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13. 为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过$12\ \mathrm{m}^3$时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过$12\ \mathrm{m}^3$时，超过部分按二级单价收费。已知李阿姨家5月份用水量为$10\ \mathrm{m}^3$，缴纳水费32元. 7月份因孩子放假在家，用水量为$14\ \mathrm{m}^3$，缴纳水费51.4元.
(1)问：该市一级水费、二级水费的单价分别是多少？
(2)当某户某月缴纳水费为64.4元时，其用水量为多少？
(1)问：该市一级水费、二级水费的单价分别是多少？
(2)当某户某月缴纳水费为64.4元时，其用水量为多少？
答案
13.(1)设该市一级水费的单价为x元,二级水费的单价为y元.
依题意,得$\begin{cases}10x=32,\\12x+(14-12)y=51. 4.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3. 2,\\y=6. 5.\end{cases}$
答:该市一级水费的单价为3.2元,二级水费的单价为6.5元.
(2)
∵ 3.2×12=38.4(元),38.4＜64.4,
∴ 用水量超过12 m³.
设用水量为a m³,
依题意,得38.4+6.5(a-12)=64.4.
解得a=16.
答:某户某月缴纳水费为64.4元时,其用水量为16 m³.
依题意,得$\begin{cases}10x=32,\\12x+(14-12)y=51. 4.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3. 2,\\y=6. 5.\end{cases}$
答:该市一级水费的单价为3.2元,二级水费的单价为6.5元.
(2)
∵ 3.2×12=38.4(元),38.4＜64.4,
∴ 用水量超过12 m³.
设用水量为a m³,
依题意,得38.4+6.5(a-12)=64.4.
解得a=16.
答:某户某月缴纳水费为64.4元时,其用水量为16 m³.
解析
【分析】
本题是分段计费的实际应用题，分两步思考求解：
(1) 求两级水费的单价，可设两个未知数，根据两次缴费情况找等量关系列二元一次方程组：①5月份用水量10$\mathrm{m}^3$未超过12$\mathrm{m}^3$，全部按一级单价收费，总水费=用水量×一级单价；②7月份用水量14$\mathrm{m}^3$超过12$\mathrm{m}^3$，其中12$\mathrm{m}^3$按一级单价收费，超出的2$\mathrm{m}^3$按二级单价收费，总水费=12×一级单价+2×二级单价，联立方程即可求解两个单价。
(2) 已知总水费求用水量，先计算12$\mathrm{m}^3$的水费，和64.4元比较判断用水量是否超过分段阈值，若超过，则总水费=12$\mathrm{m}^3$的费用+超出部分×二级单价，设未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元。
依题意列方程组：
$\begin{cases}10x=32\\12x+(14-12)y=51.4\end{cases}$
解第一个方程得$x=3.2$，将$x=3.2$代入第二个方程：
$12×3.2+2y=51.4$
$38.4+2y=51.4$
解得$y=6.5$
即方程组的解为$\begin{cases}x=3.2\\y=6.5\end{cases}$
(2) 先计算用水量为12$\mathrm{m}^3$时的水费：$3.2×12=38.4$元
$\because38.4＜64.4$，$\therefore$该户当月用水量超过12$\mathrm{m}^3$。
设用水量为$a\ \mathrm{m}^3$，依题意列方程：
$38.4+6.5(a-12)=64.4$
$6.5(a-12)=26$
解得$a=16$
【答案】
(1) 一级水费单价为3.2元，二级水费单价为6.5元；
(2) 用水量为$\boxed{16\ \mathrm{m}^3}$。
【知识点】
二元一次方程组的应用，分段计费问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，解题核心是明确不同分段的收费规则，找准等量关系建立方程（组），求解第二问时要先判断用水量所属的收费分段，再列方程计算，避免直接套用单一收费标准出错。
【难度系数】
0.7
本题是分段计费的实际应用题，分两步思考求解：
(1) 求两级水费的单价，可设两个未知数，根据两次缴费情况找等量关系列二元一次方程组：①5月份用水量10$\mathrm{m}^3$未超过12$\mathrm{m}^3$，全部按一级单价收费，总水费=用水量×一级单价；②7月份用水量14$\mathrm{m}^3$超过12$\mathrm{m}^3$，其中12$\mathrm{m}^3$按一级单价收费，超出的2$\mathrm{m}^3$按二级单价收费，总水费=12×一级单价+2×二级单价，联立方程即可求解两个单价。
(2) 已知总水费求用水量，先计算12$\mathrm{m}^3$的水费，和64.4元比较判断用水量是否超过分段阈值，若超过，则总水费=12$\mathrm{m}^3$的费用+超出部分×二级单价，设未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元。
依题意列方程组：
$\begin{cases}10x=32\\12x+(14-12)y=51.4\end{cases}$
解第一个方程得$x=3.2$，将$x=3.2$代入第二个方程：
$12×3.2+2y=51.4$
$38.4+2y=51.4$
解得$y=6.5$
即方程组的解为$\begin{cases}x=3.2\\y=6.5\end{cases}$
(2) 先计算用水量为12$\mathrm{m}^3$时的水费：$3.2×12=38.4$元
$\because38.4＜64.4$，$\therefore$该户当月用水量超过12$\mathrm{m}^3$。
设用水量为$a\ \mathrm{m}^3$，依题意列方程：
$38.4+6.5(a-12)=64.4$
$6.5(a-12)=26$
解得$a=16$
【答案】
(1) 一级水费单价为3.2元，二级水费单价为6.5元；
(2) 用水量为$\boxed{16\ \mathrm{m}^3}$。
【知识点】
二元一次方程组的应用，分段计费问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，解题核心是明确不同分段的收费规则，找准等量关系建立方程（组），求解第二问时要先判断用水量所属的收费分段，再列方程计算，避免直接套用单一收费标准出错。
【难度系数】
0.7
《孙子算经》约成书于四五世纪,作者生平和编写年代都不清楚.现在传本的《孙子算经》共三卷.卷下第 31 题可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”.书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问:鸡兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡、兔同在一个笼子里,从上面数,有 35 个头;从下面数,有 94 只脚.求笼中鸡和兔各有多少只.
