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11. 小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是$\sqrt{80}$ cm，宽是$\sqrt{20}$ cm，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为
$2\sqrt{10}$
cm.答案
11.$2\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时首先抓住题目中“正方形面积与长方形面积相等”的核心等量关系，第一步先利用长方形面积公式（长×宽）计算出长方形的面积，第二步结合正方形面积公式（边长×边长），将算出的面积开平方即可得到正方形边长，计算过程中要遵循二次根式的运算规则，最终结果需化为最简二次根式。
【解析】
1. 计算长方形的面积：
长方形面积 = 长 × 宽 = $\sqrt{80} × \sqrt{20}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{80} × \sqrt{20} = \sqrt{80 × 20} = \sqrt{1600} = 40 \ \mathrm{cm}^2$
2. 求正方形的边长：
设正方形边长为$a \ \mathrm{cm}(a＞0)$，由正方形面积等于长方形面积可得：
$a^2 = 40$
因为边长为正数，所以$a = \sqrt{40}$，化简得$\sqrt{40} = \sqrt{4 × 10} = 2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式的运算，图形面积计算，最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式的基础应用类题目，解题关键是找准面积相等的等量关系，计算时注意二次根式的运算规范，最终结果要化简为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题目中“正方形面积与长方形面积相等”的核心等量关系，第一步先利用长方形面积公式（长×宽）计算出长方形的面积，第二步结合正方形面积公式（边长×边长），将算出的面积开平方即可得到正方形边长，计算过程中要遵循二次根式的运算规则，最终结果需化为最简二次根式。
【解析】
1. 计算长方形的面积：
长方形面积 = 长 × 宽 = $\sqrt{80} × \sqrt{20}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{80} × \sqrt{20} = \sqrt{80 × 20} = \sqrt{1600} = 40 \ \mathrm{cm}^2$
2. 求正方形的边长：
设正方形边长为$a \ \mathrm{cm}(a＞0)$，由正方形面积等于长方形面积可得：
$a^2 = 40$
因为边长为正数，所以$a = \sqrt{40}$，化简得$\sqrt{40} = \sqrt{4 × 10} = 2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式的运算，图形面积计算，最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式的基础应用类题目，解题关键是找准面积相等的等量关系，计算时注意二次根式的运算规范，最终结果要化简为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
12.如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图(单位:岁),则这组数据的上四分位数是
14
岁.答案
12.14
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆箱线图的构成：箱线图是由最小值、下四分位数（第一四分位数）、中位数、上四分位数（第三四分位数）、最大值这5个特征值绘制而成的。对应图中纵轴（年龄轴）的位置从下到上分别是：最下方的短横线代表最小值，矩形箱体的下边缘代表下四分位数，箱体中间的横线代表中位数，矩形箱体的上边缘代表上四分位数，最上方的短横线代表最大值。接下来只需要找到箱体上边缘对应的年龄数值即可得到上四分位数。
【解析】
根据箱线图的结构特征：
1. 最下端短横线对应最小值10岁；
2. 箱体下边缘对应下四分位数11岁；
3. 箱体中间横线对应中位数13岁；
4. 箱体上边缘对应上四分位数14岁；
5. 最上端短横线对应最大值15岁。
因此这组数据的上四分位数是14岁。
【答案】
14
【知识点】
1. 箱线图的认识
2. 四分位数的概念
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的基础识别，解题的关键是熟记箱线图各部分对应的统计量，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆箱线图的构成：箱线图是由最小值、下四分位数（第一四分位数）、中位数、上四分位数（第三四分位数）、最大值这5个特征值绘制而成的。对应图中纵轴（年龄轴）的位置从下到上分别是：最下方的短横线代表最小值，矩形箱体的下边缘代表下四分位数，箱体中间的横线代表中位数，矩形箱体的上边缘代表上四分位数，最上方的短横线代表最大值。接下来只需要找到箱体上边缘对应的年龄数值即可得到上四分位数。
【解析】
根据箱线图的结构特征：
1. 最下端短横线对应最小值10岁；
2. 箱体下边缘对应下四分位数11岁；
3. 箱体中间横线对应中位数13岁；
4. 箱体上边缘对应上四分位数14岁；
5. 最上端短横线对应最大值15岁。
因此这组数据的上四分位数是14岁。
【答案】
14
【知识点】
1. 箱线图的认识
2. 四分位数的概念
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的基础识别，解题的关键是熟记箱线图各部分对应的统计量，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
13.如图，在$□ ABCD$中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，点G在边AB上，且$AG=3BG$，连接CG。若$△ CEF$的面积为2，则四边形AGCE的面积为
5
。答案
13.5
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用平行四边形对边平行、对边相等的性质，结合E是CD中点，证明△ADE和△FCE全等，得到两者面积相等，且CF=BC；第二步，由CE//AB可证△FCE和△FBA相似，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△CEF的面积求出△FBA的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积；第三步，根据AG=3BG得到BG与AB的比例，求出△BCG的面积；第四步，用平行四边形总面积减去△ADE和△BCG的面积，即可得到四边形AGCE的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC，AD=BC，AB=CD
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F
∵E是CD的中点，
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ ECF\\ ∠ DAE=∠ F\\ DE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CEF}=2$，且$AD=CF$
∴$BC=CF$，即$BF=2BC$
∵$CE// AB$，
