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8. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$、$D$是$\odot O$上两点,连接$OC$、$BD$、$CD$,若$OC// BD$,$∠ ABD=70°$,求$∠ BDC$的度数.
答案
8. $∠ BDC=\frac{1}{2}×70°=35°$.
解析
【分析】首先根据OC与BD平行，利用平行线的同位角相等，得到圆心角∠BOC的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
∵ OC//BD，AB为截线，
∴ ∠BOC = ∠ABD = 70°（两直线平行，同位角相等）。又
∵ ∠BDC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】35°
【知识点】平行线的性质，圆周角定理
【点评】本题结合平行线性质与圆周角定理求解，属于基础几何题，关键是准确找到角的对应关系，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ OC//BD，AB为截线，
∴ ∠BOC = ∠ABD = 70°（两直线平行，同位角相等）。又
∵ ∠BDC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】35°
【知识点】平行线的性质，圆周角定理
【点评】本题结合平行线性质与圆周角定理求解，属于基础几何题，关键是准确找到角的对应关系，难度适中。
【难度系数】0.6
9. 如图,$AB=BC$,$∠ BAO=75°$,则$∠ D$的度数为 (
A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.无法确定
B
)A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.无法确定
答案
9. B
解析
【分析】首先，OA和OB都是圆O的半径，根据圆的半径相等可知OA=OB，△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出∠AOB的度数；再由AB=BC，结合等弦对等圆心角的性质，得到∠BOC=∠AOB，进而求出弧AC对应的圆心角∠AOC；最后根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）计算∠D的度数。
【解析】
1. 因为OA=OB（圆的半径相等），所以△OAB为等腰三角形，已知∠BAO=75°，则∠OBA=∠BAO=75°。
2. 根据三角形内角和为180°，可得∠AOB=180°−∠BAO−∠OBA=180°−75°−75°=30°。
3. 由于AB=BC，根据“等弦对等圆心角”，可知∠BOC=∠AOB=30°，因此∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+30°=60°。
4. ∠D是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠D=1/2∠AOC=1/2×60°=30°。
【答案】30°
【知识点】圆的半径性质、等腰三角形性质、圆周角定理
【点评】本题综合运用圆的基本性质与圆周角定理，核心是通过等腰三角形和等弦的关系求出圆心角，再结合圆周角定理计算目标角，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为OA=OB（圆的半径相等），所以△OAB为等腰三角形，已知∠BAO=75°，则∠OBA=∠BAO=75°。
2. 根据三角形内角和为180°，可得∠AOB=180°−∠BAO−∠OBA=180°−75°−75°=30°。
3. 由于AB=BC，根据“等弦对等圆心角”，可知∠BOC=∠AOB=30°，因此∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+30°=60°。
4. ∠D是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠D=1/2∠AOC=1/2×60°=30°。
【答案】30°
【知识点】圆的半径性质、等腰三角形性质、圆周角定理
【点评】本题综合运用圆的基本性质与圆周角定理，核心是通过等腰三角形和等弦的关系求出圆心角，再结合圆周角定理计算目标角，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5
10. 如图,$OD$是$\odot O$的半径,弦$AB⊥ OD$于点$E$.若$∠ O=70°$,则$∠ A+∠ C$的度数是 (
A.$20°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
D
)A.$20°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
答案
10. D
解析
【分析】
要解决本题，需结合垂径定理、圆周角定理和直角三角形的性质逐步推导：首先利用垂径定理得到OD垂直平分AB对应的弧，再通过直角三角形两锐角互余求出∠OAB的度数，最后根据圆周角定理求出∠C的度数，两者相加即可得到结果。
【解析】
1. 由垂径定理：
∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，
∴∠OEA=90°，且弧AD=弧BD。
