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16.(8分)小张开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍.如图，图象分别表示两人与A地的距离s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系.
(1)求小李提速后与A地的距离s(km)和行驶时间t(min)之间的函数解析式.
(2)何时小张与B地的距离大于小李与B地的距离？
(1)求小李提速后与A地的距离s(km)和行驶时间t(min)之间的函数解析式.
(2)何时小张与B地的距离大于小李与B地的距离？
答案
16.解:(1)根据题图可得,小李提速前的平均车速为$(40-30)÷20=0.5(\mathrm{km/min})$，
∴小李提速后平均速度为1 km/min.
由题意得A,B之间距离为40 km，
∴提速后行驶时间为$30÷1=30\ \mathrm{min}$，
∴小李到达A地时间为$20+30=50\ \mathrm{min}.$
设小李提速后的函数解析式为$s=kt+b(k≠0),$
把点$(20,30)$,点$(50,0)$代入,得
$\begin{cases}20k+b=30,\\50k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=50,\end{cases}$
∴小李提速后的函数解析式为$s=-t+50(20≤ t≤50).$
(2)设小张匀速行驶的函数解析式为$s=mt(0≤ t≤60)$,把点$(60,40)$代入,得$60m=40,\therefore m=\frac{2}{3}.$
∴小张匀速行驶的函数解析式为$s=\frac{2}{3}t(0≤ t≤60).$
解方程组$\begin{cases}s=-t+50,\\s=\frac{2}{3}t,\end{cases}$得$\begin{cases}s=20,\\t=30,\end{cases}$
∴当$0≤ t＜30$时,小张与B地的距离大于小李与B地的距离.
∴小李提速后平均速度为1 km/min.
由题意得A,B之间距离为40 km，
∴提速后行驶时间为$30÷1=30\ \mathrm{min}$，
∴小李到达A地时间为$20+30=50\ \mathrm{min}.$
设小李提速后的函数解析式为$s=kt+b(k≠0),$
把点$(20,30)$,点$(50,0)$代入,得
$\begin{cases}20k+b=30,\\50k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=50,\end{cases}$
∴小李提速后的函数解析式为$s=-t+50(20≤ t≤50).$
(2)设小张匀速行驶的函数解析式为$s=mt(0≤ t≤60)$,把点$(60,40)$代入,得$60m=40,\therefore m=\frac{2}{3}.$
∴小张匀速行驶的函数解析式为$s=\frac{2}{3}t(0≤ t≤60).$
解方程组$\begin{cases}s=-t+50,\\s=\frac{2}{3}t,\end{cases}$得$\begin{cases}s=20,\\t=30,\end{cases}$
∴当$0≤ t＜30$时,小张与B地的距离大于小李与B地的距离.
解析
【分析】
(1) 求小李提速后的函数解析式，首先从图象提取信息：小李前20min从距A地40km行驶到距A地30km，先计算提速前的车速，进而得到提速后的车速，再算出提速后小李到达A地的总时间，得到提速后函数图象经过的两个点，最后用待定系数法求解即可。
(2) 先求出小张的s与t的函数解析式，将“小张与B地的距离大于小李与B地的距离”转化为函数值的大小关系，联立两个函数解析式求出交点，结合图象即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可得，小李前20min行驶的路程为$40-30=10\ \mathrm{km}$，
则小李提速前的平均车速为$10÷20=0.5\ \mathrm{km/min}$，
$\therefore$ 小李提速后的平均车速为$0.5×2=1\ \mathrm{km/min}$。
A、B两地总距离为40km，小李提速时距A地还有30km，
$\therefore$ 提速后小李到达A地所需时间为$30÷1=30\ \mathrm{min}$，
小李到达A地的总时间为$20+30=50\ \mathrm{min}$，即提速后函数图象过点$(50,0)$。
设小李提速后的函数解析式为$s=kt+b(k≠0)$，将$(20,30)$和$(50,0)$代入得：
$\begin{cases}20k+b=30\\50k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=50\end{cases}$
$\therefore$ 小李提速后s与t的函数解析式为$s=-t+50(20≤ t≤50)$。
(2) 设小张的s与t的函数解析式为$s=mt(m≠0)$，由图象可知小张60min行驶40km，将$(60,40)$代入得：
$60m=40$，解得$m=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 小张的函数解析式为$s=\frac{2}{3}t(0≤ t≤60)$。
小张与B地的距离为$40-\frac{2}{3}t$，小李与B地的距离为$40-s_{\mathrm{李}}$，根据题意列不等式：
$40-\frac{2}{3}t＞40-s_{\mathrm{李}}$，化简得$s_{\mathrm{李}}＞\frac{2}{3}t$。
联立两个函数解析式：$\begin{cases}s=-t+50\\s=\frac{2}{3}t\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=30\\s=20\end{cases}$，即两人在行驶30min时相遇。
