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三、解答题
11. (1)解方程组$\begin{cases}3x - 5z = 6,①\\x + 4z = -15.②\end{cases}$
(2)已知方程组$\begin{cases}ax + y = 15,①\\4x - by = -2.②\end{cases}$由于乙修改了方程①中的$a$，甲得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3,\\y = -1;\end{cases}$由于甲修改了方程②中的$b$，乙得到方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3.\end{cases}$若按正确的计算，求$x + 6y$的值。
11. (1)解方程组$\begin{cases}3x - 5z = 6,①\\x + 4z = -15.②\end{cases}$
(2)已知方程组$\begin{cases}ax + y = 15,①\\4x - by = -2.②\end{cases}$由于乙修改了方程①中的$a$，甲得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3,\\y = -1;\end{cases}$由于甲修改了方程②中的$b$，乙得到方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 3.\end{cases}$若按正确的计算，求$x + 6y$的值。
答案
11.(1)由②,得x=-15-4z. ③
把③代入①,得3(-15-4z)-5z=6.
解得z=-3.
把z=-3代入③,得x=-3.
∴ 原方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ z=-3. \end{cases}$
(2)方法一. 将x=-3,y=-1代入②,
得-12+b=-2. 所以b=10.
将x=4,y=3代入①,得4a+3=15.
所以a=3.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
③×10+④,得34x=148. 所以x=$\dfrac{74}{17}$.
将x=$\dfrac{74}{17}$代入③,得3×$\dfrac{74}{17}$+y=15.
所以y=$\dfrac{33}{17}$. 则x+6y=$\dfrac{74}{17}$+$\dfrac{198}{17}$=16.
方法二. 将x=-3,y=-1代入②,
得-12+b=-2. 所以b=10.
将x=4,y=3代入①,得4a+3=15.
所以a=3.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
由④,得2x-5y=-1. ⑤
由③-⑤,得x+6y=16.
把③代入①,得3(-15-4z)-5z=6.
解得z=-3.
把z=-3代入③,得x=-3.
∴ 原方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ z=-3. \end{cases}$
(2)方法一. 将x=-3,y=-1代入②,
得-12+b=-2. 所以b=10.
将x=4,y=3代入①,得4a+3=15.
所以a=3.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
③×10+④,得34x=148. 所以x=$\dfrac{74}{17}$.
将x=$\dfrac{74}{17}$代入③,得3×$\dfrac{74}{17}$+y=15.
所以y=$\dfrac{33}{17}$. 则x+6y=$\dfrac{74}{17}$+$\dfrac{198}{17}$=16.
方法二. 将x=-3,y=-1代入②,
得-12+b=-2. 所以b=10.
将x=4,y=3代入①,得4a+3=15.
所以a=3.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
由④,得2x-5y=-1. ⑤
由③-⑤,得x+6y=16.
解析
【分析】
(1) 本题是关于x、z的二元一次方程组，观察方程可知②中x的系数为1，适合用代入消元法求解：先将方程②变形为用含z的代数式表示x的形式，再代入方程①消去x，求出z的值，最后回代求出x即可得到方程组的解。
(2) 本题需要先求出正确的a、b值：甲仅修改了方程①的a，因此他得到的解满足未被修改的正确方程②，代入即可求出b；乙仅修改了方程②的b，因此他得到的解满足未被修改的正确方程①，代入即可求出a。得到正确的方程组后，既可以通过消元法解出x、y的值再计算x+6y，也可以通过方程组的整体变形直接得到x+6y的值，简化计算。
【解析】
(1) 由②,得$x=-15-4z$. ③
把③代入①,得$3(-15-4z)-5z=6$.
解得$z=-3$.
把$z=-3$代入③,得$x=-3$.
∴ 原方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ z=-3. \end{cases}$
(2) 方法一：将$x=-3,y=-1$代入②,
得$-12+b=-2$，所以$b=10$.
将$x=4,y=3$代入①,得$4a+3=15$，所以$a=3$.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
③×10+④,得$34x=148$，所以$x=\dfrac{74}{17}$.
将$x=\dfrac{74}{17}$代入③,得$3×\dfrac{74}{17}+y=15$，所以$y=\dfrac{33}{17}$.
则$x+6y=\dfrac{74}{17}+\dfrac{198}{17}=16$.
方法二：将$x=-3,y=-1$代入②,
得$-12+b=-2$，所以$b=10$.
将$x=4,y=3$代入①,得$4a+3=15$，所以$a=3$.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
由④,得$2x-5y=-1$. ⑤
由③-⑤,得$x+6y=16$.
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-3, \\ z=-3. \end{cases}$
(2) $16$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解的意义，加减消元法
【点评】
本题重点考查二元一次方程组的解法及解的定义，第二问的关键是准确判断甲乙得到的解分别对应哪个未被修改的正确方程，解题时可选择整体变形的方法，避免复杂计算，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是关于x、z的二元一次方程组，观察方程可知②中x的系数为1，适合用代入消元法求解：先将方程②变形为用含z的代数式表示x的形式，再代入方程①消去x，求出z的值，最后回代求出x即可得到方程组的解。
(2) 本题需要先求出正确的a、b值：甲仅修改了方程①的a，因此他得到的解满足未被修改的正确方程②，代入即可求出b；乙仅修改了方程②的b，因此他得到的解满足未被修改的正确方程①，代入即可求出a。得到正确的方程组后，既可以通过消元法解出x、y的值再计算x+6y，也可以通过方程组的整体变形直接得到x+6y的值，简化计算。
【解析】
(1) 由②,得$x=-15-4z$. ③
把③代入①,得$3(-15-4z)-5z=6$.
