8. 如图,AB是$\odot O$的直径,点C、D在$\odot O$上,$OD// BC$,AC与OD交于点E.若DE=3,AC=10,
求$\odot O$的半径.

8. $\odot O$ 的半径是 $\frac{17}{3}$.

【分析】首先根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°；再由OD//BC，推出OE⊥AC，结合垂径定理确定E是AC中点，得到AE的长度；设⊙O的半径为r，用r表示出OE的长度，最后在Rt△AOE中，利用勾股定理建立方程求解半径。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ACB=90°$。
2. 已知$OD// BC$，所以$∠ AEO=∠ ACB=90°$，即$OE⊥ AC$。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此E为AC的中点，故$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
3. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$。由$DE=3$，可得$OE=OD - DE=r - 3$。
4. 在$Rt△ AOE$中，根据勾股定理：$OA^2=AE^2 + OE^2$，代入各线段长度得：
$r^2=5^2 + (r - 3)^2$
展开并化简方程：
$r^2=25 + r^2 - 6r + 9$
消去$r^2$后移项得：$6r=34$，解得$r=\frac{17}{3}$。
【答案】$\frac{17}{3}$
【知识点】圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】本题综合考查圆的性质与勾股定理的应用，关键是利用直径的性质和平行线关系得到垂直，结合垂径定理确定线段长度，通过设未知数建立方程求解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.6

9. 如图,AB是$\odot O$的直径,D是弦AC的延长线上一点,且CD=AC,DB的延长线交$\odot O$于点E.
(1)求证:$CD=CE$;
(2)连接AE,若$∠ D=26°$,求$∠ BAE$的度数.

9. (1) 证明略 (2) $∠ BAE=38°$

【分析】
要解决这道题，第(1)问需证明CD=CE：先连接辅助线BC，利用AB是直径的性质得到直角，结合AC=CD推出BC是AD的垂直平分线，进而得到角相等，再通过同弧所对圆周角相等得到另一组角相等，最终证明CD=CE；第(2)问，结合第(1)问的结论和已知∠D=26°，利用直径所对圆周角为直角的性质，通过角度关系推导求出∠BAE的度数。
【解析】
(1) 证明：连接BC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），即$BC⊥ AC$。
又
∵ $AC=CD$，
∴ BC是线段AD的垂直平分线，
∴ $AB=BD$，故$∠ A=∠ D$。
∵ $∠ A$和$∠ E$都是弧BC所对的圆周角，
∴ $∠ A=∠ E$，
∴ $∠ E=∠ D$，
∴ $CE=CD$（等角对等边），即$CD=CE$。
(2) 解：由(1)知，$∠ A=∠ D=26°$，$∠ E=∠ D=26°$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$△ BDE$中，$∠ ABE$是外角，故$∠ ABE=∠ D+∠ E=26°+26°=52°$。
在$△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，
∴ $∠ BAE=90°-∠ ABE=90°-52°=38°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $∠ BAE=38°$
【知识点】
圆周角定理，垂直平分线性质，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查圆的核心性质与几何图形的角度关系，关键是合理添加辅助线推导角相等，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.5

10. 如图,点A、B、C、D在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4,则AD=.

10. $2\sqrt{21}$

【分析】首先观察AB、BC、AC的长度，利用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，得出∠ABC=90°；根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可知AC是圆的直径；再利用直径所对的圆周角为直角，得到△ADC是直角三角形，最后通过勾股定理计算AD的长度。
【解析】
1. 在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，计算得：$AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且$∠ ABC = 90°$。
2. 因为$∠ ABC$是圆周角且为90°，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，所以AC是该圆的直径。
3. 又因为AC是直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，所以$∠ ADC = 90°$，即△ADC是直角三角形，AC为斜边。
4. 在Rt△ADC中，CD=4，AC=10，由勾股定理得：$AD^2 + CD^2 = AC^2$，代入数值计算：$AD^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84$，因此$AD = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$。
【答案】$2\sqrt{21}$
【知识点】勾股定理、圆周角定理
【点评】本题综合运用勾股定理和圆周角定理，核心是先通过直角确定直径，再构造直角三角形求解边长，属于几何基础综合题，难度适中。
【难度系数】0.5

11. 如图,$∠ BAC$的平分线交$△ ABC$的外接圆于点D,若$∠ BAC=90°$,BD=4.求$△ ABC$外接圆
的半径.

