14. [原创题]如图,$∠ APB$的边交$\odot O$于点$A$、$B$、$C$、$D$,$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DA}$的度数分别为$α$、$β$、$\gamma$、$θ$,若要确定$∠ APB$的大小,则需要确定的弧的度数是 ()

A. $α$、$β$ B. $β$、$\gamma$ C. $\gamma$、$θ$ D. $α$、$\gamma$

14. D

【分析】
要确定∠APB的大小，需运用圆外角的性质：圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半。本题中∠APB是圆外角，其两边与⊙O分别交于A、D和B、C，因此∠APB所截的两条弧是$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$，只需确定这两条弧的度数，即可求出∠APB的大小。
【解析】
根据圆外角定理：圆外角的度数等于它所夹的两段弧的度数之差的一半。本题中，∠APB为圆外角，它所夹的弧是$\overset{\frown}{AB}$（度数为α）和$\overset{\frown}{CD}$（度数为γ），因此∠APB = $\frac{1}{2}(α - γ)$，所以要确定∠APB的大小，需要确定α和γ，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆外角定理、弧的度数
【点评】
本题考查圆外角定理的应用，核心是掌握圆外角与所截弧的度数关系，属于基础几何题，需准确记忆相关定理即可解题。
【难度系数】
0.5

15. 在$\odot O$中,若弦$BC$垂直平分半径$OA$,则弦$BC$所对的圆周角的度数为.

15. $60°$或$120°$

【分析】
要解决这道题，首先结合弦BC垂直平分半径OA的条件，通过连接半径构造直角三角形求出圆心角∠BOC的度数；再明确弦所对的圆周角有两个（分别在优弧、劣弧上），利用圆周角定理计算两种情况的度数即可。
【解析】
设半径OA的中点为D，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD=½OA，且BC⊥OA于D。
连接OB、OC，
∵OB是⊙O的半径，
∴OB=OA，故OD=½OB。
在Rt△OBD中，cos∠BOD=OD/OB=½，
∴∠BOD=60°，同理可得∠COD=60°，
因此圆心角∠BOC=∠BOD+∠COD=120°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
①当圆周角的顶点在劣弧BC上时，该圆周角的度数为½∠BOC=½×120°=60°；
②当圆周角的顶点在优弧BC上时，该圆周角与①中的圆周角互补，度数为180°-60°=120°。
综上，弦BC所对的圆周角的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
圆心角与圆周角的关系，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查圆的相关性质，关键在于理解弦所对的圆周角有两个（分别位于优弧和劣弧），避免漏解；需熟练运用圆周角定理和直角三角形的三角函数知识求解。
【难度系数】
0.5

16. 如图,$A$、$B$、$C$是半径为1的$\odot O$上的三个点,若$AB=\sqrt{2}$,$∠ CAB=30°$,则$∠ ABC$的度数为.

16. $105°$

【分析】
要解决这个问题，需结合圆的半径性质、勾股定理逆定理、圆周角定理以及三角形内角和定理。首先连接圆心与圆上两点构造三角形，通过边长关系判断三角形形状得到圆心角，再利用圆周角定理求出相关圆周角，最后结合三角形内角和计算目标角度。
【解析】
1. 连接OA、OB，因为⊙O半径为1，所以OA=OB=1。
2. 在△OAB中，OA²+OB²=1²+1²=2，AB²=(√2)²=2，因此OA²+OB²=AB²，根据勾股定理逆定理，△OAB是直角三角形，且∠AOB=90°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧AB所对的圆周角∠ACB=½∠AOB=½×90°=45°。
4. 在△ABC中，由三角形内角和为180°，已知∠CAB=30°，∠ACB=45°，则∠ABC=180°-30°-45°=105°。
【答案】
105°
【知识点】
圆周角定理、三角形内角和、勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形相关定理，核心是利用半径构造直角三角形，结合圆周角定理转化角度，再通过三角形内角和求解，需要学生掌握圆与三角形的基础知识点，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

17. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD=BC$,$∠ B=∠ D$,$AD$不平行于$BC$,过点$C$作$CE// AD$,交$△ ABC$的外接圆$\odot O$于点$E$,连接$AE$.
(1) 求证:四边形$AECD$为平行四边形;
(2) 连接$CO$,求证:$CO$平分$∠ BCE$.

