1. (2025 宿迁市宿城区期中) 如图，$△ ABC$ 是一个正在修建的公园. 要在公园里修建一座凉亭$H$，使该凉亭到公路$AB,AC$的距离相等，且使得$S_{△ ABH}=S_{△ BCH}$，则凉亭$H$是 （）

A.$∠ BAC$ 的平分线与边 $AC$ 上中线的交点
B.$∠ BAC$ 的平分线与边 $AB$ 上中线的交点
C.$∠ ABC$ 的平分线与边 $AC$ 上中线的交点
D.$∠ ABC$ 的平分线与边 $BC$ 上中线的交点

A

2. (2025 盐城市东台市期中)如图,$△ ABC$的两个外角的平分线$BP$,$CP$交于点$P$,$PE ⊥ AC$于点$E$.若$S_{△ BPC}=7$,$PE=4$,$S_{△ ABC}=10$,则$△ ABC$的周长为（）

A.9
B.10
C.11
D.12

D 提示:如图,连接$AP$,过点$P$作$PF ⊥ BC$于点$F$,作$PG ⊥ AB$,交$AB$的延长线于点$G$. 因为$CP$平分$∠ BCE$,$BP$平分$∠ GBC$,$PE ⊥ AC$,$PF ⊥ BC$,$PG ⊥ AB$,所以$PG=PF=PE=4$. 因为$S_{△ BPC}=7$,所以$\frac{1}{2}BC × 4=7$,解得$BC=\frac{7}{2}$. 因为$S_{△ ABC}=10$,所以$\frac{1}{2}AB × 4 + \frac{1}{2}AC × 4 -7=10$. 所以$AB+AC=\frac{17}{2}$. 所以$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC=\frac{17}{2}+\frac{7}{2}=12$.

3. 如图,有三条两两相交的公路$l_{1},l_{2},l_{3}$.现在要建一个加油站,使它到三条公路的距离相等,那么加油站可建的地点有个.

4 提示:如图,加油站可建的地点有4个.

4. 如图,点 $A,C$ 分别在射线 $BE,BF$ 上,连接
$AC,∠ ABC,∠ EAC$ 的平分线 $BP,AP$ 交于点 $P$,连接 $PC$,过点 $P$ 作 $PM⊥ BE,PN⊥$
$BF$,垂足分别为 $M,N$. 给出下列结论:
①$CP$ 平分 $∠ ACF$; ②$∠ ABC+2∠ APC=180°$; ③$∠ ACB=2∠ APB$; ④$S_{△ PAC}=S_{△ MAP}+S_{△ NCP}$. 其中正确的结论是(填序号).

①②③④ 提示:过点$P$作$PD ⊥ AC$于点$D$. 因为$BP$平分$∠ ABC$,$AP$平分$∠ EAC$,$PM ⊥ BE$,$PN ⊥ BF$,$PD ⊥ AC$,所以$PM=PN$,$PM=PD$,所以$PN=PD$,所以点$P$在$∠ ACF$的平分线上,故①正确. 因为$PM ⊥ AB$,$PN ⊥ BC$,所以$∠ ABC +90° +∠ MPN +90°=360°$,所以$∠ ABC +∠ MPN=180°$. 易证$\mathrm{Rt}△ PAM ≌ \mathrm{Rt}△ PAD$,$\mathrm{Rt}△ PCD ≌ \mathrm{Rt}△ PCN$,所以$∠ APM=∠ APD$,$∠ CPD=∠ CPN$,所以$∠ MPN=2∠ APC$,所以$∠ ABC+2∠ APC=180°$,故②正确. 因为$AP$平分$∠ CAE$,$BP$平分$∠ ABC$,所以$2∠ PAM=∠ CAE=∠ ABC +∠ ACB$,$∠ PAM=∠ ABP +∠ APB=\frac{1}{2}∠ ABC +∠ APB$,所以$∠ ACB=2∠ APB$,故③正确. 由②可知$\mathrm{Rt}△ PAM ≌ \mathrm{Rt}△ PAD$,$\mathrm{Rt}△ PCD ≌ \mathrm{Rt}△ PCN$,所以$S_{△ PAM}=S_{△ PAD}$,$S_{△ PCD}=S_{△ PCN}$,所以$S_{△ PAM}+S_{△ PCN}=S_{△ PAD}+S_{△ PCD}=S_{△ PAC}$,故④正确.

