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1已知一个正比例函数，当自变量$ x $的值为2时，对应的函数值$ y $为$-1$，则这个正比例函数的表达式为（
A.$ y=-2x $
B.$ y=2x $
C.$ y=-\dfrac{1}{2}x $
D.$ y=\dfrac{1}{2}x $
C
）A.$ y=-2x $
B.$ y=2x $
C.$ y=-\dfrac{1}{2}x $
D.$ y=\dfrac{1}{2}x $
答案
1. C
解析
【分析】
首先回忆正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，且$k≠0$），要求这个函数表达式，只需要求出$k$的值即可。已知当$x=2$时$y=-1$，将这组对应值代入一般式，就能得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$后就能确定函数表达式。
【解析】
设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=-1$代入表达式，可得：
$-1 = 2k$
解得$k = -\dfrac{1}{2}$
因此这个正比例函数的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正比例函数基本形式的掌握，以及运用待定系数法求解函数表达式的基本方法，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先回忆正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，且$k≠0$），要求这个函数表达式，只需要求出$k$的值即可。已知当$x=2$时$y=-1$，将这组对应值代入一般式，就能得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$后就能确定函数表达式。
【解析】
设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=-1$代入表达式，可得：
$-1 = 2k$
解得$k = -\dfrac{1}{2}$
因此这个正比例函数的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正比例函数基本形式的掌握，以及运用待定系数法求解函数表达式的基本方法，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2 如图，这是一个运算程序示意图，若第一次输入x的值为1，则输出y的值为
（第2题）
11
。（第2题）答案
2. 11
解析
【分析】
解题需先明确运算程序的规则：输入x后，先计算$y=x^2+2x+3$的值，再判断y是否大于9：若$y＞9$则直接输出y；若$y≤9$，就将x更新为$x+1$，重新代入计算y，直到$y＞9$时输出结果。本题初始输入$x=1$，按照规则逐步运算即可得到答案。
【解析】
第一次输入$x=1$，代入计算：
$y=1^2+2×1+3=1+2+3=6$，
因为$6＜9$，不满足输出条件，将x更新为$1+1=2$，再次代入计算：
$y=2^2+2×2+3=4+4+3=11$，
此时$11＞9$，满足输出条件。
【答案】
11
【知识点】
代数式求值；程序运算逻辑
【点评】
本题重点考查对程序运算规则的理解，解题时要严格按照给定的步骤逐步计算，不满足输出条件时需正确更新x的值再次运算，避免漏步或计算错误。
【难度系数】
0.85
解题需先明确运算程序的规则：输入x后，先计算$y=x^2+2x+3$的值，再判断y是否大于9：若$y＞9$则直接输出y；若$y≤9$，就将x更新为$x+1$，重新代入计算y，直到$y＞9$时输出结果。本题初始输入$x=1$，按照规则逐步运算即可得到答案。
【解析】
第一次输入$x=1$，代入计算：
$y=1^2+2×1+3=1+2+3=6$，
因为$6＜9$，不满足输出条件，将x更新为$1+1=2$，再次代入计算：
$y=2^2+2×2+3=4+4+3=11$，
此时$11＞9$，满足输出条件。
【答案】
11
【知识点】
代数式求值；程序运算逻辑
【点评】
本题重点考查对程序运算规则的理解，解题时要严格按照给定的步骤逐步计算，不满足输出条件时需正确更新x的值再次运算，避免漏步或计算错误。
【难度系数】
0.85
3(1) 已知一次函数$y=kx+2$，当$x=-1$时，$y=1$，则该函数的表达式为________。
(2) 已知$y$是$x$的正比例函数，当$x=-1$时，$y=3$，则当$y=2$时，$x$的值为________。
(3) 已知$y$是$x$的一次函数，当$x=3$时，$y=1$；当$x=-2$时，$y=-4$，则该一次函数的表达式为________。
(2) 已知$y$是$x$的正比例函数，当$x=-1$时，$y=3$，则当$y=2$时，$x$的值为________。
(3) 已知$y$是$x$的一次函数，当$x=3$时，$y=1$；当$x=-2$时，$y=-4$，则该一次函数的表达式为________。
答案
3. (1) $y=x+2$ (2) $-\dfrac{2}{3}$ (3) $y=x-2$ 【解析】设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$. 将$x=3,y=1;x=-2,y=-4$代入,得$\begin{cases}3k+b=1,\\-2k+b=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-2.\end{cases}$ $\therefore$ 该一次函数的表达式为$y=x-2$.
