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1. 以下列长度的线段为边不能组成直角三角形的是(
A.$8,15,17$
B.$4,5,\sqrt{41}$
C.$\dfrac{5}{3},1,\dfrac{4}{3}$
D.$40,50,60$
D
)A.$8,15,17$
B.$4,5,\sqrt{41}$
C.$\dfrac{5}{3},1,\dfrac{4}{3}$
D.$40,50,60$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断给定边长的线段能否组成直角三角形，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每组线段中的最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可作出判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一分析选项：
A. 最长边为17，$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$17^2 = 289$，故$8^2 + 15^2 = 17^2$，能组成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为$\sqrt{41}$，$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$(\sqrt{41})^2 = 41$，故$4^2 + 5^2 = (\sqrt{41})^2$，能组成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为$\dfrac{5}{3}$，$1^2 + (\dfrac{4}{3})^2 = 1 + \dfrac{16}{9} = \dfrac{25}{9}$，$(\dfrac{5}{3})^2 = \dfrac{25}{9}$，故$1^2 + (\dfrac{4}{3})^2 = (\dfrac{5}{3})^2$，能组成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为60，$40^2 + 50^2 = 1600 + 2500 = 4100$，$60^2 = 3600$，$4100 ≠ 3600$，不能组成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需注意先确定最长边再验证平方关系，计算平方时要细心，避免计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断给定边长的线段能否组成直角三角形，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每组线段中的最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可作出判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一分析选项：
A. 最长边为17，$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$17^2 = 289$，故$8^2 + 15^2 = 17^2$，能组成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为$\sqrt{41}$，$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$(\sqrt{41})^2 = 41$，故$4^2 + 5^2 = (\sqrt{41})^2$，能组成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为$\dfrac{5}{3}$，$1^2 + (\dfrac{4}{3})^2 = 1 + \dfrac{16}{9} = \dfrac{25}{9}$，$(\dfrac{5}{3})^2 = \dfrac{25}{9}$，故$1^2 + (\dfrac{4}{3})^2 = (\dfrac{5}{3})^2$，能组成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为60，$40^2 + 50^2 = 1600 + 2500 = 4100$，$60^2 = 3600$，$4100 ≠ 3600$，不能组成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需注意先确定最长边再验证平方关系，计算平方时要细心，避免计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.8
2. 下列命题中,原命题与其逆命题均为真命题的个数为(
①全等三角形对应边相等;②全等三角形对应角相等;③等腰三角形两条腰上的高相等;
④如果两个实数相等,那么它们的平方相等;⑤两条平行直线被第三条直线所截,截得的同旁内角的角平分线互相垂直.
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)①全等三角形对应边相等;②全等三角形对应角相等;③等腰三角形两条腰上的高相等;
④如果两个实数相等,那么它们的平方相等;⑤两条平行直线被第三条直线所截,截得的同旁内角的角平分线互相垂直.
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确：把原命题的条件和结论互换就能得到它的逆命题，我们需要逐个判断5个命题的原命题、逆命题是否都为真命题，最后统计符合要求的命题个数，对应选出正确选项。解题时先拆分每个命题的条件和结论，再结合已学的几何、代数性质判断真假即可。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
①原命题：全等三角形对应边相等。这是全等三角形的基本性质，是真命题；
逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形。这是全等三角形的SSS判定定理，是真命题，符合要求。
