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1 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，则下列等式成立的是（
A.$\sin A=\dfrac{AC}{AB}$
B.$\sin A=\dfrac{BC}{AB}$
C.$\sin A=\dfrac{AC}{BC}$
D.$\sin A=\dfrac{BC}{AC}$
B
）。A.$\sin A=\dfrac{AC}{AB}$
B.$\sin A=\dfrac{BC}{AB}$
C.$\sin A=\dfrac{AC}{BC}$
D.$\sin A=\dfrac{BC}{AC}$
答案
1.B
解析
【分析】
解答本题首先要回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值。解题时先确定Rt△ABC中∠A的对边和斜边，再结合正弦定义得到sinA的表达式，最后和各选项比对即可选出正确答案。
【解析】
已知在△ABC中，∠C=90°，即△ABC为直角三角形，斜边为AB。
根据锐角正弦的定义：锐角的正弦值为该角的对边与斜边的比值。
对于∠A来说，它的对边是BC，斜边是AB，因此可得：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
逐一核对选项：
A选项$\frac{AC}{AB}$是∠A的邻边比斜边，为$\cos A$，不符合；
B选项符合推导结果，正确；
C选项$\frac{AC}{BC}$是∠A的邻边比对边，为$\cot A$，不符合；
D选项$\frac{BC}{AC}$是∠A的对边比邻边，为$\tan A$，不符合。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦的定义；直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对锐角正弦定义的理解与应用，解题的关键是准确找到直角三角形中对应角的对边和斜边，熟记三角函数的基本定义即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值。解题时先确定Rt△ABC中∠A的对边和斜边，再结合正弦定义得到sinA的表达式，最后和各选项比对即可选出正确答案。
【解析】
已知在△ABC中，∠C=90°，即△ABC为直角三角形，斜边为AB。
根据锐角正弦的定义：锐角的正弦值为该角的对边与斜边的比值。
对于∠A来说，它的对边是BC，斜边是AB，因此可得：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
逐一核对选项：
A选项$\frac{AC}{AB}$是∠A的邻边比斜边，为$\cos A$，不符合；
B选项符合推导结果，正确；
C选项$\frac{AC}{BC}$是∠A的邻边比对边，为$\cot A$，不符合；
D选项$\frac{BC}{AC}$是∠A的对边比邻边，为$\tan A$，不符合。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦的定义；直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对锐角正弦定义的理解与应用，解题的关键是准确找到直角三角形中对应角的对边和斜边，熟记三角函数的基本定义即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
② 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$BC=2$，那么$\cos B$的值是(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D
)。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
2.D
解析
【分析】
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。第一步先利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，第二步明确$∠ B$的邻边是$BC$，直接代入余弦定义计算，最后化简得到结果对应选项即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
根据锐角余弦的定义：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
代入数值得：$\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；锐角余弦的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟记锐角余弦的定义，区分清楚所求锐角的邻边和对边，结合勾股定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。第一步先利用勾股定理求出斜边$AB$的长度，第二步明确$∠ B$的邻边是$BC$，直接代入余弦定义计算，最后化简得到结果对应选项即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
根据锐角余弦的定义：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
代入数值得：$\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；锐角余弦的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟记锐角余弦的定义，区分清楚所求锐角的邻边和对边，结合勾股定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
3 已知锐角$α ＞ β$，那么下列说法中正确的是（
A.$\sinα ＞ \sinβ$，$\cosα ＞ \cosβ$
B.$\sinα ＞ \sinβ$，$\cosα ＜ \cosβ$
C.$\sinα ＜ \sinβ$，$\cosα ＞ \cosβ$
D.$\sinα ＜ \sinβ$，$\cosα ＜ \cosβ$
B
）。A.$\sinα ＞ \sinβ$，$\cosα ＞ \cosβ$
B.$\sinα ＞ \sinβ$，$\cosα ＜ \cosβ$
C.$\sinα ＜ \sinβ$，$\cosα ＞ \cosβ$
D.$\sinα ＜ \sinβ$，$\cosα ＜ \cosβ$
答案
3.B
解析
【分析】