解析
【分析】
这三道题均围绕求一次函数/正比例函数解析式及相关值展开，核心方法为待定系数法：(1)已知一次函数的常数项$b=2$，只需将给定的$x$、$y$值代入函数表达式求出$k$值，即可确定函数解析式；(2)先根据正比例函数定义设出解析式，代入已知$x$、$y$值求出比例系数$k$，再将$y=2$代入解析式求解$x$即可；(3)先设出一般形式的一次函数解析式，将两组$x$、$y$对应值代入得到二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定解析式。
【解析】
(1) 将$x=-1$，$y=1$代入$y=kx+2$，可得：
$1 = -k + 2$
解得$k=1$，因此该函数表达式为$y=x+2$。
(2) 设正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$，将$x=-1$，$y=3$代入得：
$3 = -k$，解得$k=-3$，即函数解析式为$y=-3x$。
当$y=2$时，代入得$2=-3x$，解得$x=-\dfrac{2}{3}$。
(3) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$x=3,y=1$和$x=-2,y=-4$分别代入，可得方程组：
$\begin{cases}3k+b=1\\-2k+b=-4\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去$b$，得$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$3k+b=1$，得$3×1 + b=1$，解得$b=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=x-2$。
【答案】
(1) $y=x+2$；(2) $-\dfrac{2}{3}$；(3) $y=x-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数章节的基础典型题，重点考察待定系数法的应用，解题步骤清晰固定，熟练掌握代入求值、解方程组的基本运算即可准确作答，是后续解决一次函数综合题的基础。
【难度系数】
0.85
这三道题均围绕求一次函数/正比例函数解析式及相关值展开，核心方法为待定系数法：(1)已知一次函数的常数项$b=2$，只需将给定的$x$、$y$值代入函数表达式求出$k$值，即可确定函数解析式；(2)先根据正比例函数定义设出解析式，代入已知$x$、$y$值求出比例系数$k$，再将$y=2$代入解析式求解$x$即可；(3)先设出一般形式的一次函数解析式，将两组$x$、$y$对应值代入得到二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定解析式。
【解析】
(1) 将$x=-1$，$y=1$代入$y=kx+2$，可得：
$1 = -k + 2$
解得$k=1$，因此该函数表达式为$y=x+2$。
(2) 设正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$，将$x=-1$，$y=3$代入得：
$3 = -k$，解得$k=-3$，即函数解析式为$y=-3x$。
当$y=2$时，代入得$2=-3x$，解得$x=-\dfrac{2}{3}$。
(3) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$x=3,y=1$和$x=-2,y=-4$分别代入，可得方程组：
$\begin{cases}3k+b=1\\-2k+b=-4\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去$b$，得$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$3k+b=1$，得$3×1 + b=1$，解得$b=-2$。
因此该一次函数的表达式为$y=x-2$。
【答案】
(1) $y=x+2$；(2) $-\dfrac{2}{3}$；(3) $y=x-2$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数章节的基础典型题，重点考察待定系数法的应用，解题步骤清晰固定，熟练掌握代入求值、解方程组的基本运算即可准确作答，是后续解决一次函数综合题的基础。
【难度系数】
0.85
4已知$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x-2$成正比例，且当$x=-1$时，$y=2$；当$x=2$时，$y=5$。求$y$与$x$之间的函数表达式。
答案
4. 设$y_1=k_1x(k_1≠0),y_2=k_2(x-2)(k_2≠0)$,则$y=y_1 + y_2 = k_1x + k_2(x - 2)$. 由题意，得
$\begin{cases}-k_1+k_2·(-1-2)=2,\\2k_1+k_2·(2-2)=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=\dfrac{5}{2},\\k_2=-\dfrac{3}{2}.\end{cases}$ $\therefore y=x+3$
$\begin{cases}-k_1+k_2·(-1-2)=2,\\2k_1+k_2·(2-2)=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=\dfrac{5}{2},\\k_2=-\dfrac{3}{2}.\end{cases}$ $\therefore y=x+3$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据正比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$与$x$的含未知系数的关系式；第二步，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入关系式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组；第三步，解方程组求出未知系数的值，最后将系数代回关系式化简，即可得到$y$与$x$的函数表达式。
【解析】
解：设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，$y_2=k_2(x-2)(k_2≠0)$，
则$y=y_1+y_2=k_1x + k_2(x-2)$。
