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15. 解关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax+by=2, \\ cx-7y=6\end{cases}$ 时，一学生把 $ c $ 看错得到 $\begin{cases}x=-2, \\ y=2,\end{cases}$ 已知正确的解是 $\begin{cases}x=4, \\ y=-2,\end{cases}$ 则 $ a,b,c $ 的值分别是 （ ）
A.$ a=2,b=3,c=-2 $
B.$ a=-2,b=-5,c=-10 $
C.$ a,b $ 不能确定，$ c=-2 $
D.$ a,b $ 不能确定，$ c=-10 $
A.$ a=2,b=3,c=-2 $
B.$ a=-2,b=-5,c=-10 $
C.$ a,b $ 不能确定，$ c=-2 $
D.$ a,b $ 不能确定，$ c=-10 $
答案
15.A
解析
【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组解的含义：不管学生是否看错c，他得到的错解一定满足不含c的第一个方程，同时题目给出的正确解满足两个方程。因此解题步骤分为三步：①将错解和正解分别代入第一个方程，得到关于a、b的二元一次方程组；②解这个方程组求出a、b的值；③将正解代入第二个方程，即可求出正确的c的值。
【解析】
1. 求a、b的值：
因为$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$（错解）和$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$（正解）都满足方程$ax+by=2$，将两组解分别代入得：
$\begin{cases}-2a + 2b = 2 ① \\ 4a - 2b = 2 ②\end{cases}$
将①+②消去b，得：$2a=4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①，得：$-2×2 + 2b = 2$，即$-4+2b=2$，解得$b=3$。
2. 求c的值：
将正确解$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$代入$cx-7y=6$，得：
$4c -7×(-2) = 6$
计算得：$4c +14 = 6$，移项得$4c=-8$，解得$c=-2$。
综上，$a=2,b=3,c=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组，代入消元法
【点评】
本题的易错点是忽略错解也满足不含看错系数的方程，解题关键是灵活运用方程组解的含义，列出对应方程求解，考查学生对概念的理解和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确二元一次方程组解的含义：不管学生是否看错c，他得到的错解一定满足不含c的第一个方程，同时题目给出的正确解满足两个方程。因此解题步骤分为三步：①将错解和正解分别代入第一个方程，得到关于a、b的二元一次方程组；②解这个方程组求出a、b的值；③将正解代入第二个方程，即可求出正确的c的值。
【解析】
1. 求a、b的值：
因为$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$（错解）和$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$（正解）都满足方程$ax+by=2$，将两组解分别代入得：
$\begin{cases}-2a + 2b = 2 ① \\ 4a - 2b = 2 ②\end{cases}$
将①+②消去b，得：$2a=4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①，得：$-2×2 + 2b = 2$，即$-4+2b=2$，解得$b=3$。
2. 求c的值：
将正确解$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$代入$cx-7y=6$，得：
$4c -7×(-2) = 6$
计算得：$4c +14 = 6$，移项得$4c=-8$，解得$c=-2$。
综上，$a=2,b=3,c=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组，代入消元法
【点评】
本题的易错点是忽略错解也满足不含看错系数的方程，解题关键是灵活运用方程组解的含义，列出对应方程求解，考查学生对概念的理解和基本计算能力。
【难度系数】
0.7
16. 编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一. 在一场非遗展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲.
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为 150 Hz，大、小号编钟的频率分别是多少(用二元一次方程组的知识解答)？
(2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购 A，B 两种不同材质的编钟配件，A 配件每个 30 元，B 配件每个 50 元，采购这两种配件的预算为 500 元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为 150 Hz，大、小号编钟的频率分别是多少(用二元一次方程组的知识解答)？
(2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购 A，B 两种不同材质的编钟配件，A 配件每个 30 元，B 配件每个 50 元，采购这两种配件的预算为 500 元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？
答案
16.解:(1)设大号编钟的频率为$x$ Hz,小号编钟的频率为$y$ Hz,
由题意,得$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y,\\ x+y=150. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=50,\\ y=100. \end{cases}$
答:大号编钟的频率为 50 Hz,小号编钟的频率为 100 Hz.
(2)设 A 配件要买$m$个,B 配件要买$n$个,由题意,得$30m+50n=500$,
整理,得$3m+5n=50$,即$n=10-\dfrac{3}{5}m$.
$\because m$和$n$都为正整数,
$\therefore\begin{cases} m=5,\\ n=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=10,\\ n=4 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=15,\\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$有三种采购方案,方案一:A 配件 5 个,B 配件 7 个;方案二:A 配件 10 个,B 配件 4 个;方案三:A 配件 15 个,B 配件 1 个.
由题意,得$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y,\\ x+y=150. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=50,\\ y=100. \end{cases}$
答:大号编钟的频率为 50 Hz,小号编钟的频率为 100 Hz.
