疑难点拨
已知线段AB是$\odot O$的直径,不与点A、B重合的点C在$\odot O$上,则$∠ ACB=$.
点拨 根据直径所对圆周角是直角可得结论.

$90°$

【分析】
要解决这个问题，需回忆圆周角定理的核心内容：直径对应的圆周角存在特殊性质。已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与A、B重合，那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角，根据圆周角定理中直径的相关结论即可推导结果。
【解析】
根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角。因为AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（不与A、B重合），所以∠ACB是直径AB所对的圆周角，因此∠ACB=90°。
【答案】
90°
【知识点】
圆周角定理；直径与圆周角的关系
【点评】
本题考查圆周角定理的基础应用，属于几何入门级的基础题型，只要牢记“直径所对的圆周角是直角”这一关键定理，就能快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9

1. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB为$\odot O$的直径,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点.若$∠ A=40°$,则$∠ B$的度
数为 ()

A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$65°$

1. C

【分析】
要解决本题，需运用圆的核心性质：①圆周角的度数等于所对弧度数的一半；②直径对应的弧为180°；③弧中点将弧分为相等的两段。首先通过∠A求出弧DB的度数，再结合弧中点性质得到弧BC的度数，最后利用直径的弧长关系求出∠B对应的弧，进而算出∠B的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半。∠A是圆周角，对应弧$\overset{\frown}{DB}$，因此$\overset{\frown}{DB}$的度数为$2×∠A=2×40°=80°$。
2. 因为C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为$\frac{1}{2}×\overset{\frown}{DB}=\frac{1}{2}×80°=40°$。
3. AB是⊙O的直径，故$\overset{\frown}{AB}$的度数为180°，则∠B对应的弧$\overset{\frown}{ADC}$的度数为$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=180°-40°=140°$。
4. 再次利用圆周角定理，∠B是圆周角，对应弧$\overset{\frown}{ADC}$，因此$∠B=\frac{1}{2}×140°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、弧中点性质、直径的性质
【点评】
本题综合考查圆的性质，关键是实现“角度与弧度数”的转化，理清各弧的关系是解题核心，属于中等难度的圆相关题型。
【难度系数】
0.5

2. 如图,AB是$\odot O$的直径,弦CD交AB于点E,$∠ ACD=60°$,$∠ ADC=45°$,则$∠ DEB$的度数是
()

A.$75°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$

2. A

【分析】要计算∠DEB的度数，需利用圆周角定理找到相等的圆周角，再结合三角形内角和定理求解。首先明确：∠ACD与∠ABD是同弧AD所对的圆周角，二者相等；再结合已知的∠ADC，在△DEB中利用内角和即可算出结果。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，因此∠ABD=∠ACD=60°。
2. 已知∠ADC=45°，即∠EDB=45°。
3. 在△DEB中，由三角形内角和为180°，可得：
∠DEB=180°-∠EDB-∠ABD=180°-45°-60°=75°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、三角形内角和
【点评】
本题考查圆周角定理与三角形内角和的基础应用，关键是利用同弧圆周角相等找到角度关系，难度适中。
【难度系数】
0.5

3. 如图,小温将三角尺$30°$角的顶点P落在圆上,量出另两个交点的距离AB=8 cm,则$\odot O$的半
径为 ()

A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.$2\sqrt{3}$cm

3. C

【分析】要计算圆的半径，需结合圆周角定理和三角形的性质推导。首先明确∠APB是圆周角，它所对的弧为AB，根据圆周角定理可求出弧AB对应的圆心角；再利用半径相等的条件，判断圆心与弦AB构成的三角形形状，进而得到半径与AB的关系，最终求出半径。
【解析】连接OA、OB。
∵∠APB是⊙O中弧AB所对的圆周角，且∠APB=30°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠APB=2×30°=60°。
又
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴△AOB是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴OA=AB。
已知AB=8cm，
∴OA=8cm，即⊙O的半径为8cm。
【答案】C
【知识点】圆周角定理，等边三角形性质
【点评】本题结合圆周角定理与等边三角形的判定，考查圆的半径计算，属于基础几何题，关键在于利用圆周角定理建立圆心角与圆周角的关系，推导半径长度。
【难度系数】0.5

4. 如图,C、D是以线段AB为直径的$\odot O$上两点.若CA=CD,且$∠ ACD=40°$,则$∠ CAB=$$°$.

4. 20

【分析】
要解决这道题，首先利用等腰三角形的性质求出相关角度，再结合圆周角定理和直径的性质推导所求角的度数。已知CA=CD，△ACD是等腰三角形，可先算出底角；再根据同弧所对的圆周角相等，结合直径所对圆周角为直角的性质，即可求出∠CAB。
【解析】
1. 因为CA=CD，所以△ACD为等腰三角形，两底角相等，即∠CAD=∠CDA。
2. 根据三角形内角和为180°，可得∠CDA=(180°−∠ACD)÷2=(180°−40°)÷2=70°。
3. 由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可知∠ACB=90°，即Rt△ACB中，∠CAB+∠CBA=90°。
4. ∠CDA与∠CBA都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠CBA=∠CDA=70°。
5. 因此∠CAB=90°−∠CBA=90°−70°=20°。
【答案】20
【知识点】圆周角定理、等腰三角形性质、直径所对圆周角为直角
【点评】本题综合考查等腰三角形性质与圆的相关性质，核心是利用同弧圆周角相等和直径的直角性质，步骤清晰，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

5. [新情境·现实生活]一块圆形玻璃镜面损坏了一部分,为了得到同样大小的镜面,工人师傅用直
角尺作如图所示的测量,测得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形玻璃镜面的半径为cm.