解得$z=-3$.
把$z=-3$代入③,得$x=-3$.
∴ 原方程组的解为$\begin{cases} x=-3, \\ z=-3. \end{cases}$
(2) 方法一：将$x=-3,y=-1$代入②,
得$-12+b=-2$，所以$b=10$.
将$x=4,y=3$代入①,得$4a+3=15$，所以$a=3$.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
③×10+④,得$34x=148$，所以$x=\dfrac{74}{17}$.
将$x=\dfrac{74}{17}$代入③,得$3×\dfrac{74}{17}+y=15$，所以$y=\dfrac{33}{17}$.
则$x+6y=\dfrac{74}{17}+\dfrac{198}{17}=16$.
方法二：将$x=-3,y=-1$代入②,
得$-12+b=-2$，所以$b=10$.
将$x=4,y=3$代入①,得$4a+3=15$，所以$a=3$.
所以原方程组为$\begin{cases}3x+y=15,③\\4x-10y=-2. ④\end{cases}$
由④,得$2x-5y=-1$. ⑤
由③-⑤,得$x+6y=16$.
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-3, \\ z=-3. \end{cases}$
(2) $16$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解的意义，加减消元法
【点评】
本题重点考查二元一次方程组的解法及解的定义，第二问的关键是准确判断甲乙得到的解分别对应哪个未被修改的正确方程，解题时可选择整体变形的方法，避免复杂计算，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
12. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，试求共有几种购买方案.
答案
12. 设购买笔记本x本,碳素笔y支.
根据题意,得3x+2y=28.
∴ y=14-$\dfrac{3}{2}$x.
∵ x,y均为正整数,
∴ $\begin{cases}x=2,\\y=11\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=4,\\y=8\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=6,\\y=5\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=8,\\y=2.\end{cases}$
答:共有4种购买方案.
根据题意,得3x+2y=28.
∴ y=14-$\dfrac{3}{2}$x.
∵ x,y均为正整数,
∴ $\begin{cases}x=2,\\y=11\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=4,\\y=8\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=6,\\y=5\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=8,\\y=2.\end{cases}$
答:共有4种购买方案.
解析
【分析】本题属于方案设计类实际应用问题，解题时首先要提取题目中的等量关系：购买笔记本的总费用+购买碳素笔的总费用=28元。我们可以设两个未知数分别表示购买笔记本和碳素笔的数量，列出二元一次方程。由于两种奖品都需要购买，因此两个未知数的取值均为正整数，将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式后，结合正整数的限制筛选所有符合条件的解，每组正整数解对应一种购买方案，最后统计方案总数即可。
【解析】解：设购买笔记本x本，碳素笔y支。
根据总花费为28元，列方程得：
$3x + 2y = 28$
整理得：$y=14-\dfrac{3}{2}x$
∵两种奖品都购买，x、y均为正整数，
∴$\dfrac{3}{2}x$为正整数，且$14-\dfrac{3}{2}x＞0$，即x是2的正整数倍，且$x＜\dfrac{28}{3}\approx9.33$。
依次代入符合条件的x值：
当x=2时，$y=14-\dfrac{3}{2}×2=11$；
当x=4时，$y=14-\dfrac{3}{2}×4=8$；
当x=6时，$y=14-\dfrac{3}{2}×6=5$；
当x=8时，$y=14-\dfrac{3}{2}×8=2$。
即满足条件的正整数解有$\begin{cases}x=2\\y=11\end{cases}$、$\begin{cases}x=4\\y=8\end{cases}$、$\begin{cases}x=6\\y=5\end{cases}$、$\begin{cases}x=8\\y=2\end{cases}$，共4组。
【答案】共有4种购买方案。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】本题考查二元一次方程在实际方案设计中的应用，解题核心是准确提取等量关系列方程，结合未知数的实际意义筛选符合要求的解，解题时需注意两种奖品都购买的限制，避免出现未知数为0的错误。
【难度系数】0.7
【解析】解：设购买笔记本x本，碳素笔y支。
根据总花费为28元，列方程得：
$3x + 2y = 28$
整理得：$y=14-\dfrac{3}{2}x$
∵两种奖品都购买，x、y均为正整数，
∴$\dfrac{3}{2}x$为正整数，且$14-\dfrac{3}{2}x＞0$，即x是2的正整数倍，且$x＜\dfrac{28}{3}\approx9.33$。
依次代入符合条件的x值：
当x=2时，$y=14-\dfrac{3}{2}×2=11$；
当x=4时，$y=14-\dfrac{3}{2}×4=8$；
当x=6时，$y=14-\dfrac{3}{2}×6=5$；
当x=8时，$y=14-\dfrac{3}{2}×8=2$。
即满足条件的正整数解有$\begin{cases}x=2\\y=11\end{cases}$、$\begin{cases}x=4\\y=8\end{cases}$、$\begin{cases}x=6\\y=5\end{cases}$、$\begin{cases}x=8\\y=2\end{cases}$，共4组。
【答案】共有4种购买方案。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】本题考查二元一次方程在实际方案设计中的应用，解题核心是准确提取等量关系列方程，结合未知数的实际意义筛选符合要求的解，解题时需注意两种奖品都购买的限制，避免出现未知数为0的错误。
【难度系数】0.7