将$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}$分别代入上式，得：
$\begin{cases}-k_1 + k_2×(-1-2)=2 \\2k_1 + k_2×(2-2)=5 \end{cases}$
由第二个方程可得$2k_1=5$，解得$k_1=\frac{5}{2}$，
将$k_1=\frac{5}{2}$代入第一个方程，得$-\frac{5}{2}-3k_2=2$，解得$k_2=-\frac{3}{2}$。
将$k_1=\frac{5}{2}$、$k_2=-\frac{3}{2}$代入$y=k_1x + k_2(x-2)$化简：
$y=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}(x-2)=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}x+3=x+3$
【答案】
$y=x+3$
【知识点】
正比例函数概念、待定系数法、解二元一次方程组
【点评】
本题是求一次函数表达式的常规基础题型，核心考查对正比例函数定义的理解和待定系数法的运用，解题的关键是正确设出含参数的函数关系式，准确代入已知条件求解参数，熟练掌握该方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据正比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$与$x$的含未知系数的关系式；第二步，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入关系式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组；第三步，解方程组求出未知系数的值，最后将系数代回关系式化简，即可得到$y$与$x$的函数表达式。
【解析】
解：设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，$y_2=k_2(x-2)(k_2≠0)$，
则$y=y_1+y_2=k_1x + k_2(x-2)$。
将$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}$分别代入上式，得：
$\begin{cases}-k_1 + k_2×(-1-2)=2 \\2k_1 + k_2×(2-2)=5 \end{cases}$
由第二个方程可得$2k_1=5$，解得$k_1=\frac{5}{2}$，
将$k_1=\frac{5}{2}$代入第一个方程，得$-\frac{5}{2}-3k_2=2$，解得$k_2=-\frac{3}{2}$。
将$k_1=\frac{5}{2}$、$k_2=-\frac{3}{2}$代入$y=k_1x + k_2(x-2)$化简：
$y=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}(x-2)=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}x+3=x+3$
【答案】
$y=x+3$
【知识点】
正比例函数概念、待定系数法、解二元一次方程组
【点评】
本题是求一次函数表达式的常规基础题型，核心考查对正比例函数定义的理解和待定系数法的运用，解题的关键是正确设出含参数的函数关系式，准确代入已知条件求解参数，熟练掌握该方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
5 [2024 陕西]实验表明,在某地,温度在$15°\mathrm{C}$至$25°\mathrm{C}$的范围内,一种蟋蟀1 min的平均鸣叫次数$y$可近似看成该地当时温度$x(°\mathrm{C})$的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为$16°\mathrm{C}$时,1 min平均鸣叫92次;在温度为$23°\mathrm{C}$时,1 min平均鸣叫155次.
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式;
(2) 当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时,该地当时的温度约是多少?
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式;
(2) 当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时,该地当时的温度约是多少?
答案
5. (1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$. 将$x=16,y=92$ 和 $x=23,y=155$ 分别代入$y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases}16k+b=92,\\23k+b=155,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=9,\\b=-52.\end{cases}$ 答:$y$与$x$之间的函数表达式为$y=9x-52$ (2) 将$y=128$代入$y=9x-52$,得$9x-52=128$,解得$x=20$. 答:该地当时的温度约是$20\ °\mathrm{C}$
解析
【分析】
本题为一次函数的实际应用问题，解题思路如下：（1）题目明确说明y是x的一次函数，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两组温度和对应鸣叫次数代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可确定函数表达式；（2）已知鸣叫次数y的取值，将其代入第一问求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程，即可得到对应的温度值。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=16,y=92$ 和 $x=23,y=155$ 分别代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}16k+b=92,\\23k+b=155,\end{cases}$
两式相减消去b可得$7k=63$，解得$k=9$，将$k=9$代入$16k+b=92$，得$144+b=92$，解得$b=-52$。