5. 6.5

【分析】
要计算圆形玻璃镜面的半径，可利用圆上各点到圆心距离相等的性质，结合直角坐标系建立方程求解。先根据题意建立合适的坐标系确定各点坐标，再利用半径相等的条件列方程，求出圆心坐标后计算半径。
【解析】
设圆形玻璃镜面的圆心为$ O $，半径为$ r $ cm。由题意知$ AB ⊥ BC $，故$ ∠ ABC = 90° $。设点$ B $为坐标原点，$ BC $所在直线为$ x $轴，$ AB $所在直线为$ y $轴建立平面直角坐标系，则点$ A(0, -12) $，点$ C(5, 0) $，圆心$ O(x, y) $。
因为$ OA = OB = OC = r $，根据两点间距离公式：
$OB^2 = x^2 + y^2 = r^2 \quad ①$
$OC^2 = (x - 5)^2 + y^2 = r^2 \quad ②$
$OA^2 = x^2 + (y + 12)^2 = r^2 \quad ③$
联立①②得：$ x^2 + y^2 = (x - 5)^2 + y^2 $，化简得$ 10x = 25 $，解得$ x = 2.5 $。
将$ x = 2.5 $代入①，再与③联立得：$ 2.5^2 + y^2 = 2.5^2 + (y + 12)^2 $，化简得$ 24y = -144 $，解得$ y = -6 $。
因此半径$ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2.5^2 + (-6)^2} = \sqrt{42.25} = 6.5 $（cm）。
【答案】
6.5
【知识点】
圆的性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际情境，利用圆的半径相等的性质，通过坐标法将几何问题转化为代数计算，考查了方程思想的应用，体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.6

6. [整体思想]如图,点A、B、C、D、E均在$\odot O$上,且AC为$\odot O$的直径,连接AD、CE、BD、BE,则
$∠ A+∠ B+∠ C=$$°$.

6. 90

【分析】要计算∠A+∠B+∠C的度数，需运用圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等。观察图形可知AC是⊙O的直径，直径对应的圆周角为90°，而∠A、∠B、∠C均为圆周角，通过转化它们对应的弧，可发现三者之和等于直径所对的直角，进而得出结果。
【解析】因为AC是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为90°，即∠AEC=90°，所以在△AEC中，∠EAC + ∠ACE = 90°。又因为同弧所对的圆周角相等，∠B（∠DBE）等于∠DAE，结合图形中角的对应关系，可知∠A+∠B+∠C=∠EAC + ∠DAE + ∠ACE=∠EAC + ∠ACE + ∠DAE，进一步推导可得该和等于直径AC对应的直角，即90°。
【答案】90
【知识点】圆周角定理、直径的性质
【点评】本题利用圆周角定理的核心性质，将分散的圆周角转化为直径对应的直角，体现了整体思想，是圆中角度计算的典型基础题型。
【难度系数】0.5

7. 如图,AB为半圆O的直径,点C为$\odot O$上一点,连接AC、BC,且$∠ ABC=60°$,按以下步骤操
作:①以点B为圆心,适当长为半径画弧交AB于点M,交BC于点N;②分别以点M,N为圆心,大
于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧相交于点P;③作射线BP交$\odot O$于点D,交AC于点E.若CD=1,则
AC的长.

7. $\sqrt{3}$

【分析】
首先，AB是半圆O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=90°；由作图步骤可知BP是∠ABC的角平分线，结合∠ABC=60°算出∠CBD=30°；再利用同弧所对圆周角相等，得到∠CDB=∠CAB，结合Rt△ABC中∠ABC=60°算出∠CAB=30°，进而推出∠CDB=∠CBD=30°，得CB=CD；最后在Rt△ABC中利用三角函数关系求出AC的长度。
【解析】
1. 因为AB为半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠ACB=90°。
2. 由作图步骤可知，射线BP是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=60°，因此∠CBD=½∠ABC=30°。
3. ∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，得∠CDB=∠CAB。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，所以∠CAB=90°-60°=30°，故∠CDB=30°。
4. 在△CDB中，∠CDB=∠CBD=30°，根据等角对等边，得CB=CD=1。
5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=1，由tan∠ABC=AC/BC，得AC=BC·tan60°=1×√3=√3。
【答案】
√3
【知识点】
圆周角定理、角平分线的作法、直角三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图与圆的性质，需熟练运用圆周角定理、直角三角形的边角关系，理清角的等量关系是解题核心，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5