13. 将弧BC沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=8,DB=10,则BC的
长为 ()
A. $6\sqrt{7}$ B. 16
C. $2\sqrt{65}$ D. $4\sqrt{15}$

13. A

【分析】首先，AB为直径，计算得AB=AD+DB=18。利用弧BC沿弦BC折叠的性质，折叠后弧BC与AB交于点D，可得对应角相等，结合圆的基本性质（直径所对圆周角为直角），通过建立坐标关系或弦长等量关系，求解BC的长度。
【解析】因为AB是直径，所以AB=AD+DB=8+10=18。设圆心为坐标原点，AB在x轴上，则A(-9,0)，B(9,0)，D点坐标为(-1,0)（AD=8，故D的横坐标为-9+8=-1）。设点C(x,y)在圆上，满足圆的方程：$x^2+y^2=81$。由折叠性质，折叠后弧BC过D，结合弦长关系，联立方程：
$BC^2=(x-9)^2+y^2$，代入$x^2+y^2=81$得：
$(x-9)^2 + y^2 = x^2 -18x +81 + y^2 = (x^2+y^2) -18x +81 =81 -18x +81=162-18x$。
结合折叠后弧与AB的交点关系，解得$x=-5$，代入圆方程得$y^2=81-25=56$，因此$BC^2=162-18×(-5)=162+90=252$，故$BC=\sqrt{252}=6\sqrt{7}$。
【答案】A
【知识点】圆的折叠性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】本题考查圆的折叠相关计算，需利用折叠前后的等量关系，结合圆的性质建立方程求解，综合性适中。
【难度系数】0.4

14. 在$△ ABC$中,AB=AC,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,交AC于点E,连接BE.
（1）如图1,若$∠ BAC=40°$,求$∠ CBE$的度数;

（2）如图2,当$∠ A$为锐角时,求证:$∠ BAC=2∠ CBE$.

14. (1) $∠ CBE=20°$. (2) 证明略.

【分析】
对于第(1)问，已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，先根据等腰三角形内角和求底角∠C的度数；再利用“直径所对的圆周角是直角”得到BE⊥AC，在直角△BEC中，通过直角三角形两锐角互余计算∠CBE。对于第(2)问，同样由直径性质得BE⊥AC，结合等腰三角形内角和，通过角度关系变形推导，证明∠BAC与∠CBE的倍数关系。
【解析】
(1) 解：
∵ AB=AC，∠BAC=40°，
∴ ∠ABC=∠C=(180°−∠BAC)/2=(180°−40°)/2=70°。
∵ AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，
∴ ∠AEB=90°（直径所对的圆周角为直角），即BE⊥AC，
∴ 在Rt△BEC中，∠BEC=90°，
∴ ∠CBE=90°−∠C=90°−70°=20°。
(2) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，
∴ ∠AEB=90°，即BE⊥AC，
∴ ∠CBE + ∠C=90°，①
又
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠C=180°，即∠BAC + 2∠C=180°，
两边同除以2得：(∠BAC)/2 + ∠C=90°，②
对比①式，可得∠CBE=(∠BAC)/2，即∠BAC=2∠CBE。
【答案】
(1) ∠CBE=20°；(2) 证明成立。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆与等腰三角形的性质，核心是利用直径所对圆周角为直角的关键定理，结合角度关系推导，属于中等难度的几何题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5

15. [原创题]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以BC为弦的圆与AB交于点

D,且点D是弧BC的中点.
(1)判断AD与BD的数量关系是;
(2)请仅用无刻度直尺作图:①作出圆的直径BE,②在BC上作出点F,使
AF=BF;(不写作法,保留作图痕迹)
(3)若BC=2AC=4,则(2)中BE的长为.

15. (1) $AD=BD$;
(2) 如图,$BE$ 是所求作的直径,点 $F$ 是所求作的点;
(3) 5.

【分析】
第(1)问需利用弧中点的性质，结合直角三角形的角的关系推导边相等；第(2)问根据直径所对圆周角为直角的性质作直径，再结合线段相等的条件确定点F；第(3)问通过直角三角形边长计算，结合圆的圆心、半径与直径的关系求出BE长度。
【解析】
(1) 连接CD，因为D是弧BC的中点，所以弧BD=弧CD，根据同弧所对圆周角相等，得∠BCD=∠CBD。又∠ACB=90°，故∠A+∠ABC=90°，∠ACD+∠BCD=90°，因此∠A=∠ACD，所以AD=CD，结合CD=BD，得AD=BD。
(2) 作图：①连接ED并延长交AC的延长线于点E，BE即为圆的直径；②连接AB的垂直平分线与BC交于点F，使AF=BF，保留作图痕迹。
(3) 由BC=2AC=4，得AC=2，BC=4，在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(2²+4²)=2√5。由(1)知D是AB中点，设C为原点，AC在x轴，BC在y轴，则C(0,0)、A(2,0)、B(0,4)、D(1,2)。圆以BC为弦，圆心在BC垂直平分线y=2上，设圆心为(h,2)，半径r，则r²=h²+2²，且D在圆上得r²=(h-1)²，联立解得h=-3/2，r=5/2，故直径BE=2r=5。
【答案】
(1) $AD=BD$；(2) 如图，$BE$是所求作的直径，点$F$是所求作的点；(3) 5。
【知识点】
圆的弧中点性质，直径的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形知识，前两问侧重性质应用，第三问需结合坐标或几何关系计算，难度适中，需熟练掌握圆的基本定理。
【难度系数】
0.6

16. 如图,$∠ MON=90°$,OT是$∠ MON$的平分线,A是射线OM上一点,OA=8 cm.动点P从点
A出发,以1 cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以
1 cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动,连接PQ,交OT于点B.经过O、P、Q三点作圆,
交OT于点C,连接PC、QC.设运动时间为t s,其中0＜t＜8.求:
（1）OP+OQ的值;
（2）四边形OPCQ的面积.

16. (1) $OP+OQ=8\ \mathrm{cm}$. (2) $S_{四边形OPCQ}=16\ \mathrm{cm}^{2}$.

【分析】
（1）要计算OP+OQ，需先根据动点运动的速度和时间表示出OP、OQ的长度，再求和即可；
（2）求四边形OPCQ的面积，需利用∠MON=90°得出PQ是外接圆直径，结合角平分线性质和圆周角定理推导图形特征，进而计算面积。
【解析】
（1）由题意，动点P的运动路程AP = 1×t = t cm，动点Q的运动路程OQ =1×t = t cm。
已知OA=8 cm，因此OP = OA - AP = (8 - t) cm。
则OP + OQ = (8 - t) + t = 8 cm。
（2）因为∠MON=90°，所以∠POQ=90°，故PQ是经过O、P、Q三点的圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠PCQ=90°。
又OT平分∠MON，所以∠POT=∠QOT=45°，由圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，得∠CPQ=∠CQP=45°，即△PCQ为等腰直角三角形。
结合OT是角平分线及四点共圆的性质，可推导出C点到两坐标轴的距离恒为4 cm，利用四边形面积的计算方法，最终得S四边形OPCQ = 16 cm²。
【答案】
(1) 8 cm；(2) 16 cm²
【知识点】
圆的性质、动点问题、圆周角定理
【点评】
本题结合动点问题考查圆的核心性质，关键在于利用直径的性质、角平分线性质推导图形的定值特征，体现了几何中的定值思想，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5