故$y$与$x$之间的函数表达式为$y=9x-52$。
(2) 将$y=128$代入$y=9x-52$，得：
$9x-52=128$
移项计算得$9x=180$，解得$x=20$。
【答案】
(1) $y=9x-52$
(2) $20\ °\mathrm{C}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用、解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数应用的基础常规题，核心考查待定系数法的使用，解题关键是准确提取题干中的两组对应数值，正确计算方程组和一元一次方程，整体计算量小，掌握一次函数基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题为一次函数的实际应用问题，解题思路如下：（1）题目明确说明y是x的一次函数，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两组温度和对应鸣叫次数代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可确定函数表达式；（2）已知鸣叫次数y的取值，将其代入第一问求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程，即可得到对应的温度值。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$x=16,y=92$ 和 $x=23,y=155$ 分别代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}16k+b=92,\\23k+b=155,\end{cases}$
两式相减消去b可得$7k=63$，解得$k=9$，将$k=9$代入$16k+b=92$，得$144+b=92$，解得$b=-52$。
故$y$与$x$之间的函数表达式为$y=9x-52$。
(2) 将$y=128$代入$y=9x-52$，得：
$9x-52=128$
移项计算得$9x=180$，解得$x=20$。
【答案】
(1) $y=9x-52$
(2) $20\ °\mathrm{C}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用、解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数应用的基础常规题，核心考查待定系数法的使用，解题关键是准确提取题干中的两组对应数值，正确计算方程组和一元一次方程，整体计算量小，掌握一次函数基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6 已知一次函数 $ y = kx + b $，当 $ x $ 的值减少1时，$ y $ 的值减少2，则当 $ x $ 的值增加2时，$ y $ 的值（
A.增加4
B.减少4
C.增加2
D.减少2
A
）A.增加4
B.减少4
C.增加2
D.减少2
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用一次函数的表达式，结合题目给出的x和y的变化关系，先求出未知系数k的值，再计算x增加2时y的变化量即可。具体思考步骤：第一步，根据“x减少1时y减少2”的条件，把变化前后的x、y代入函数表达式，通过两个式子作差消去b，算出k的值；第二步，再把x增加2后的自变量代入表达式，和原来的函数值作差，就能得到y的变化情况。
【解析】
解：根据题意，当x的值减少1时，y的值减少2，即当自变量取$x-1$时，对应的函数值为$y-2$。
将x和$x-1$分别代入一次函数表达式，得：
$\begin{cases} y = kx + b &① \\ y - 2 = k(x - 1) + b &② \end{cases}$
用①式减②式，左边：$y - (y - 2) = 2$，右边：$kx + b - [k(x - 1) + b] = kx + b - kx + k - b = k$
因此可得$k=2$，即一次函数表达式为$y=2x + b$。
接下来计算当x的值增加2时y的变化：当自变量取$x+2$时，对应的函数值为：
$y' = 2(x + 2) + b = 2x + 4 + b$
函数值的变化量为$y' - y = (2x + 4 + b) - (2x + b) = 4$
所以y的值增加4。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；函数值变化量计算
【点评】
本题考查一次函数中自变量与函数值的变化规律，解题关键是通过已知变化关系求出系数k，属于对一次函数基础概念的应用考查，掌握一次函数的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以利用一次函数的表达式，结合题目给出的x和y的变化关系，先求出未知系数k的值，再计算x增加2时y的变化量即可。具体思考步骤：第一步，根据“x减少1时y减少2”的条件，把变化前后的x、y代入函数表达式，通过两个式子作差消去b，算出k的值；第二步，再把x增加2后的自变量代入表达式，和原来的函数值作差，就能得到y的变化情况。
【解析】
解：根据题意，当x的值减少1时，y的值减少2，即当自变量取$x-1$时，对应的函数值为$y-2$。
将x和$x-1$分别代入一次函数表达式，得：
$\begin{cases} y = kx + b &① \\ y - 2 = k(x - 1) + b &② \end{cases}$
用①式减②式，左边：$y - (y - 2) = 2$，右边：$kx + b - [k(x - 1) + b] = kx + b - kx + k - b = k$
因此可得$k=2$，即一次函数表达式为$y=2x + b$。
接下来计算当x的值增加2时y的变化：当自变量取$x+2$时，对应的函数值为：
$y' = 2(x + 2) + b = 2x + 4 + b$
函数值的变化量为$y' - y = (2x + 4 + b) - (2x + b) = 4$
所以y的值增加4。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；函数值变化量计算
【点评】
本题考查一次函数中自变量与函数值的变化规律，解题关键是通过已知变化关系求出系数k，属于对一次函数基础概念的应用考查，掌握一次函数的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
