10有下列各组量:① 周长为10 cm的长方形,其面积$y(cm^2)$与该长方形的一边长$x(cm)$之间的关系;② 计划修建铁路1 200 km,铺轨天数$y$与每日铺轨量$x(km/天)$之间的关系;③ 声音在空气中的传播速度约为340 m/s,声音在空气中的传播距离$y(m)$与传播时间$x(s)$之间的关系.其中,变量$y$与$x$之间的关系是一次函数关系的是(填序号).

10. ③

【分析】
解题首先要明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$是正比例函数，属于特殊的一次函数。解题时先分别推导三个情景中$y$与$x$的函数关系式，再对照一次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析三组量的函数关系：
1. 分析①：长方形周长为10cm，一边长为$x$cm，则相邻的另一边长为$(10÷2 - x)=(5 - x)$cm，面积$y=x(5 - x)=-x²+5x$，该函数最高次为二次，是二次函数，不属于一次函数。
2. 分析②：总铺轨长度为1200km，总长度=每日铺轨量×铺轨天数，即$1200=xy$，变形得$y=\frac{1200}{x}$，这是反比例函数，不属于一次函数。
3. 分析③：声音传播距离=传播速度×传播时间，已知速度为340m/s，因此$y=340x$，该式符合$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，是正比例函数，属于特殊的一次函数。
综上，只有③的变量关系是一次函数关系。
【答案】
③
【知识点】
一次函数的概念；函数解析式的列写
【点评】
本题考查一次函数的识别，解题的核心是先结合实际情境的数量关系列出函数表达式，再对照一次函数的定义判断，需要注意正比例函数属于特殊的一次函数，不要漏判。
【难度系数】
0.7

11 新考向 新定义题 新定义:$[a,b]$为一次函数$y=ax+b(a≠0,a,b$为实数)的“关联数”.若“关联数”为$[3,m-2]$的一次函数是正比例函数,则点$(1-m,1+m)$在第象限.

11. 二 【解析】$\because$“关联数”为$[3,m-2]$的一次函数是正比例函数,$\therefore y=3x+m-2$是正比例函数,$\therefore m-2=0$,解得$m=2$,$\therefore 1-m=-1$,$1+m=3$. 故点$(1-m,1+m)$在第二象限.

【分析】
解题时首先要理解题中给出的“关联数”新定义，明确$[a,b]$对应一次函数$y=ax+b$，据此先写出“关联数”$[3,m-2]$对应的一次函数表达式；再结合正比例函数的定义：正比例函数的常数项为0且一次项系数不为0，本题一次项系数3已经满足不为0的条件，因此只需令常数项等于0即可求出$m$的值；最后代入$m$的值算出点的横、纵坐标，根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可。
【解析】
$\because$“关联数”为$[3,m-2]$的一次函数是正比例函数，
$\therefore$该一次函数的表达式为$y=3x+m-2$，
根据正比例函数的定义，常数项为0，即$m-2=0$，
解得$m=2$，
$\therefore 1-m=1-2=-1$，$1+m=1+2=3$，
$\therefore$该点坐标为$(-1,3)$，横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
正比例函数的定义，象限坐标特征，新定义理解
【点评】
本题是结合新定义的基础题型，核心考查正比例函数的基础性质和象限判断方法，解题关键是准确理解新定义的含义，结合基础概念求解参数即可得到答案。
【难度系数】
0.8

12 教材P146例1变式 写出下列各题中两个变量之间的函数表达式，并判断该函数是否为一次函数、是否为正比例函数.
（1）长为8 cm的长方形的周长$C(\mathrm{cm})$随宽$b(\mathrm{cm})$的变化而变化；
（2）食堂原有煤120 t，每天用去5 t，$x$天后还剩下$y$ t煤；
（3）如图，$BE$，$CE$分别平分$∠ ABC$，$∠ ACD$，$∠ E=y°$，$∠ A=x°$.

12. （1）$C=2b+16$ 是一次函数，不是正比例函数
（2）$y=120-5x$ 是一次函数，不是正比例函数
（3）$y=\frac{1}{2}x$ 是一次函数，也是正比例函数