11. $△ ABC$ 外接圆的半径为 $2\sqrt{2}$.

【分析】
要解决这个问题，首先利用“90°圆周角所对的弦是直径”确定△ABC外接圆的直径，再结合角平分线和圆周角定理得到弦BD与CD的关系，最后通过等腰直角三角形的性质和勾股定理求出直径，进而得到外接圆半径。
【解析】
1. 因为∠BAC=90°，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，所以BC是△ABC外接圆的直径，因此外接圆半径为BC的一半。
2. 由于AD平分∠BAC，且∠BAC=90°，所以∠BAD=∠CAD=45°。根据圆周角定理：相等的圆周角所对的弧相等，可得弧BD=弧CD，故弦BD=CD=4。
3. 又因为∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，所以∠BDC=∠BAC=90°，即△BDC是等腰直角三角形。
4. 在Rt△BDC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
5. 因此，△ABC外接圆的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】$2\sqrt{2}$
【知识点】圆周角定理、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】本题核心是利用圆周角定理推导等弧对等弦，结合直径所对圆周角为直角构造等腰直角三角形求解，需熟练掌握圆周角相关性质，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5

12. [原创题]如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,请仅用无刻度的直尺完成下列画图,并保
留画图痕迹.
(1)填空:$∠ ABC=$;
(2)如图,$\odot O$经过格点A、B、C,在图中画出圆心O;

(3)在$\odot O$上画一点M,使BM平分$∠ ABC$.

12. (1) $90°$
(2) 解:由勾股定理可得:$AB=\sqrt{5}$,$BC=2\sqrt{5}$,$AC=5$,则
$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$,
$\therefore △ ABC$ 为直角三角形,即 $AC$ 为直径,
找到格点 $P$,使得四边形 $ABCP$ 为矩形,连接 $BP$,与 $AC$
交于点 $O$,
则 $OA=OC$,
$\therefore O$ 为直径 $AC$ 的中点,$\therefore$ 点 $O$ 为圆心,
即:点 $O$ 即为所求;

(3) 如图,由图可知在直径 $AC$ 下方,$\odot O$ 上的两个格点与
直径 $AC$ 平行,
连接以该两格点围成矩形的对角线,再连接圆心 $O$ 与对角
线的交点所在直线,与 $\odot O$ 交于点 $M$,可知 $OM$ 垂直平分
两个格点的连线段,

$\therefore OM$ 垂直平分 $AC$,即 $M$ 为 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点,
$\therefore \overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{AM}$,
$\therefore ∠ CBM=∠ ABM$
即:$BM$ 即为所求.

【分析】
首先，计算△ABC三边长度，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，得到∠ABC的度数；其次，圆的圆心是弦的垂直平分线交点，直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，据此确定圆心O；最后，角平分线对应弧相等，找到弧AC的中点M，连接BM即可平分∠ABC。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1，计算△ABC三边平方：
AB² = 1² + 2² = 5，BC² = 2² + 4² = 20，AC² = 5² = 25；
因为AB² + BC² = 5 + 20 = 25 = AC²，根据勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形，故∠ABC = 90°。
(2) 直角三角形外接圆的圆心在斜边AC的中点处。在网格中找格点P，使四边形ABCP为矩形，连接AC与BP，交点O即为AC中点，也就是⊙O的圆心。
(3) 要使BM平分∠ABC，需弧CM = 弧AM，即M为弧AC的中点。在⊙O上找到弧AC的中点M，连接BM，BM即为所求角平分线。
【答案】
(1) $90°$
(2) 画图痕迹见参考答案对应图
(3) 画图痕迹见参考答案对应图
【知识点】
勾股定理逆定理、圆的圆心确定、角平分线与弧的关系
【点评】
本题结合网格考查圆的性质与勾股定理的应用，需掌握直角三角形外接圆的特点、弧与角平分线的关系，以及网格中线段长度的计算方法，综合性较强。
【难度系数】
0.4