题目给出两个锐角满足$α＞β$，需要判断二者正弦、余弦值的大小关系，解题可从两个角度切入：一是直接利用锐角范围内正弦、余弦的增减性判断，二是代入符合条件的特殊锐角，计算三角函数值对比大小。首先明确锐角范围是$0°∼90°$，回忆规律：锐角的正弦值是对边与斜边的比值，角度越大对边越长，所以正弦值随角度增大而增大；余弦是邻边与斜边的比值，角度越大邻边越短，所以余弦值随角度增大而减小，根据这个规律即可直接推导结论，也可通过特殊值法验证结果。
【解析】
已知$α、β$均为锐角，且$α＞β$，即$0°＜β＜α＜90°$。
1. 比较正弦值：在$0°∼90°$范围内，锐角的正弦值随角度的增大而增大，因为$α＞β$，所以$\sinα＞\sinβ$；
2. 比较余弦值：在$0°∼90°$范围内，锐角的余弦值随角度的增大而减小，因为$α＞β$，所以$\cosα＜\cosβ$。
综上可得$\sinα＞\sinβ$，$\cosα＜\cosβ$，对应选项B。
（也可通过特例验证：取$α=60°$，$β=30°$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}＞\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}＜\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，同样可得到B选项正确。）
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角正弦的增减性
2. 锐角余弦的增减性
【点评】
本题考查锐角三角函数增减性的应用，牢记正弦、余弦在锐角范围内的变化规律即可快速解题，也可通过代入特殊值的方法验证答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
题目给出两个锐角满足$α＞β$，需要判断二者正弦、余弦值的大小关系，解题可从两个角度切入：一是直接利用锐角范围内正弦、余弦的增减性判断，二是代入符合条件的特殊锐角，计算三角函数值对比大小。首先明确锐角范围是$0°∼90°$，回忆规律：锐角的正弦值是对边与斜边的比值，角度越大对边越长，所以正弦值随角度增大而增大；余弦是邻边与斜边的比值，角度越大邻边越短，所以余弦值随角度增大而减小，根据这个规律即可直接推导结论，也可通过特殊值法验证结果。
【解析】
已知$α、β$均为锐角，且$α＞β$，即$0°＜β＜α＜90°$。
1. 比较正弦值：在$0°∼90°$范围内，锐角的正弦值随角度的增大而增大，因为$α＞β$，所以$\sinα＞\sinβ$；
2. 比较余弦值：在$0°∼90°$范围内，锐角的余弦值随角度的增大而减小，因为$α＞β$，所以$\cosα＜\cosβ$。
综上可得$\sinα＞\sinβ$，$\cosα＜\cosβ$，对应选项B。
（也可通过特例验证：取$α=60°$，$β=30°$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}＞\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}＜\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，同样可得到B选项正确。）
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角正弦的增减性
2. 锐角余弦的增减性
【点评】
本题考查锐角三角函数增减性的应用，牢记正弦、余弦在锐角范围内的变化规律即可快速解题，也可通过代入特殊值的方法验证答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
④ 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，sinA=$\frac{2}{5}$，那么BC=
4
。答案
4.4
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握锐角正弦的定义，首先明确在直角三角形中，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。本题中∠C为直角，因此斜边是AB，∠A的对边是BC，我们可以直接利用正弦的定义建立等式，代入已知的AB长度和sinA的值，就能计算出BC的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
已知$AB=10$，$\sin A=\frac{2}{5}$，将数值代入得：
$\frac{BC}{10}=\frac{2}{5}$
等式两边同时乘10，得：
$BC=10×\frac{2}{5}=4$
【答案】
4
【知识点】
锐角正弦的定义、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查锐角正弦定义的直接应用，只要牢记正弦的计算公式，代入数值计算即可得出结果，计算时注意不要出现运算错误。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是掌握锐角正弦的定义，首先明确在直角三角形中，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。本题中∠C为直角，因此斜边是AB，∠A的对边是BC，我们可以直接利用正弦的定义建立等式，代入已知的AB长度和sinA的值，就能计算出BC的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
已知$AB=10$，$\sin A=\frac{2}{5}$，将数值代入得：
$\frac{BC}{10}=\frac{2}{5}$
等式两边同时乘10，得：
$BC=10×\frac{2}{5}=4$
【答案】
4
【知识点】
锐角正弦的定义、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查锐角正弦定义的直接应用，只要牢记正弦的计算公式，代入数值计算即可得出结果，计算时注意不要出现运算错误。
【难度系数】
0.9
5 已知点A(1，－2)，B(3，4)，则线段AB与x轴正半轴的夹角的正弦值为
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
。答案
5.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
解析
【分析】
要求线段AB与x轴正半轴夹角的正弦值，我们可以通过构造直角三角形求解：首先利用A、B两点的坐标计算横坐标差、纵坐标差，得到直角三角形的两条直角边长度，再用两点间距离公式求出线段AB的长度（即直角三角形的斜边），最后根据锐角正弦的定义，用纵坐标的差值（对边长度）除以斜边长度即可得到结果。
【解析】
设线段AB与x轴正半轴的夹角为$α$，由A(1，－2)，B(3，4)可得：
横坐标的差：$\Delta x = 3 - 1 = 2$
纵坐标的差：$\Delta y = 4 - (-2) = 6$
根据两点间距离公式，线段AB的长度为：
$AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