结合图象可得，当$0≤ t＜30$时，$s_{\mathrm{李}}＞s_{\mathrm{张}}$，满足小张与B地的距离大于小李与B地的距离。
【答案】
(1) $\boldsymbol{s=-t+50(20≤ t≤50)}$
(2) 当行驶时间$\boldsymbol{0≤ t＜30\ \mathrm{min}}$时，小张与B地的距离大于小李与B地的距离。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数与不等式
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是从图象中提取路程、时间等有效信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，同时能将实际的距离大小关系转化为函数值的大小关系，结合图象求解不等式，注重对读图分析能力和转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求小李提速后的函数解析式，首先从图象提取信息：小李前20min从距A地40km行驶到距A地30km，先计算提速前的车速，进而得到提速后的车速，再算出提速后小李到达A地的总时间，得到提速后函数图象经过的两个点，最后用待定系数法求解即可。
(2) 先求出小张的s与t的函数解析式，将“小张与B地的距离大于小李与B地的距离”转化为函数值的大小关系，联立两个函数解析式求出交点，结合图象即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可得，小李前20min行驶的路程为$40-30=10\ \mathrm{km}$，
则小李提速前的平均车速为$10÷20=0.5\ \mathrm{km/min}$，
$\therefore$ 小李提速后的平均车速为$0.5×2=1\ \mathrm{km/min}$。
A、B两地总距离为40km，小李提速时距A地还有30km，
$\therefore$ 提速后小李到达A地所需时间为$30÷1=30\ \mathrm{min}$，
小李到达A地的总时间为$20+30=50\ \mathrm{min}$，即提速后函数图象过点$(50,0)$。
设小李提速后的函数解析式为$s=kt+b(k≠0)$，将$(20,30)$和$(50,0)$代入得：
$\begin{cases}20k+b=30\\50k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=50\end{cases}$
$\therefore$ 小李提速后s与t的函数解析式为$s=-t+50(20≤ t≤50)$。
(2) 设小张的s与t的函数解析式为$s=mt(m≠0)$，由图象可知小张60min行驶40km，将$(60,40)$代入得：
$60m=40$，解得$m=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 小张的函数解析式为$s=\frac{2}{3}t(0≤ t≤60)$。
小张与B地的距离为$40-\frac{2}{3}t$，小李与B地的距离为$40-s_{\mathrm{李}}$，根据题意列不等式：
$40-\frac{2}{3}t＞40-s_{\mathrm{李}}$，化简得$s_{\mathrm{李}}＞\frac{2}{3}t$。
联立两个函数解析式：$\begin{cases}s=-t+50\\s=\frac{2}{3}t\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=30\\s=20\end{cases}$，即两人在行驶30min时相遇。
结合图象可得，当$0≤ t＜30$时，$s_{\mathrm{李}}＞s_{\mathrm{张}}$，满足小张与B地的距离大于小李与B地的距离。
【答案】
(1) $\boldsymbol{s=-t+50(20≤ t≤50)}$
(2) 当行驶时间$\boldsymbol{0≤ t＜30\ \mathrm{min}}$时，小张与B地的距离大于小李与B地的距离。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数与不等式
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是从图象中提取路程、时间等有效信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，同时能将实际的距离大小关系转化为函数值的大小关系，结合图象求解不等式，注重对读图分析能力和转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
17.(8分)如图,某公园在笔直的公路上有A,B两个出口,相距500 m,在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处,已知C地与A出口的距离为300 m,与B出口的距离为400 m.为了安全起见,在烟花燃放过程中,燃放点C地周围半径250 m范围内不得进入.
(1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离.
(2)按照安全要求,烟花燃放过程中,A,B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁,请说明理由,并求出需要封锁的公路长.
(1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离.
(2)按照安全要求,烟花燃放过程中,A,B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁,请说明理由,并求出需要封锁的公路长.