【分析】
我们分三小问逐步思考：
1. 第（1）问：回忆长方形周长公式，将已知的长代入公式，就能得到周长C和宽b的关系式，再结合一次函数、正比例函数的定义判断类型即可。
2. 第（2）问：根据“剩余煤量=原有煤量-已使用煤量”的数量关系，代入对应数据列表达式，再判断函数类型。
3. 第（3）问：先利用三角形外角的性质得到∠ACD和∠A、∠ABC的关系，∠ECD和∠E、∠EBC的关系，再结合角平分线的定义对式子化简，就能推导得到y和x的关系式，最后判断函数类型。
【解析】
（1）根据长方形周长公式$C=2(长+宽)$，已知长为8cm，宽为$b$cm，代入得：
$C=2(8+b)=2b+16$
该式符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，其中$k=2≠0$，$b=16≠0$，因此是一次函数，不是正比例函数。
（2）$x$天用去的煤量为$5x$t，根据剩余煤量=总煤量-用去的煤量，可得：
$y=120-5x$，即$y=-5x+120$
该式符合一次函数形式，其中$k=-5≠0$，$b=120≠0$，因此是一次函数，不是正比例函数。
（3）
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD=∠ A+∠ ABC=x°+∠ ABC$
∵CE平分∠ACD，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}(x°+∠ ABC)$
∵BE平分∠ABC，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
又
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴$∠ ECD=∠ E+∠ EBC=y°+\frac{1}{2}∠ ABC$
联立两个∠ECD的表达式：$\frac{1}{2}(x°+∠ ABC)=y°+\frac{1}{2}∠ ABC$
化简后得：$y=\frac{1}{2}x$
该式符合一次函数形式，其中$k=\frac{1}{2}≠0$，$b=0$，因此是一次函数，也是正比例函数。
【答案】
（1）$C=2b+16$，是一次函数，不是正比例函数
（2）$y=120-5x$，是一次函数，不是正比例函数
（3）$y=\frac{1}{2}x$，是一次函数，也是正比例函数
【知识点】
1. 一次函数与正比例函数的判定
2. 三角形外角的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题结合几何、实际生活场景考查函数表达式的列写，需要熟练掌握相关公式和性质，同时要明确正比例函数是特殊的一次函数，判断时注意区分两者的特征。
【难度系数】
0.75

13 如图，正方形ABCD的边长是1，E为边CD的中点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达点E停止。若点P经过的路程为x，△APE的面积为y，当$y=\frac{1}{3}$时，求x的值。

13. 由题意,易得点 $P$ 只有在边 $AB$ 或者边 $BC$ 上时,才有可能使得 $y=\frac{1}{3}$. 当点 $P$ 在边 $AB$ 上时,$S_{△ APE}=\frac{1}{2}AP· BC$,即 $y=\frac{1}{2}x$. 当 $y=\frac{1}{3}$ 时,$x=\frac{2}{3}$. 当点 $P$ 在边 $BC$ 上时,$S_{△ APE}=S_{梯形ABCE}-S_{△ ABP}-S_{△ ECP}$. $\because E$ 为 $CD$ 的中点,$\therefore EC=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}$. 由题意,得此时 $BP=x-1$,$CP=2-x$. $\therefore S_{△ APE}=\frac{1}{2}(EC+AB)· BC-\frac{1}{2}BP· AB-\frac{1}{2}EC· CP$,即 $y=\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{2})×1-\frac{1}{2}·(x-1)·1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}·(2-x)=\frac{3-x}{4}$. 当 $y=\frac{1}{3}$ 时,$x=\frac{5}{3}$. 综上所述,当 $y=\frac{1}{3}$ 时,$x$ 的值为 $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$

【分析】
这是一道动点结合面积计算的分段问题，解题时首先要根据动点P的运动路径分三种情况讨论：①P在AB边上；②P在BC边上；③P在CE边上。先判断每种情况下△APE的面积取值范围，确定哪些情况可能满足$y=\frac{1}{3}$，再分别对符合的情况列出面积关于x的表达式，代入$y=\frac{1}{3}$求解，最后验证解是否在对应区间内即可。
【解析】
解：根据点P的运动路径，分情况讨论：
1. 当点P在AB边上（$0＜x≤1$）时：
△APE的底为$AP=x$，高为正方形边长BC=1，
则$y = S_{△ APE} = \frac{1}{2} · AP · BC = \frac{1}{2}x$。
令$y=\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}$，解得$x=\frac{2}{3}$，满足$0＜\frac{2}{3}≤1$，符合条件。
2. 当点P在BC边上（$1＜x≤2$）时：
∵E为CD中点，
∴$EC=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}$，此时$BP=x-1$，$CP=2-x$。
用割补法计算面积：$S_{△ APE}=S_{梯形ABCE}-S_{△ ABP}-S_{△ ECP}$
其中$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}×(AB+EC)× BC=\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{2})×1=\frac{3}{4}$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB× BP=\frac{1}{2}×1×(x-1)=\frac{x-1}{2}$，
$S_{△ ECP}=\frac{1}{2}× EC× CP=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(2-x)=\frac{2-x}{4}$，
因此$y=\frac{3}{4}-\frac{x-1}{2}-\frac{2-x}{4}=\frac{3-x}{4}$。
令$y=\frac{1}{3}$，得$\frac{3-x}{4}=\frac{1}{3}$，解得$x=\frac{5}{3}$，满足$1＜\frac{5}{3}≤2$，符合条件。
3. 当点P在CE边上（$2＜x≤2.5$）时，△APE的最大面积为$\frac{1}{4}$，小于$\frac{1}{3}$，不存在满足条件的x。
【答案】
$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{3}$
【知识点】
动点分段讨论，面积计算，一次函数应用
【点评】
本题是动点与面积结合的经典题型，解题核心是根据动点位置的不同分类讨论，建立对应的面积表达式，求解后要注意检验解是否符合对应区间的取值范围，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.6