根据锐角正弦的定义，夹角$α$的对边为$\Delta y$，斜边为AB，因此：
$\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{\Delta y}{AB} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
【答案】
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 锐角正弦的定义
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题将坐标运算与锐角三角函数结合考查，解题的核心是通过两点坐标差构造直角三角形，准确计算各边长度后套用正弦定义即可求解，计算过程中注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.8
要求线段AB与x轴正半轴夹角的正弦值，我们可以通过构造直角三角形求解：首先利用A、B两点的坐标计算横坐标差、纵坐标差，得到直角三角形的两条直角边长度，再用两点间距离公式求出线段AB的长度（即直角三角形的斜边），最后根据锐角正弦的定义，用纵坐标的差值（对边长度）除以斜边长度即可得到结果。
【解析】
设线段AB与x轴正半轴的夹角为$α$，由A(1，－2)，B(3，4)可得：
横坐标的差：$\Delta x = 3 - 1 = 2$
纵坐标的差：$\Delta y = 4 - (-2) = 6$
根据两点间距离公式，线段AB的长度为：
$AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
根据锐角正弦的定义，夹角$α$的对边为$\Delta y$，斜边为AB，因此：
$\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{\Delta y}{AB} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
【答案】
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 锐角正弦的定义
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题将坐标运算与锐角三角函数结合考查，解题的核心是通过两点坐标差构造直角三角形，准确计算各边长度后套用正弦定义即可求解，计算过程中注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.8
⑥ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=8$，$AB=10$，若点$G$是$△ ABC$的重心，则$\cos∠ GCB=$
$\frac{4}{5}$
。答案
6.$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用勾股定理求出直角边$AC$的长度；第二步，结合重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，分中线的比为$2:1$（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离$=2:1$），同时直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可求出斜边中线的长度及$CG$的长度；第三步，过重心$G$作$BC$的垂线，构造包含$∠GCB$的直角三角形，利用平行线分线段成比例求出$∠GCB$的邻边长度，最后根据余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算即可。也可通过建立平面直角坐标系，利用重心坐标公式求出$G$点坐标，再结合余弦定义快速计算。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=8$，$AB=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
延长$CG$交$AB$于点$D$，
∵$G$是$△ABC$的重心，
∴$CD$是$AB$边上的中线，且$CG=\frac{2}{3}CD$。
∵$△ABC$是直角三角形，$D$是斜边$AB$中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$CG=\frac{2}{3}×5=\frac{10}{3}$。
过点$D$作$DE⊥BC$于点$E$，过点$G$作$GF⊥BC$于点$F$，
则$DE// AC// GF$，
∵$D$是$AB$中点，$DE// AC$，
∴$E$是$BC$中点，$CE=\frac{1}{2}BC=4$。
∵$GF// DE$，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴$CF=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGF$中，$\cos∠GCB=\frac{邻边}{斜边}=\frac{CF}{CG}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形重心的性质，锐角余弦的定义
【点评】
本题综合了直角三角形性质、三角形重心性质及锐角三角函数的计算，解题的核心是把所求锐角放在直角三角形中，通过几何性质求出对应边的长度再代入三角函数定义计算，属于常考的综合基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用勾股定理求出直角边$AC$的长度；第二步，结合重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，分中线的比为$2:1$（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离$=2:1$），同时直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可求出斜边中线的长度及$CG$的长度；第三步，过重心$G$作$BC$的垂线，构造包含$∠GCB$的直角三角形，利用平行线分线段成比例求出$∠GCB$的邻边长度，最后根据余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算即可。也可通过建立平面直角坐标系，利用重心坐标公式求出$G$点坐标，再结合余弦定义快速计算。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=8$，$AB=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
延长$CG$交$AB$于点$D$，
∵$G$是$△ABC$的重心，