(2)设 A 配件要买$m$个,B 配件要买$n$个,由题意,得$30m+50n=500$,
整理,得$3m+5n=50$,即$n=10-\dfrac{3}{5}m$.
$\because m$和$n$都为正整数,
$\therefore\begin{cases} m=5,\\ n=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=10,\\ n=4 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=15,\\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$有三种采购方案,方案一:A 配件 5 个,B 配件 7 个;方案二:A 配件 10 个,B 配件 4 个;方案三:A 配件 15 个,B 配件 1 个.
解析
【分析】
(1)第一问需用二元一次方程组求解，首先确定两个未知量：大号、小号编钟的频率，分别设为未知数后，结合两个核心等量关系“大号频率=小号频率×$\frac{1}{2}$”“两种频率之和为150Hz”列方程组，求解即可得到结果。
(2)第二问是方案设计问题，先设A、B两种配件的采购数量为未知数，根据总预算列二元一次方程，再结合“两种配件都要采购”的要求，即两个未知数均为正整数，筛选出所有符合条件的解，每组解对应一种采购方案。
【解析】
(1)设大号编钟的频率为$x$ Hz，小号编钟的频率为$y$ Hz，
由题意得：$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y\\ x+y=150 \end{cases}$
将$x=\frac{1}{2}y$代入$x+y=150$，得$\frac{1}{2}y+y=150$，解得$y=100$，
把$y=100$代入$x=\frac{1}{2}y$，得$x=50$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=50\\ y=100 \end{cases}$。
(2)设采购A配件$m$个，采购B配件$n$个（$m$、$n$均为正整数），
由总预算为500元得：$30m+50n=500$，
整理得：$3m+5n=50$，变形为$n=10-\dfrac{3}{5}m$，
因为$n$为正整数，所以$\frac{3}{5}m$为正整数，且$10-\frac{3}{5}m＞0$，即$m$是5的正整数倍且$m＜\frac{50}{3}$，
因此$m$可取5、10、15：
当$m=5$时，$n=10-\frac{3}{5}×5=7$；
当$m=10$时，$n=10-\frac{3}{5}×10=4$；
当$m=15$时，$n=10-\frac{3}{5}×15=1$。
【答案】
(1)大号编钟的频率为50 Hz，小号编钟的频率为100 Hz；
(2)共有3种采购方案：
方案一：采购A配件5个，B配件7个；
方案二：采购A配件10个，B配件4个；
方案三：采购A配件15个，B配件1个。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，方案设计
【点评】
本题以非遗编钟为命题背景，将传统文化与数学知识结合，既考查了方程类知识点的实际运用，也锻炼了学生分类讨论、解决实际问题的能力，题目贴合生活，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
(1)第一问需用二元一次方程组求解，首先确定两个未知量：大号、小号编钟的频率，分别设为未知数后，结合两个核心等量关系“大号频率=小号频率×$\frac{1}{2}$”“两种频率之和为150Hz”列方程组，求解即可得到结果。
(2)第二问是方案设计问题，先设A、B两种配件的采购数量为未知数，根据总预算列二元一次方程，再结合“两种配件都要采购”的要求，即两个未知数均为正整数，筛选出所有符合条件的解，每组解对应一种采购方案。
【解析】
(1)设大号编钟的频率为$x$ Hz，小号编钟的频率为$y$ Hz，
由题意得：$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y\\ x+y=150 \end{cases}$
将$x=\frac{1}{2}y$代入$x+y=150$，得$\frac{1}{2}y+y=150$，解得$y=100$，
把$y=100$代入$x=\frac{1}{2}y$，得$x=50$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=50\\ y=100 \end{cases}$。
(2)设采购A配件$m$个，采购B配件$n$个（$m$、$n$均为正整数），
由总预算为500元得：$30m+50n=500$，
整理得：$3m+5n=50$，变形为$n=10-\dfrac{3}{5}m$，
因为$n$为正整数，所以$\frac{3}{5}m$为正整数，且$10-\frac{3}{5}m＞0$，即$m$是5的正整数倍且$m＜\frac{50}{3}$，
因此$m$可取5、10、15：
当$m=5$时，$n=10-\frac{3}{5}×5=7$；
当$m=10$时，$n=10-\frac{3}{5}×10=4$；
当$m=15$时，$n=10-\frac{3}{5}×15=1$。
【答案】
(1)大号编钟的频率为50 Hz，小号编钟的频率为100 Hz；
(2)共有3种采购方案：
方案一：采购A配件5个，B配件7个；
方案二：采购A配件10个，B配件4个；
方案三：采购A配件15个，B配件1个。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，方案设计
【点评】
本题以非遗编钟为命题背景，将传统文化与数学知识结合，既考查了方程类知识点的实际运用，也锻炼了学生分类讨论、解决实际问题的能力，题目贴合生活，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
