$个图右下数字$c=2n$；
③ 右上数字$d$：验证各图可得$d=a+b+c$：
第1个：$-1+(-2)+2=-1=d$，第2个：$2+4+4=10=d$，均符合规律。
2. 求$n$的值：
已知第$n$个图左上$a=-64$，代入规律得：$-(-2)^{n-1}=-64$，即$(-2)^{n-1}=64=(-2)^6$，解得$n-1=6$，$n=7$。
3. 计算$d$：
$b=2a=2×(-64)=-128$，$c=2n=2×7=14$，则$d=-64+(-128)+14=-178$。
【答案】
$-178$
【知识点】
数字规律探究，整式的加减，乘方的意义
【点评】
本题是典型的图形数字规律题，需要先分别归纳单个位置数字的变化规律，再找到不同位置数字的运算关系，侧重考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
11. 已知关于 $ x,y $ 的多项式 $-mx^{3}y+3xy-4+2x^{3}y-nx^{3}y+m$。
(1)若合并同类项后,该多项式不含常数项,求 $ m $ 的值;
(2)若合并同类项后,该多项式不含四次项,求 $ m,n $ 之间的关系式。
(1)若合并同类项后,该多项式不含常数项,求 $ m $ 的值;
(2)若合并同类项后,该多项式不含四次项,求 $ m,n $ 之间的关系式。
答案
11. 解:(1)原式$=(-m+2-n)x^3y+3xy-4+m$,根据题意,得$-4+m=0$,所以$m=4$。
(2)根据题意,得$-m+2-n=0$,即$m+n=2$。
(2)根据题意,得$-m+2-n=0$,即$m+n=2$。
解析
【分析】
解决本题的核心是先对多项式合并同类项，再根据“不含某类项”的条件列等式求解。首先识别多项式中的同类项：含$x^3y$的项为$-mx^3y$、$2x^3y$、$-nx^3y$，常数项为$-4$和$m$，$3xy$为单独的二次项。
(1)合并同类项后不含常数项，意味着常数项的和为0，据此列方程即可求出$m$的值；
(2)先判断四次项：$x^3y$的次数为$3+1=4$，属于四次项，不含四次项即四次项的系数为0，据此列等式整理即可得到$m$、$n$的关系式。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
原式$=(-m+2-n)x^3y + 3xy + (-4 + m)$
(1)
∵合并同类项后不含常数项
∴常数项的和为0，即$-4 + m = 0$
解得$m = 4$
(2)
∵$x^3y$是四次项，合并后不含四次项
∴四次项的系数为0，即$-m + 2 - n = 0$
整理得$m + n = 2$
【答案】
(1)$m=4$；(2)$m+n=2$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；整式化简
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，解题关键是理解“多项式不含某项”等价于该项合并后的系数为0，熟练掌握同类项的识别与合并规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先对多项式合并同类项，再根据“不含某类项”的条件列等式求解。首先识别多项式中的同类项：含$x^3y$的项为$-mx^3y$、$2x^3y$、$-nx^3y$，常数项为$-4$和$m$，$3xy$为单独的二次项。
(1)合并同类项后不含常数项，意味着常数项的和为0，据此列方程即可求出$m$的值；
(2)先判断四次项：$x^3y$的次数为$3+1=4$，属于四次项，不含四次项即四次项的系数为0，据此列等式整理即可得到$m$、$n$的关系式。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
原式$=(-m+2-n)x^3y + 3xy + (-4 + m)$
(1)
∵合并同类项后不含常数项
∴常数项的和为0，即$-4 + m = 0$
解得$m = 4$
(2)
∵$x^3y$是四次项，合并后不含四次项
∴四次项的系数为0，即$-m + 2 - n = 0$
整理得$m + n = 2$
【答案】
(1)$m=4$；(2)$m+n=2$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；整式化简
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，解题关键是理解“多项式不含某项”等价于该项合并后的系数为0，熟练掌握同类项的识别与合并规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