2. 在Rt△OAE中，∠AOE=70°，根据直角三角形两锐角互余，得∠OAB=90°−70°=20°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠C是弧BD所对的圆周角，弧BD对应的圆心角为∠AOD=70°，因此∠C=½×70°=35°。
4. 所以∠A+∠C=20°+35°=55°。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的相关定理与直角三角形性质，核心是利用垂径定理和圆周角定理转化角度，属于基础几何计算题，需熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合垂径定理、圆周角定理和直角三角形的性质逐步推导：首先利用垂径定理得到OD垂直平分AB对应的弧，再通过直角三角形两锐角互余求出∠OAB的度数，最后根据圆周角定理求出∠C的度数，两者相加即可得到结果。
【解析】
1. 由垂径定理：
∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，
∴∠OEA=90°，且弧AD=弧BD。
2. 在Rt△OAE中，∠AOE=70°，根据直角三角形两锐角互余，得∠OAB=90°−70°=20°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠C是弧BD所对的圆周角，弧BD对应的圆心角为∠AOD=70°，因此∠C=½×70°=35°。
4. 所以∠A+∠C=20°+35°=55°。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的相关定理与直角三角形性质，核心是利用垂径定理和圆周角定理转化角度，属于基础几何计算题，需熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.5
11. 如图,$A$、$B$、$C$是$\odot O$上的三点,且四边形$ABCO$是平行四边形,$OF⊥ AB$交$\odot O$于点$F$,则$∠ BAF=$
15°
.答案
11. $15°$
解析
【分析】
要解决该问题，需结合平行四边形性质、圆的半径特征，先推导等边三角形，再利用垂径定理和圆周角定理计算角度。步骤如下：1. 由平行四边形对边相等，结合圆半径相等，得出OA=AB，判定△OAB为等边三角形，得到∠AOB的度数；2. 根据垂径定理，OF⊥AB时平分弧AB，算出弧BF对应的圆心角；3. 利用圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，求出∠BAF。
【解析】
1. 因为四边形ABCO是平行四边形，所以AB=OC，OA=BC。又OA、OC是⊙O的半径，故OA=OC，因此AB=OA=OB（OB为⊙O半径），即△OAB是等边三角形，所以∠AOB=60°。
2. 因为OF⊥AB，且OF过圆心O，根据垂径定理，OF平分弧AB，所以弧BF对应的圆心角∠BOF=½∠AOB=½×60°=30°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BAF是弧BF所对的圆周角，因此∠BAF=½∠BOF=½×30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
平行四边形性质、垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题综合考查平行四边形与圆的相关性质，需先通过平行四边形和半径的关系推导等边三角形，再结合垂径定理、圆周角定理求解，逻辑连贯性较强，是圆与四边形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需结合平行四边形性质、圆的半径特征，先推导等边三角形，再利用垂径定理和圆周角定理计算角度。步骤如下：1. 由平行四边形对边相等，结合圆半径相等，得出OA=AB，判定△OAB为等边三角形，得到∠AOB的度数；2. 根据垂径定理，OF⊥AB时平分弧AB，算出弧BF对应的圆心角；3. 利用圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，求出∠BAF。
【解析】
1. 因为四边形ABCO是平行四边形，所以AB=OC，OA=BC。又OA、OC是⊙O的半径，故OA=OC，因此AB=OA=OB（OB为⊙O半径），即△OAB是等边三角形，所以∠AOB=60°。
2. 因为OF⊥AB，且OF过圆心O，根据垂径定理，OF平分弧AB，所以弧BF对应的圆心角∠BOF=½∠AOB=½×60°=30°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BAF是弧BF所对的圆周角，因此∠BAF=½∠BOF=½×30°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
平行四边形性质、垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题综合考查平行四边形与圆的相关性质，需先通过平行四边形和半径的关系推导等边三角形，再结合垂径定理、圆周角定理求解，逻辑连贯性较强，是圆与四边形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.5
12. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$△ ADC$内接于$\odot O$,$∠ ADC=30°$,$CD$交$AB$于点$E$.
(1) 求$∠ BAC$的度数;
(2) 若$E$为$OB$的中点,$CE=7$,求直径$AB$的长.