∴$CD$是$AB$边上的中线，且$CG=\frac{2}{3}CD$。
∵$△ABC$是直角三角形，$D$是斜边$AB$中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$CG=\frac{2}{3}×5=\frac{10}{3}$。
过点$D$作$DE⊥BC$于点$E$，过点$G$作$GF⊥BC$于点$F$，
则$DE// AC// GF$，
∵$D$是$AB$中点，$DE// AC$，
∴$E$是$BC$中点，$CE=\frac{1}{2}BC=4$。
∵$GF// DE$，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴$CF=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGF$中，$\cos∠GCB=\frac{邻边}{斜边}=\frac{CF}{CG}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形重心的性质，锐角余弦的定义
【点评】
本题综合了直角三角形性质、三角形重心性质及锐角三角函数的计算，解题的核心是把所求锐角放在直角三角形中，通过几何性质求出对应边的长度再代入三角函数定义计算，属于常考的综合基础题。
【难度系数】
0.7
7 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$\sin A=\dfrac{20}{21}$，那么$\cos B=$
$\frac{20}{21}$
。答案
7.$\frac{20}{21}$
解析
【分析】
拿到本题首先观察已知条件：是直角三角形且∠C=90°，首先可得出∠A与∠B互余（和为90°）。接下来求cosB，有两种思路：一是回忆互余锐角的三角函数规律：cos(90°-α)=sinα，因此cosB=cos(90°-A)=sinA，直接代入已知值即可；二是用三角函数定义推导：sinA是∠A的对边与斜边的比，cosB是∠B的邻边与斜边的比，而∠A的对边就是∠B的邻边，斜边为公共边，因此二者相等，也能得出结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ B = 90° - ∠ A$
根据互余锐角的三角函数关系：$\cos(90°-α) = \sinα$
可得：$\cos B = \cos(90°-∠ A) = \sin A$
已知$\sin A=\dfrac{20}{21}$，代入得$\cos B = \dfrac{20}{21}$
（也可通过定义推导：
设$∠ A$的对边$BC=20k$，斜边$AB=21k$（$k＞0$），符合$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{20}{21}$
$∠ B$的邻边为$BC$，因此$\cos B=\dfrac{∠ B的邻边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{20k}{21k}=\dfrac{20}{21}$）
【答案】
$\dfrac{20}{21}$
【知识点】
直角三角形性质、互余角三角函数关系、锐角三角函数定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是抓住直角三角形两锐角互余的特点，结合三角函数的性质或定义即可快速求解，是对基础知识点掌握程度的考查。
【难度系数】
0.85
拿到本题首先观察已知条件：是直角三角形且∠C=90°，首先可得出∠A与∠B互余（和为90°）。接下来求cosB，有两种思路：一是回忆互余锐角的三角函数规律：cos(90°-α)=sinα，因此cosB=cos(90°-A)=sinA，直接代入已知值即可；二是用三角函数定义推导：sinA是∠A的对边与斜边的比，cosB是∠B的邻边与斜边的比，而∠A的对边就是∠B的邻边，斜边为公共边，因此二者相等，也能得出结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ B = 90° - ∠ A$
根据互余锐角的三角函数关系：$\cos(90°-α) = \sinα$
可得：$\cos B = \cos(90°-∠ A) = \sin A$
已知$\sin A=\dfrac{20}{21}$，代入得$\cos B = \dfrac{20}{21}$
（也可通过定义推导：
设$∠ A$的对边$BC=20k$，斜边$AB=21k$（$k＞0$），符合$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{20}{21}$
$∠ B$的邻边为$BC$，因此$\cos B=\dfrac{∠ B的邻边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{20k}{21k}=\dfrac{20}{21}$）
【答案】
$\dfrac{20}{21}$
【知识点】
直角三角形性质、互余角三角函数关系、锐角三角函数定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是抓住直角三角形两锐角互余的特点，结合三角函数的性质或定义即可快速求解，是对基础知识点掌握程度的考查。
【难度系数】
0.85
⑧ 已知等腰△ABC的两边长分别是4和6，那么此等腰三角形的底角的正弦值为
$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
。答案
8.$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
解析
【分析】
首先，等腰三角形已知两边长但未明确腰和底，需分两种情况讨论：①腰长为4，底边长为6；②腰长为6，底边长为4。其次，求底角的正弦值需要构造直角三角形，可通过作等腰三角形底边上的高，利用等腰三角形三线合一得到底边一半的长度，再用勾股定理求出高，最后根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）计算即可，同时要注意验证两种情况的三边是否满足三角形三边关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时：
过顶点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一，可得$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$。
底角∠B的正弦值：$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{7}}{4}$。
2. 当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时：