分析:这是鸡兔同笼问题,题中有两个相等关系:一是鸡的头加上兔子的头共35 个;二是鸡的脚加上兔子的脚共 94 只.设出鸡和兔子的只数,根据相等关系列出方程组即可解得.
解:设鸡有 $ x $ 只,兔子有 $ y $ 只.
根据题意,得 $\begin{cases} x + y = 35, \\ 2x + 4y = 94. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x = 23, \\ y = 12. \end{cases}$
答:鸡有 23 只,兔子有 12 只.
分析:这是鸡兔同笼问题,题中有两个相等关系:一是鸡的头加上兔子的头共35 个;二是鸡的脚加上兔子的脚共 94 只.设出鸡和兔子的只数,根据相等关系列出方程组即可解得.
解:设鸡有 $ x $ 只,兔子有 $ y $ 只.
根据题意,得 $\begin{cases} x + y = 35, \\ 2x + 4y = 94. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x = 23, \\ y = 12. \end{cases}$
答:鸡有 23 只,兔子有 12 只.
答案
解：设鸡有$x$只，兔子有$y$只。
根据题意，得
$\begin{cases}x + y = 35 \quad ①\\2x + 4y = 94 \quad ②\end{cases}$
由①得：$x = 35 - y$ ③
把③代入②，得：
$2(35 - y) + 4y = 94$
解得：$y = 12$
把$y = 12$代入③，得：$x = 35 - 12 = 23$
∴ 方程组的解为 $\begin{cases} x = 23 \\ y = 12 \end{cases}$
答：笼中鸡有23只，兔有12只。
根据题意，得
$\begin{cases}x + y = 35 \quad ①\\2x + 4y = 94 \quad ②\end{cases}$
由①得：$x = 35 - y$ ③
把③代入②，得：
$2(35 - y) + 4y = 94$
解得：$y = 12$
把$y = 12$代入③，得：$x = 35 - 12 = 23$
∴ 方程组的解为 $\begin{cases} x = 23 \\ y = 12 \end{cases}$
答：笼中鸡有23只，兔有12只。
解析
【分析】
这是典型的二元一次方程组实际应用题，解题时首先要梳理题目中的两个等量关系：①鸡和兔的总头数为35，即鸡的数量+兔的数量=35；②鸡和兔的总脚数为94，鸡有2只脚、兔有4只脚，即鸡的脚数+兔的脚数=94。接下来我们设鸡、兔的数量分别为两个未知数，根据两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法求解方程组就能得到结果。
【解析】
解：设鸡有$x$只，兔子有$y$只。
根据题意，得
$\begin{cases}x + y = 35 \quad ①\\2x + 4y = 94 \quad ②\end{cases}$
由①得：$x = 35 - y$ ③
把③代入②，得：
$2(35 - y) + 4y = 94$
解得：$y = 12$
把$y = 12$代入③，得：$x = 35 - 12 = 23$
∴ 方程组的解为 $\begin{cases} x = 23 \\ y = 12 \end{cases}$
答：笼中鸡有23只，兔有12只。
【答案】
鸡有23只，兔有12只。
【知识点】
二元一次方程组的应用，代入消元法解方程组
【点评】
本题是二元一次方程组应用的经典基础题型，解题核心是准确提炼题目中的两个等量关系列方程组，再选择合适的消元方法求解即可，掌握方法后可迁移解决同类的租船、购票等实际问题。
【难度系数】
0.8
这是典型的二元一次方程组实际应用题，解题时首先要梳理题目中的两个等量关系：①鸡和兔的总头数为35，即鸡的数量+兔的数量=35；②鸡和兔的总脚数为94，鸡有2只脚、兔有4只脚，即鸡的脚数+兔的脚数=94。接下来我们设鸡、兔的数量分别为两个未知数，根据两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法求解方程组就能得到结果。
【解析】
解：设鸡有$x$只，兔子有$y$只。
根据题意，得
$\begin{cases}x + y = 35 \quad ①\\2x + 4y = 94 \quad ②\end{cases}$
由①得：$x = 35 - y$ ③
把③代入②，得：
$2(35 - y) + 4y = 94$
解得：$y = 12$
把$y = 12$代入③，得：$x = 35 - 12 = 23$
∴ 方程组的解为 $\begin{cases} x = 23 \\ y = 12 \end{cases}$
答：笼中鸡有23只，兔有12只。
【答案】
鸡有23只，兔有12只。
【知识点】
二元一次方程组的应用，代入消元法解方程组
【点评】
本题是二元一次方程组应用的经典基础题型，解题核心是准确提炼题目中的两个等量关系列方程组，再选择合适的消元方法求解即可，掌握方法后可迁移解决同类的租船、购票等实际问题。
【难度系数】
0.8