(1) 求$∠ BAC$的度数;
(2) 若$E$为$OB$的中点,$CE=7$,求直径$AB$的长.
答案
12. (1) $∠ BAC=60°$ (2) $AB=4\sqrt{7}$
解析
【分析】
第(1)问：利用直径所对的圆周角为直角，结合同弧所对的圆周角相等，求出∠ABC的度数，再在直角三角形ABC中计算∠BAC；第(2)问：设圆的半径为r，利用等腰三角形性质和圆周角定理求出∠COE的度数，结合余弦定理，根据CE的长度建立方程求解半径，进而得到直径AB的长度。
【解析】
(1) 连接BC，因为AB为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ACB=90°。又因为∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠ABC=∠ADC=30°。在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC=90°，所以∠BAC=90°-30°=60°。
(2) 设⊙O的半径为r，则OA=OC=OB=r，因为E为OB中点，所以OE=$\frac{r}{2}$。由(1)知∠BAC=60°，且OA=OC，故△OAC是等边三角形，得∠AOC=60°，因此∠COE=180°-∠AOC=120°。在△OCE中，根据余弦定理：$CE^2=OC^2 + OE^2 - 2·OC·OE·cos∠COE$，代入CE=7、OC=r、OE=$\frac{r}{2}$、cos120°=-$\frac{1}{2}$，得：
$7^2 = r^2 + (\frac{r}{2})^2 - 2·r·\frac{r}{2}·(-\frac{1}{2})$
化简得：$49 = \frac{7r^2}{4}$，解得$r^2=28$，即$r=2\sqrt{7}$（半径为正），所以直径AB=2r=4$\sqrt{7}$。
【答案】
(1) ∠BAC=60°；(2) AB=4$\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，余弦定理
【点评】
本题综合考查圆周角定理、直角三角形性质及方程思想，解题关键是利用圆周角关系确定角度，结合余弦定理建立方程，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
第(1)问：利用直径所对的圆周角为直角，结合同弧所对的圆周角相等，求出∠ABC的度数，再在直角三角形ABC中计算∠BAC；第(2)问：设圆的半径为r，利用等腰三角形性质和圆周角定理求出∠COE的度数，结合余弦定理，根据CE的长度建立方程求解半径，进而得到直径AB的长度。
【解析】
(1) 连接BC，因为AB为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ACB=90°。又因为∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠ABC=∠ADC=30°。在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC=90°，所以∠BAC=90°-30°=60°。
(2) 设⊙O的半径为r，则OA=OC=OB=r，因为E为OB中点，所以OE=$\frac{r}{2}$。由(1)知∠BAC=60°，且OA=OC，故△OAC是等边三角形，得∠AOC=60°，因此∠COE=180°-∠AOC=120°。在△OCE中，根据余弦定理：$CE^2=OC^2 + OE^2 - 2·OC·OE·cos∠COE$，代入CE=7、OC=r、OE=$\frac{r}{2}$、cos120°=-$\frac{1}{2}$，得：
$7^2 = r^2 + (\frac{r}{2})^2 - 2·r·\frac{r}{2}·(-\frac{1}{2})$
化简得：$49 = \frac{7r^2}{4}$，解得$r^2=28$，即$r=2\sqrt{7}$（半径为正），所以直径AB=2r=4$\sqrt{7}$。
【答案】
(1) ∠BAC=60°；(2) AB=4$\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，余弦定理
【点评】
本题综合考查圆周角定理、直角三角形性质及方程思想，解题关键是利用圆周角关系确定角度，结合余弦定理建立方程，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
13. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$D$为$AB$上一点,$C$为$\odot O$上一点,且$AD=AC$,延长$CD$交$\odot O$于$E$,连接$CB$.
(1) 求证:$∠ A=2∠ BCD$;
(2) 若$∠ BCE=15°$,$AB=6$,求$CE$的长.
(1) 求证:$∠ A=2∠ BCD$;
(2) 若$∠ BCE=15°$,$AB=6$,求$CE$的长.
