1. （2026 南京市期末）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC,AD⊥ BC$于点$D$.下列结论不一定正确的是（）

A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$BD=CD$
D.$AD=BC$

D

2.（2026 淮安市期末）一个等腰三角形的两边长分别为 2 cm,4 cm,则它的周长是（）

A.8 cm
B.8 cm 或 10 cm
C.6 cm 或 8 cm
D.10 cm

D

3. 在等腰三角形 $ABC$ 中,若 $∠ A=70°$,则
$∠ B$ 的度数是（）

A.$40°$
B.$55°$
C.$70°$
D.$40°$ 或 $55°$ 或 $70°$

D 提示:在等腰三角形 ABC 中,已知$∠A=70°$,分两种情况讨论:①若$∠A$为底角,则另外两个角为$70°$和$40°$;②若$∠A$为顶角,则另外两个角均为$55°$.所以$∠B$的度数是$70°$或$40°$或$55°$.

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD=AE$,则$∠ 1$与$∠ 2$的关系是（）

A.$2∠ 1+∠ 2=180°$
B.$∠ 1=90°-∠ 2$
C.$∠ 1=180°-2∠ 2$
D.$∠ 1=2∠ 2$

D 提示:因为$AB=AC,AD=AE$,所以$∠B=∠C$,$∠AED=∠ADE$. 由三角形外角的性质,得$∠AED=∠C+∠2$,$∠ADC=∠ADE+∠2=∠1+∠B$,所以$∠C+2∠2=∠1+∠B$,所以$∠1=2∠2$.

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=108°$,将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转得到$△ AB'C'$.若点$B'$恰好落在边$BC$上,且$AB'=CB'$,则$∠ C'$的度数为.

$24°$ 提示:因为$AB'=CB'$,所以$∠C=∠CAB'$,所以$∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C$. 因为将$△ABC$绕点A按逆时针方向旋转得到$△AB'C'$,所以$∠C=∠C'$,$AB=AB'$,所以$∠B=∠AB'B=2∠C$. 因为$∠B+∠C+∠BAC=180°$,所以$3∠C=180°-∠BAC=72°$,所以$∠C=24°$,所以$∠C'=∠C=24°$.

6. (2026 宿迁市期末)若等腰三角形的周长为8 cm,其中一边长为 2 cm,则底边长为cm.

2

7. 如图,在长方形 $ABCD(AB＞BC)$ 的对称轴 $l$ 上找一点 $P$,使得$△ PAB,△ PBC$ 均为等腰三角形,则满足条件的点 $P$ 有个.

5 提示:由条件可知,直线$l$上的任意一点$P$都满足$BP=CP$,所以$△PBC$始终是以$∠BPC$为顶角的等腰三角形,故本题只需讨论$△PAB$为等腰三角形的情况. 当$PA=PB$时,$P$是$AB$或$DC$的垂直平分线与$l$的交点,此时满足条件的点$P$有1个. 当$AB=AP$时,由$AB＞BC$可知,以点$A$为圆心,$AB$的长为半径画弧,该弧与$l$有2个交点,即此时满足条件的点$P$有2个. 当$BA=BP$时,同理可知,此时满足条件的点$P$有2个. 综上所述,满足条件的点$P$共有5个.

8. (2025 南京市期中)求证:等腰三角形两腰上的高相等.
已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,
.
求证:.
证明:

证明:因为 $BE⊥AC$ 于点 $E$,$CD⊥AB$ 于点 $D$,所以$∠AEB=∠ADC=90°$. 在$△ABE$和$△ACD$ 中, $\begin{cases}∠AEB=∠ADC,\\∠A=∠A,\\AB=AC,\end{cases}$ 所以$△ABE≌△ACD$(AAS). 所以$BE=CD$. 所以等腰三角形两腰上的高相等.

9. (2025 镇江市句容市期中) 如图, 已知 $AB=AC=AD$.
(1) 如图 1, 若 $∠ D=32°, ∠ BAC=20°$, 则 $∠ DBC=$ $°$.
(2) 如图 2, $∠ ACB=2∠ ADB$, 过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$, 垂足为 $E$.
①求证: $AD// BC$;
②若 $DE=6\ \mathrm{cm}$, 求点 $D$ 到 $AC$ 的距离.

(1) 48 提示:因为 $AB=AD$,$∠D=32°$,所以$∠ABD=∠D=32°$. 因为 $AB=AC$,$∠BAC=20°$,所以$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=80°$. 所以$∠DBC=∠ABC-∠ABD=80°-32°=48°$.
(2) ① 因为 $AB = AD$, 所以 $∠ABD = ∠ADB$. 所以$∠DAE=2∠ADB$. 又因为$∠ACB=2∠ADB$,所以$∠ACB=∠DAE$. 因为$AB=AC$,所以$∠ABC=∠ACB$. 所以$∠ABC=∠DAE$. 所以$AD// BC$.
② 如图,过点 $D$ 作 $DF⊥AC$ 于点 $F$. 因为$AD// BC$,所以$∠DAC=∠ACB$. 又因为$∠ACB=∠DAE$,所以$∠DAE=∠DAC$. 所以 $AD$ 是 $∠EAC$ 的平分线. 又因为$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,$DE=6\ \mathrm{cm}$,所以$DF=DE=6\ \mathrm{cm}$. 所以点 $D$ 到 $AC$ 的距离是 $6\ \mathrm{cm}$.