过顶点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一，可得$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
底角∠B的正弦值：$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
两种情况均满足三角形三边关系，均成立。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形边长的两种分类情况导致漏解，解题时需先对已知边长的身份进行分类，再验证三边是否符合三角形构成条件，最后结合直角三角形的相关性质求解三角函数值。
【难度系数】
0.7
首先，等腰三角形已知两边长但未明确腰和底，需分两种情况讨论：①腰长为4，底边长为6；②腰长为6，底边长为4。其次，求底角的正弦值需要构造直角三角形，可通过作等腰三角形底边上的高，利用等腰三角形三线合一得到底边一半的长度，再用勾股定理求出高，最后根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）计算即可，同时要注意验证两种情况的三边是否满足三角形三边关系。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时：
过顶点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一，可得$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$。
底角∠B的正弦值：$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{7}}{4}$。
2. 当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时：
过顶点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一，可得$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
底角∠B的正弦值：$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
两种情况均满足三角形三边关系，均成立。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角正弦的定义
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形边长的两种分类情况导致漏解，解题时需先对已知边长的身份进行分类，再验证三边是否符合三角形构成条件，最后结合直角三角形的相关性质求解三角函数值。
【难度系数】
0.7
9 如图是一张直角三角形的纸片，直角边AC=6cm，$\sin B=\frac{3}{5}$，现将$△ ABC$折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么DE的长等于
$\frac{15}{4}$
。答案
9.$\frac{15}{4}$ [提示:先在Rt△ACB中求出AB的长,再利用翻折获得BE的长,最后在Rt△DEB中求出DE的长。]
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，先在Rt△ABC中，利用锐角正弦的定义，结合已知的AC长度和sinB的值求出斜边AB的长；第二步，根据折叠的性质，可知折痕DE是AB的垂直平分线，由此得到BE的长度以及∠DEB为直角；第三步，在Rt△DEB中，利用∠B的三角函数值即可求出DE的长度。
【解析】
解：在Rt△ACB中，∠C=90°，
∵$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$AC=6\mathrm{cm}$，
∴$\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10\mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得：DE垂直平分AB，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=5\mathrm{cm}$，$∠ DEB=90°$。
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{cm}$，
∴$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
在Rt△DEB中，$∠ DEB=90°$，$\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{3}{4}$，
代入$BE=5\mathrm{cm}$得：$\frac{DE}{5}=\frac{3}{4}$，
解得$DE=\frac{15}{4}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是直角三角形与折叠变换结合的基础题，解题核心是抓住折叠前后的不变量，结合直角三角形的边角关系求解，是几何中较为常见的综合题型。
【难度系数】
0.6
解题时可按三步思考：第一步，先在Rt△ABC中，利用锐角正弦的定义，结合已知的AC长度和sinB的值求出斜边AB的长；第二步，根据折叠的性质，可知折痕DE是AB的垂直平分线，由此得到BE的长度以及∠DEB为直角；第三步，在Rt△DEB中，利用∠B的三角函数值即可求出DE的长度。
【解析】
解：在Rt△ACB中，∠C=90°，
∵$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$AC=6\mathrm{cm}$，
∴$\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10\mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得：DE垂直平分AB，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=5\mathrm{cm}$，$∠ DEB=90°$。
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{cm}$，
∴$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
在Rt△DEB中，$∠ DEB=90°$，$\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{3}{4}$，
代入$BE=5\mathrm{cm}$得：$\frac{DE}{5}=\frac{3}{4}$，
解得$DE=\frac{15}{4}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是直角三角形与折叠变换结合的基础题，解题核心是抓住折叠前后的不变量，结合直角三角形的边角关系求解，是几何中较为常见的综合题型。
