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17. 阅读探索.
材料:解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6,\\2(a-1)+(b+2)=6\end{cases}$时,采用了一种“换元法”的解法.
解:设$a-1=x,b+2=y$,原方程组可化为$\begin{cases}x+2y=6,\\2x+y=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}a-1=2,\\b+2=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=0.\end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases}a=3,\\b=0.\end{cases}$
根据上述材料,解决下列问题:
(1)运用换元法,求解关于$a,b$的方程组$\begin{cases}(\dfrac{a}{4}-1)+2(\dfrac{b}{3}+2)=4,\\2(\dfrac{a}{4}-1)+(\dfrac{b}{3}+2)=5;\end{cases}$
(2)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10,\\y=6,\end{cases}$求关于$m,n$的方程组$\begin{cases}5a_{1}(m-3)+3b_{1}(n+2)=c_{1},\\5a_{2}(m-3)+3b_{2}(n+2)=c_{2}\end{cases}$的解.
材料:解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6,\\2(a-1)+(b+2)=6\end{cases}$时,采用了一种“换元法”的解法.
解:设$a-1=x,b+2=y$,原方程组可化为$\begin{cases}x+2y=6,\\2x+y=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}a-1=2,\\b+2=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=0.\end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases}a=3,\\b=0.\end{cases}$
根据上述材料,解决下列问题:
(1)运用换元法,求解关于$a,b$的方程组$\begin{cases}(\dfrac{a}{4}-1)+2(\dfrac{b}{3}+2)=4,\\2(\dfrac{a}{4}-1)+(\dfrac{b}{3}+2)=5;\end{cases}$
(2)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10,\\y=6,\end{cases}$求关于$m,n$的方程组$\begin{cases}5a_{1}(m-3)+3b_{1}(n+2)=c_{1},\\5a_{2}(m-3)+3b_{2}(n+2)=c_{2}\end{cases}$的解.
答案
17.解:(1)设$\dfrac{a}{4}-1=x$,$\dfrac{b}{3}+2=y$,$\therefore$原方程组可以化为$\begin{cases} x+2y=4,①\\ 2x+y=5,② \end{cases}$
用②$-$①$×2$,得$-3y=-3$,$y=1$.
把$y=1$代入①,得$x+2=4$,$x=2$.
$\therefore$方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=1, \end{cases}$即$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2,\\ \dfrac{b}{3}+2=1. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=12,\\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} a=12,\\ b=-3. \end{cases}$
(2)设$5(m-3)=x$,$3(n+2)=y$,则原方程组可化为
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$ $\therefore\begin{cases} 5(m-3)=10,\\ 3(n+2)=6. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=5,\\ n=0. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} m=5,\\ n=0. \end{cases}$
用②$-$①$×2$,得$-3y=-3$,$y=1$.
把$y=1$代入①,得$x+2=4$,$x=2$.
$\therefore$方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=1, \end{cases}$即$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2,\\ \dfrac{b}{3}+2=1. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=12,\\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} a=12,\\ b=-3. \end{cases}$
(2)设$5(m-3)=x$,$3(n+2)=y$,则原方程组可化为
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$ $\therefore\begin{cases} 5(m-3)=10,\\ 3(n+2)=6. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=5,\\ n=0. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} m=5,\\ n=0. \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题均可通过换元法简化计算，解题思路如下：
（1）观察待解方程组，两个方程中重复出现$\frac{a}{4}-1$和$\frac{b}{3}+2$，将这两个式子分别设为新未知数x、y，可将原方程组转化为关于x、y的简单二元一次方程组，求解x、y后再还原为关于a、b的一元一次方程，即可求出原方程组的解。
（2）观察待解方程组和已知解的方程组的结构，可将$5(m-3)$看作x、$3(n+2)$看作y，此时待解方程组和已知解的方程组形式完全一致，直接代入已知的x、y的值，再解关于m、n的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$\dfrac{a}{4}-1=x$，$\dfrac{b}{3}+2=y$，原方程组可化为：
$\begin{cases} x+2y=4,①\\ 2x+y=5,② \end{cases}$
用②$-$①$×2$，得$-3y=-3$，解得$y=1$。
把$y=1$代入①，得$x+2×1=4$，解得$x=2$。
因此可得$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2,\\ \dfrac{b}{3}+2=1, \end{cases}$
分别解两个一元一次方程：$\dfrac{a}{4}=3$，得$a=12$；$\dfrac{b}{3}=-1$，得$b=-3$。
(2) 设$5(m-3)=x$，$3(n+2)=y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=10,\\y=6,\end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases} 5(m-3)=10,\\ 3(n+2)=6, \end{cases}$
分别解两个一元一次方程：$m-3=2$，得$m=5$；$n+2=2$，得$n=0$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=12,\\b=-3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}m=5,\\n=0.\end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，二元一次方程组的解，整体思想
【点评】
本题重点考查换元法在解二元一次方程组中的应用，核心是运用整体思想，将结构重复的复杂代数式视为整体替换为简单变量，大幅简化计算过程。解题时需要注意换元求解后，要还原回原未知数进行计算，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
这两道题均可通过换元法简化计算，解题思路如下：
（1）观察待解方程组，两个方程中重复出现$\frac{a}{4}-1$和$\frac{b}{3}+2$，将这两个式子分别设为新未知数x、y，可将原方程组转化为关于x、y的简单二元一次方程组，求解x、y后再还原为关于a、b的一元一次方程，即可求出原方程组的解。
（2）观察待解方程组和已知解的方程组的结构，可将$5(m-3)$看作x、$3(n+2)$看作y，此时待解方程组和已知解的方程组形式完全一致，直接代入已知的x、y的值，再解关于m、n的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$\dfrac{a}{4}-1=x$，$\dfrac{b}{3}+2=y$，原方程组可化为：
$\begin{cases} x+2y=4,①\\ 2x+y=5,② \end{cases}$
用②$-$①$×2$，得$-3y=-3$，解得$y=1$。
把$y=1$代入①，得$x+2×1=4$，解得$x=2$。
因此可得$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2,\\ \dfrac{b}{3}+2=1, \end{cases}$
分别解两个一元一次方程：$\dfrac{a}{4}=3$，得$a=12$；$\dfrac{b}{3}=-1$，得$b=-3$。
(2) 设$5(m-3)=x$，$3(n+2)=y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=10,\\y=6,\end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases} 5(m-3)=10,\\ 3(n+2)=6, \end{cases}$
分别解两个一元一次方程：$m-3=2$，得$m=5$；$n+2=2$，得$n=0$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=12,\\b=-3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}m=5,\\n=0.\end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，二元一次方程组的解，整体思想
【点评】
本题重点考查换元法在解二元一次方程组中的应用，核心是运用整体思想，将结构重复的复杂代数式视为整体替换为简单变量，大幅简化计算过程。解题时需要注意换元求解后，要还原回原未知数进行计算，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