17. 证明略

【分析】
第(1)问：要证明四边形AECD是平行四边形，已知CE//AD，根据平行四边形“两组对边分别平行”的判定，只需推导另一组对边AE//CD即可。利用圆内接四边形对角互补的性质，结合CE//AD时同旁内角互补的关系，可推导出∠AEC=∠DCE，进而得到AE//CD，结合已知CE//AD完成证明。
第(2)问：要证明CO平分∠BCE，需证∠BCO=∠ECO。由第(1)问结论得CE=AD，结合已知AD=BC，推出CE=BC，根据圆中相等的弦对应相等的弧，结合OC为半径，可证OC平分∠BCE。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCE内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠AEC = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵ CE//AD，
∴ ∠D + ∠DCE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ ∠ABC = ∠D，
∴ ∠AEC = ∠DCE（等角的补角相等），
∴ AE//CD（内错角相等，两直线平行）。
又
∵ CE//AD，
∴ 四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
由(1)知四边形AECD是平行四边形，
∴ AD = CE（平行四边形对边相等）。
又
∵ AD = BC，
∴ CE = BC，
∴ 弧BC = 弧CE（同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵ OC是⊙O的半径，
∴ OC平分∠BCE（同圆中，相等的弧对应的圆心所在直线平分该弧所对的圆周角）。
【答案】
(1) 四边形AECD为平行四边形；(2) CO平分∠BCE。
【知识点】
圆内接四边形性质，平行四边形判定，圆的弦弧关系
【点评】
本题综合考查圆的性质与平行四边形的判定，需熟练运用圆内接四边形、平行四边形的相关定理，以及圆中弦与弧的对应关系，逻辑推理要求较高，是典型的几何证明题。
【难度系数】
0.5

18. 如图,$\odot O$的半径为1,$A$、$P$、$B$、$C$是$\odot O$上的四个点,且$∠ APC=∠ CPB=60°$.
(1) 判断$△ ABC$的形状;
(2) 试探究线段$AP$、$BP$、$CP$之间的数量关系.

18. (1) $△ ABC$为等边三角形. (2) $CP=BP+AP$.

【分析】
要解决本题，需运用圆周角定理、等边三角形的判定及全等三角形的性质。第(1)问中，利用同弧所对的圆周角相等，结合已知的两个60°角，可推导出△ABC的三个内角均为60°，从而判断其形状；第(2)问通过构造全等三角形，将AP、BP转化到CP所在线段上，进而得出三者的数量关系。
【解析】
(1) 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。
因为∠APC与∠ABC都对弧AC，所以∠ABC=∠APC=60°；
∠BAC与∠BPC都对弧BC，所以∠BAC=∠BPC=60°。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-60°=60°，
因此△ABC的三个内角均为60°，故△ABC为等边三角形。
(2) 在线段CP上截取PD=BP，连接BD。
因为∠BPC=60°，PD=BP，所以△BPD是等边三角形，得BD=BP，∠PBD=60°。
由(1)知△ABC是等边三角形，故AB=BC，∠ABC=60°，
所以∠ABP + ∠PBC = ∠CBD + ∠PBC = 60°，即∠ABP=∠CBD。
在△ABP和△CBD中：
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABP=∠CBD \\ BP=BD \end{array} $
所以△ABP≌△CBD（SAS），得AP=CD。
又因为CP=PD + CD，且PD=BP，CD=AP，
因此CP=BP + AP。
【答案】
(1) △ABC为等边三角形；(2) CP=BP+AP。
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的综合题，重点考查圆周角定理的应用、等边三角形的判定及全等三角形的构造，需要学生掌握辅助线的添加方法，逻辑推理要求适中，是常见的几何综合题型。
【难度系数】
0.5