【难度系数】
0.6
⑩ 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，则$\sin∠ ECM=$
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
。答案
10.$\frac{\sqrt{5}}{5}$ [提示:设AE=x,则BE=3x,AD=CD=4x,AM=DM=$\frac{1}{2}$AD=2x。可以证明△AEM与△CDM相似,则EM⊥MC,EM:CM=1:2。]
解析
【分析】
要求$\sin∠ECM$，根据正弦的定义，需要先确定$∠ECM$所在的直角三角形，再计算该角的对边与斜边的比值。题目仅给出线段的比例关系，无具体长度，可通过设参数的方法，用同一个未知数表示出所有相关线段的长度，再借助勾股逆定理（或相似三角形）证明$△ EMC$为直角三角形，最后代入正弦公式计算即可。
【解析】
设$AE=x$，由$BE=3AE$得$BE=3x$，
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC=CD=AD=AE+BE=4x$，$∠A=∠B=∠D=90°$，
∵$M$是$AD$的中点，
∴$AM=MD=\frac{1}{2}AD=2x$，
在$\mathrm{Rt}△ AEM$中，由勾股定理得：
$EM^2=AE^2+AM^2=x^2+(2x)^2=5x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDM$中，由勾股定理得：
$MC^2=MD^2+CD^2=(2x)^2+(4x)^2=20x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$EC^2=BE^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=25x^2$，
∵$EM^2+MC^2=5x^2+20x^2=25x^2=EC^2$，
∴$△ EMC$是直角三角形，且$∠EMC=90°$，
根据正弦的定义，$\sin∠ECM=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{EM}{EC}$，
∵$EM=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5}x$，$EC=\sqrt{25x^2}=5x$，
∴$\sin∠ECM=\frac{\sqrt{5}x}{5x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
（也可通过相似证明直角：$\because \frac{AE}{MD}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},\frac{AM}{CD}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2},∠A=∠D=90°$，$\therefore△ AEM∽△ DMC$，推出$∠EMC=90°$，后续计算同上。）
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理及逆定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题通过参数法将线段比例关系转化为可计算的长度，解题核心是验证$∠ECM$所在三角形为直角三角形，既可以用勾股逆定理判断，也可以通过相似三角形推导，灵活运用几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要求$\sin∠ECM$，根据正弦的定义，需要先确定$∠ECM$所在的直角三角形，再计算该角的对边与斜边的比值。题目仅给出线段的比例关系，无具体长度，可通过设参数的方法，用同一个未知数表示出所有相关线段的长度，再借助勾股逆定理（或相似三角形）证明$△ EMC$为直角三角形，最后代入正弦公式计算即可。
【解析】
设$AE=x$，由$BE=3AE$得$BE=3x$，
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC=CD=AD=AE+BE=4x$，$∠A=∠B=∠D=90°$，
∵$M$是$AD$的中点，
∴$AM=MD=\frac{1}{2}AD=2x$，
在$\mathrm{Rt}△ AEM$中，由勾股定理得：
$EM^2=AE^2+AM^2=x^2+(2x)^2=5x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDM$中，由勾股定理得：
$MC^2=MD^2+CD^2=(2x)^2+(4x)^2=20x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$EC^2=BE^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=25x^2$，
∵$EM^2+MC^2=5x^2+20x^2=25x^2=EC^2$，
∴$△ EMC$是直角三角形，且$∠EMC=90°$，
根据正弦的定义，$\sin∠ECM=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{EM}{EC}$，
∵$EM=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5}x$，$EC=\sqrt{25x^2}=5x$，
∴$\sin∠ECM=\frac{\sqrt{5}x}{5x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
（也可通过相似证明直角：$\because \frac{AE}{MD}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},\frac{AM}{CD}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2},∠A=∠D=90°$，$\therefore△ AEM∽△ DMC$，推出$∠EMC=90°$，后续计算同上。）
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理及逆定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题通过参数法将线段比例关系转化为可计算的长度，解题核心是验证$∠ECM$所在三角形为直角三角形，既可以用勾股逆定理判断，也可以通过相似三角形推导，灵活运用几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