5.【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法: 如图 1,$∠ AOB$ 是一个任意角,在边 $OA,OB$ 上分别取点 $M,N$,使 $OM=$$ON$,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点 $M,N$ 重合,即 $PM=PN$. 过角尺顶点 $P$ 的射线 $OP$ 便是$∠ AOB$ 的平分线,已知角尺的夹角$∠ MPN=90°.$
【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理.
【变式判断】张明同学认为当$∠ AOB=90°$时,工人师傅就不需要先在边 $OA,OB$ 上分别取点 $M,N$,使 $OM=ON$,直接移动角尺,使角尺的两边分别与 $OA,OB$ 相交于点 $M,N$,且满足 $PM=PN$,如图 2 所示,便可以得到 $OP$ 平分$∠ AOB$,你觉得张明的观点对吗? 并说明理由.
【拓展探究】如图 3,$∠ AOB=90°$,$OQ$ 平分$∠ AOB$,$P$ 是射线 $OQ$ 上的一点,点 $C$ 在射线 $OA$ 上运动,过点 $P$ 作 $PD⊥ PC$,与直线$OB$ 交于点 $D$,过点 $P$ 作 $PE⊥ OB$ 于点 $E$.若 $OE=3,OD=1$,请直接写出 $OC$ 的长.

【初步思考】在$△ OPM$和$△ OPN$中,$\begin{cases} OM=ON, \\ OP=OP, \\ PM=PN, \end{cases}$ 所以$△ OPM ≌ △ OPN(\mathrm{SSS})$. 所以$∠ POM=∠ PON$,即$OP$平分$∠ AOB$.
【变式判断】张明的观点正确. 理由如下:过点$P$作$PD ⊥ OA$于点$D$,作$PE ⊥ OB$于点$E$,则$∠ AOB=∠ PDO=∠ PEO=90°$. 所以$∠ DPE=90°$. 因为$∠ MPN=90°$,所以$∠ DPM=∠ EPN$. 在$△ PDM$和$△ PEN$中,$\begin{cases} ∠ PDM=∠ PEN, \\ ∠ DPM=∠ EPN, \\ PM=PN, \end{cases}$ 所以$△ PDM ≌ △ PEN(\mathrm{AAS})$. 所以$PD=PE$. 又因为$PD ⊥ OA$,$PE ⊥ OB$,所以$OP$平分$∠ AOB$. 所以张明的观点正确.
【拓展探究】$OC=5$或$7$. 提示:当点$D$在点$O$右侧时,如图1,过点$P$作$PF ⊥ OA$于点$F$. 因为$PE ⊥ OB$,$PF ⊥ OA$,$OQ$平分$∠ AOB$,所以$PF=PE$,$∠ PFC=∠ PED=∠ PFO=90°$. 同理可得,$∠ CPD=∠ FPE=90°$. 所以$∠ FPC=∠ EPD$. 在$△ PFC$和$△ PED$中,$\begin{cases} ∠ FPC=∠ EPD, \\ PF=PE, \\ ∠ PFC=∠ PED, \end{cases}$ 所以$△ PFC ≌ △ PED(\mathrm{ASA})$. 所以$CF=DE$. 所以$CF=DE=OE-OD=3-1=2$. 在$\mathrm{Rt}△ PFO$和$\mathrm{Rt}△ PEO$中,$\begin{cases} PF=PE, \\ PO=PO, \end{cases}$ 所以$\mathrm{Rt}△ PFO ≌ \mathrm{Rt}△ PEO(\mathrm{HL})$. 所以$OF=OE=3$,所以$OC=OF+CF=3+2=5$.


当点$D$在点$O$左侧时,如图2,$CF=DE=OE+OD=3+1=4$. 所以$OC=OF+CF=3+4=7$. 综上所述,$OC$的长为$5$或$7$.