∴△FCE∽△FBA，相似比$\frac{CE}{AB}=\frac{CE}{CD}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{S_{△ FCE}}{S_{△ FBA}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
∵$S_{△ CEF}=2$，
∴$S_{△ FBA}=4×2=8$
∴平行四边形ABCD的面积$S_{□ ABCD}=S_{△ FBA}-S_{△ CEF}+S_{△ ADE}=8-2+2=8$
∵$AG=3BG$，
∴$BG=\frac{1}{4}AB$
设AB边上的高为$H$，则$S_{□ ABCD}=AB· H=8$
$S_{△ BCG}=\frac{1}{2}· BG· H=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}AB· H=\frac{1}{8}×8=1$
∴$S_{四边形AGCE}=S_{□ ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BCG}=8-2-1=5$
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形中面积计算的相关方法，需要熟练掌握平行四边形、全等三角形、相似三角形的性质，解题核心是通过全等和相似关系推导出平行四边形的总面积，再结合线段比例完成面积的转化计算，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，利用平行四边形对边平行、对边相等的性质，结合E是CD中点，证明△ADE和△FCE全等，得到两者面积相等，且CF=BC；第二步，由CE//AB可证△FCE和△FBA相似，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△CEF的面积求出△FBA的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积；第三步，根据AG=3BG得到BG与AB的比例，求出△BCG的面积；第四步，用平行四边形总面积减去△ADE和△BCG的面积，即可得到四边形AGCE的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC，AD=BC，AB=CD
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F
∵E是CD的中点，
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ ECF\\ ∠ DAE=∠ F\\ DE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CEF}=2$，且$AD=CF$
∴$BC=CF$，即$BF=2BC$
∵$CE// AB$，
∴△FCE∽△FBA，相似比$\frac{CE}{AB}=\frac{CE}{CD}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{S_{△ FCE}}{S_{△ FBA}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
∵$S_{△ CEF}=2$，
∴$S_{△ FBA}=4×2=8$
∴平行四边形ABCD的面积$S_{□ ABCD}=S_{△ FBA}-S_{△ CEF}+S_{△ ADE}=8-2+2=8$
∵$AG=3BG$，
∴$BG=\frac{1}{4}AB$
设AB边上的高为$H$，则$S_{□ ABCD}=AB· H=8$
$S_{△ BCG}=\frac{1}{2}· BG· H=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}AB· H=\frac{1}{8}×8=1$
∴$S_{四边形AGCE}=S_{□ ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BCG}=8-2-1=5$
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形中面积计算的相关方法，需要熟练掌握平行四边形、全等三角形、相似三角形的性质，解题核心是通过全等和相似关系推导出平行四边形的总面积，再结合线段比例完成面积的转化计算，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
14.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，点$D$为边$AC$上一动点，$DE⊥ AB$交$AB$于点$E$，将$∠ A$沿直线$DE$折叠，点$A$的对应点为$F$。当$△ DFC$是直角三角形时，$AD$的长为
$\frac{7}{8}$或$\frac{25}{8}$
。答案
14.$\frac{7}{8}$或$\frac{25}{8}$
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度，明确折叠的核心性质：AD=DF，DE垂直平分AF。当△DFC为直角三角形时，需对直角顶点分类讨论，排除不符合题意的∠CDF=90°的情况后，分别针对∠FCD=90°、∠CFD=90°两种情况，结合边长等量关系列方程求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
设$AD=x$，根据折叠性质可得：$DF=AD=x$，$DE$垂直平分$AF$，故$AE=EF$，$AF=2AE$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AE=AD·\cos A=\frac{4}{5}x$，因此$AF=2AE=\frac{8}{5}x$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠ FCD=90°$时，$CF$与$CB$重合，点$F$与点$B$重合，因此$AF=AB=5$，即$\frac{8}{5}x=5$，解得$x=\frac{25}{8}$，符合题意。
2. 当$∠ CFD=90°$时，可推得$\cos∠ CDF=\frac{7}{25}$，$CD=4-x$，在$\mathrm{Rt}△CFD$中$\cos∠ CDF=\frac{DF}{CD}$，即$\frac{x}{4-x}=\frac{7}{25}$，解得$x=\frac{7}{8}$，符合题意。
（$∠ CDF=90°$时$D$与$A$重合，不符合动点要求，舍去）
【答案】
$\frac{7}{8}$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，分类讨论思想
【点评】
本题为折叠与直角三角形结合的综合题，解题关键是对直角三角形的直角顶点分类讨论，结合折叠的对称性建立边长的等量关系列方程求解，解题时需注意排除不符合题意的情况，避免漏解、多解。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度，明确折叠的核心性质：AD=DF，DE垂直平分AF。当△DFC为直角三角形时，需对直角顶点分类讨论，排除不符合题意的∠CDF=90°的情况后，分别针对∠FCD=90°、∠CFD=90°两种情况，结合边长等量关系列方程求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
设$AD=x$，根据折叠性质可得：$DF=AD=x$，$DE$垂直平分$AF$，故$AE=EF$，$AF=2AE$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AE=AD·\cos A=\frac{4}{5}x$，因此$AF=2AE=\frac{8}{5}x$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠ FCD=90°$时，$CF$与$CB$重合，点$F$与点$B$重合，因此$AF=AB=5$，即$\frac{8}{5}x=5$，解得$x=\frac{25}{8}$，符合题意。