答案
17.解:(1)由题意得$AB=500\ \mathrm{m},AC=300\ \mathrm{m},BC=400\ \mathrm{m},$
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2.$
$\therefore△ ABC$是直角三角形,$∠ ACB=90°.$
如图,过点C作$CD⊥ AB$于点D，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD,$
即$\frac{1}{2}×300×400=\frac{1}{2}×500×CD.$
$\therefore CD=240(\mathrm{m}),$
答:烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240 m.
(2)按照安全要求,A,B两地之间的公路需要暂时封锁,理由如下:
如图,由(1)可知,$CD=240\ \mathrm{m}$,小于安全距离250 m.
∴公路上存在两点E,F到C地的距离为250 m,公路上EF之间到燃放点C地的距离均小于250 m.
∴按照安全要求,A,B两地之间的公路EF段需要暂时封锁,连接CE,CF,
$\because CE=CF=250\ \mathrm{m},CD⊥ AB,$
$\therefore EF=2DE.$
$\because\mathrm{Rt}△ CDE$中,
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70(\mathrm{m}),$
$\therefore EF=2DE=140(\mathrm{m}),$即需要封锁的公路长为140 m.
解析
【分析】
(1) 首先根据已知的△ABC三边长度，通过勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。要求C到公路AB的垂直距离，即斜边AB上的高，可利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半），通过等积法列等式求解即可。
(2) 先将第一问求出的垂直距离和危险半径250m比较，若垂直距离小于半径，说明公路上存在属于危险范围的路段，需要封锁。接下来找到公路上到C距离为250m的两个点E、F，根据等腰三角形三线合一可知EF=2DE，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出DE的长度，即可得到需要封锁的路段长度。
【解析】
(1) 由题意得$AB=500\ \mathrm{m},AC=300\ \mathrm{m},BC=400\ \mathrm{m},$
$\therefore AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000=500^2=AB^2$，
$\therefore△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值得$\frac{1}{2}×300×400=\frac{1}{2}×500×CD$，
解得$CD=240\ \mathrm{m}$。
(2) A、B两地之间的公路需要暂时封锁，理由及求解如下：
由(1)可知$CD=240\ \mathrm{m}＜250\ \mathrm{m}$，说明公路AB上存在到C地距离小于250m的危险区域。
在AB上取点E、F，使得$CE=CF=250\ \mathrm{m}$，则EF段为需要封锁的路段。
$\because CE=CF,CD⊥ AB$，
$\therefore D$为EF中点，即$EF=2DE$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=2DE=2×70=140\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240 m；
(2) A、B两地之间的公路需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140 m。
【知识点】
勾股定理及逆定理；等积法求高；等腰三角形性质
【点评】
本题结合实际安全场景命题，考查了直角三角形的判定、勾股定理的应用等知识，解题时需要将实际问题转化为几何模型，灵活运用三角形面积公式和勾股定理计算相关线段长度，有效锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据已知的△ABC三边长度，通过勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。要求C到公路AB的垂直距离，即斜边AB上的高，可利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半），通过等积法列等式求解即可。
(2) 先将第一问求出的垂直距离和危险半径250m比较，若垂直距离小于半径，说明公路上存在属于危险范围的路段，需要封锁。接下来找到公路上到C距离为250m的两个点E、F，根据等腰三角形三线合一可知EF=2DE，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出DE的长度，即可得到需要封锁的路段长度。
【解析】
(1) 由题意得$AB=500\ \mathrm{m},AC=300\ \mathrm{m},BC=400\ \mathrm{m},$
$\therefore AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000=500^2=AB^2$，
$\therefore△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值得$\frac{1}{2}×300×400=\frac{1}{2}×500×CD$，
解得$CD=240\ \mathrm{m}$。
(2) A、B两地之间的公路需要暂时封锁，理由及求解如下：
由(1)可知$CD=240\ \mathrm{m}＜250\ \mathrm{m}$，说明公路AB上存在到C地距离小于250m的危险区域。
在AB上取点E、F，使得$CE=CF=250\ \mathrm{m}$，则EF段为需要封锁的路段。
$\because CE=CF,CD⊥ AB$，
$\therefore D$为EF中点，即$EF=2DE$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=2DE=2×70=140\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240 m；
(2) A、B两地之间的公路需要暂时封锁，需要封锁的公路长为140 m。
【知识点】
勾股定理及逆定理；等积法求高；等腰三角形性质
【点评】
本题结合实际安全场景命题，考查了直角三角形的判定、勾股定理的应用等知识，解题时需要将实际问题转化为几何模型，灵活运用三角形面积公式和勾股定理计算相关线段长度，有效锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