答案
13. (1) 证明略 (2) $CE=3\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决本题，第(1)问需利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及三角形外角定理推导∠A与∠BCD的关系；第(2)问结合圆周角定理和第(1)问结论求出相关角度，再用勾股定理计算CE长度。首先，AB是直径，故∠ACB=90°，结合AD=AC得等腰△ACD，利用外角关系建立角的等式；第(2)问中，∠BCE=15°，结合第(1)问结论得∠A=30°，进而确定弧CE对应的圆心角为90°，最后用勾股定理求CE。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角），
∴ ∠A + ∠ABC = 90°。
∵ AD=AC，
∴ △ACD为等腰三角形，故∠ACD=∠ADC。
又
∵ ∠ADC是△BCD的外角，
∴ ∠ADC = ∠ABC + ∠BCD，
因此∠ACD = ∠ABC + ∠BCD。
结合∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 90°，代入得：
∠ABC + ∠BCD + ∠BCD = 90° → ∠ABC + 2∠BCD = 90°。
对比∠A + ∠ABC = 90°，可得∠A = 2∠BCD。
(2) 解：
由(1)知∠A=2∠BCD，又C、D、E共线，故∠BCD=∠BCE=15°，因此∠A=2×15°=30°。
∵ AB是⊙O直径，AB=6，
∴ 半径OC=OE=3。
根据圆周角定理，∠A对应弧BC，故弧BC=2∠A=60°；∠BCE对应弧BE，故弧BE=2∠BCE=30°，
因此弧CE=弧BC + 弧BE=60°+30°=90°，即圆心角∠COE=90°。
在Rt△OCE中，OC=OE=3，由勾股定理：
CE=√(OC² + OE²)=√(3²+3²)=3√2。
【答案】
CE=3√2
【知识点】
圆周角定理、直径的性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需熟练运用圆周角定理、直径的直角性质及等腰三角形的角关系，步骤清晰，中等难度，适合学生巩固圆的相关知识。
【难度系数】
0.5
要解决本题，第(1)问需利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及三角形外角定理推导∠A与∠BCD的关系；第(2)问结合圆周角定理和第(1)问结论求出相关角度，再用勾股定理计算CE长度。首先，AB是直径，故∠ACB=90°，结合AD=AC得等腰△ACD，利用外角关系建立角的等式；第(2)问中，∠BCE=15°，结合第(1)问结论得∠A=30°，进而确定弧CE对应的圆心角为90°，最后用勾股定理求CE。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角），
∴ ∠A + ∠ABC = 90°。
∵ AD=AC，
∴ △ACD为等腰三角形，故∠ACD=∠ADC。
又
∵ ∠ADC是△BCD的外角，
∴ ∠ADC = ∠ABC + ∠BCD，
因此∠ACD = ∠ABC + ∠BCD。
结合∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 90°，代入得：
∠ABC + ∠BCD + ∠BCD = 90° → ∠ABC + 2∠BCD = 90°。
对比∠A + ∠ABC = 90°，可得∠A = 2∠BCD。
(2) 解：
由(1)知∠A=2∠BCD，又C、D、E共线，故∠BCD=∠BCE=15°，因此∠A=2×15°=30°。
∵ AB是⊙O直径，AB=6，
∴ 半径OC=OE=3。
根据圆周角定理，∠A对应弧BC，故弧BC=2∠A=60°；∠BCE对应弧BE，故弧BE=2∠BCE=30°，
因此弧CE=弧BC + 弧BE=60°+30°=90°，即圆心角∠COE=90°。
在Rt△OCE中，OC=OE=3，由勾股定理：
CE=√(OC² + OE²)=√(3²+3²)=3√2。
【答案】
CE=3√2
【知识点】
圆周角定理、直径的性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，需熟练运用圆周角定理、直径的直角性质及等腰三角形的角关系，步骤清晰，中等难度，适合学生巩固圆的相关知识。
【难度系数】
0.5