2. 当$∠ CFD=90°$时，可推得$\cos∠ CDF=\frac{7}{25}$，$CD=4-x$，在$\mathrm{Rt}△CFD$中$\cos∠ CDF=\frac{DF}{CD}$，即$\frac{x}{4-x}=\frac{7}{25}$，解得$x=\frac{7}{8}$，符合题意。
（$∠ CDF=90°$时$D$与$A$重合，不符合动点要求，舍去）
【答案】
$\frac{7}{8}$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，分类讨论思想
【点评】
本题为折叠与直角三角形结合的综合题，解题关键是对直角三角形的直角顶点分类讨论，结合折叠的对称性建立边长的等量关系列方程求解，解题时需注意排除不符合题意的情况，避免漏解、多解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共58分)
15.(8分)计算：
(1)$\sqrt{6} × \sqrt{2} - \sqrt{27} + \sqrt{18} ÷ \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{18} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3} - 1)^2$.
15.(8分)计算：
(1)$\sqrt{6} × \sqrt{2} - \sqrt{27} + \sqrt{18} ÷ \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{18} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3} - 1)^2$.
答案
15.解:(1)$\sqrt{6} × \sqrt{2} - \sqrt{27} + \sqrt{18} ÷ \sqrt{6}$
$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=0.$
(2)$\sqrt{18} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3} - 1)^2 =$
$\sqrt{18×\frac{2}{3}}+3-2\sqrt{3}+1=2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}+1=4.$
$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=0.$
(2)$\sqrt{18} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3} - 1)^2 =$
$\sqrt{18×\frac{2}{3}}+3-2\sqrt{3}+1=2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}+1=4.$
解析
【分析】
这两道题都属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：①先利用二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算乘除部分，同时将各二次根式化简为最简二次根式；②涉及完全平方的部分用公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开；③最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算乘除，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{6} × \sqrt{2} - \sqrt{27} + \sqrt{18} ÷ \sqrt{6}&=\sqrt{6×2} - 3\sqrt{3} + \sqrt{18÷6} \\&=\sqrt{12} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \\&=2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \\&=0\end{aligned}$
(2) 先计算二次根式乘法、展开完全平方，再合并同类项：
$\begin{aligned}\sqrt{18} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3} - 1)^2&=\sqrt{18×\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 \\&=\sqrt{12} + 3 - 2\sqrt{3} + 1 \\&=2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3} + 1 \\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
二次根式混合运算，最简二次根式，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心是熟练掌握二次根式的运算法则、化简方法以及乘法公式的应用，计算时注意运算顺序，化简要准确，避免出现同类二次根式合并错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：①先利用二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算乘除部分，同时将各二次根式化简为最简二次根式；②涉及完全平方的部分用公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开；③最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算乘除，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{6} × \sqrt{2} - \sqrt{27} + \sqrt{18} ÷ \sqrt{6}&=\sqrt{6×2} - 3\sqrt{3} + \sqrt{18÷6} \\&=\sqrt{12} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \\&=2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \\&=0\end{aligned}$
(2) 先计算二次根式乘法、展开完全平方，再合并同类项：
$\begin{aligned}\sqrt{18} × \sqrt{\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3} - 1)^2&=\sqrt{18×\dfrac{2}{3}} + (\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 \\&=\sqrt{12} + 3 - 2\sqrt{3} + 1 \\&=2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3} + 1 \\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
二次根式混合运算，最简二次根式，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心是熟练掌握二次根式的运算法则、化简方法以及乘法公式的应用，计算时注意运算顺序，化简要准确，避免出现同类二次根式合并错误。
【难度系数】
0.8