②原命题：全等三角形对应角相等。这是全等三角形的性质，是真命题；
逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形。反例：两个大小不同的等边三角形，对应角都相等，但不全等，逆命题是假命题，不符合要求。
③原命题：等腰三角形两条腰上的高相等。证明：等腰三角形两腰长度相等，同一个三角形面积固定，面积=1/2×腰长×对应高，因此两条腰上的高相等，原命题是真命题；
逆命题：两条边上的高相等的三角形是等腰三角形。证明：面积=1/2×边长×对应高，高相等则对应的两条边长相等，三角形为等腰三角形，逆命题是真命题，符合要求。
④原命题：如果两个实数相等，那么它们的平方相等。两个相等的实数平方必然相等，原命题是真命题；
逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等。反例：2和-2的平方都是4，但两数不相等，逆命题是假命题，不符合要求。
⑤原命题：两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直。证明：两直线平行，同旁内角和为180°，角平分线将两个角各平分一半，两个半角的和为180°÷2=90°，因此两条角平分线的夹角为180°-90°=90°，即互相垂直，原命题是真命题；
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行。证明：角平分线互相垂直，则两个半角的和为90°，对应的同旁内角和为90°×2=180°，同旁内角互补则两直线平行，逆命题是真命题，符合要求。
综上，原命题和逆命题均为真命题的有①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
命题与逆命题，全等三角形判定与性质，平行线的性质与判定
【点评】
本题综合考查了命题的改写、真假判断，以及几何基本定理和代数性质的应用，解题时要注意必须同时验证原命题和逆命题的真假，不要漏判逆命题，也可以通过举反例快速判断假命题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确：把原命题的条件和结论互换就能得到它的逆命题，我们需要逐个判断5个命题的原命题、逆命题是否都为真命题，最后统计符合要求的命题个数，对应选出正确选项。解题时先拆分每个命题的条件和结论，再结合已学的几何、代数性质判断真假即可。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
①原命题：全等三角形对应边相等。这是全等三角形的基本性质，是真命题；
逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形。这是全等三角形的SSS判定定理，是真命题，符合要求。
②原命题：全等三角形对应角相等。这是全等三角形的性质，是真命题；
逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形。反例：两个大小不同的等边三角形，对应角都相等，但不全等，逆命题是假命题，不符合要求。
③原命题：等腰三角形两条腰上的高相等。证明：等腰三角形两腰长度相等，同一个三角形面积固定，面积=1/2×腰长×对应高，因此两条腰上的高相等，原命题是真命题；
逆命题：两条边上的高相等的三角形是等腰三角形。证明：面积=1/2×边长×对应高，高相等则对应的两条边长相等，三角形为等腰三角形，逆命题是真命题，符合要求。
④原命题：如果两个实数相等，那么它们的平方相等。两个相等的实数平方必然相等，原命题是真命题；
逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等。反例：2和-2的平方都是4，但两数不相等，逆命题是假命题，不符合要求。
⑤原命题：两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直。证明：两直线平行，同旁内角和为180°，角平分线将两个角各平分一半，两个半角的和为180°÷2=90°，因此两条角平分线的夹角为180°-90°=90°，即互相垂直，原命题是真命题；
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行。证明：角平分线互相垂直，则两个半角的和为90°，对应的同旁内角和为90°×2=180°，同旁内角互补则两直线平行，逆命题是真命题，符合要求。
综上，原命题和逆命题均为真命题的有①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
命题与逆命题，全等三角形判定与性质，平行线的性质与判定
【点评】
本题综合考查了命题的改写、真假判断，以及几何基本定理和代数性质的应用，解题时要注意必须同时验证原命题和逆命题的真假，不要漏判逆命题，也可以通过举反例快速判断假命题。
【难度系数】
0.6
3. 在直角三角形中,若两条边的长分别是1 cm,2 cm,则第三边的长为(
A.3 cm
B.$\sqrt{5}$ cm
C.2 cm或$\sqrt{5}$ cm
D.$\sqrt{3}$ cm或$\sqrt{5}$ cm
D
)A.3 cm
B.$\sqrt{5}$ cm
C.2 cm或$\sqrt{5}$ cm
D.$\sqrt{3}$ cm或$\sqrt{5}$ cm
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题核心是注意分类讨论：题目仅说明两条边长为1cm和2cm，未明确这两条边都是直角边，因此需要分“2cm的边为斜边”“2cm的边为直角边”两种情况分别计算第三边，再结合边长为正数的要求筛选符合条件的结果。
【解析】
因为题目未明确已知两条边是直角边还是斜边，所以分两种情况讨论：
① 当长为2cm的边是斜边时，第三边为直角边，设第三边长为$x$ cm，
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$x^2 + 1^2 = 2^2$
解得$x=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$（边长为正数，舍去负根）；
② 当长为2cm的边是直角边时，第三边为斜边，设第三边长为$y$ cm，
根据勾股定理可得：
$1^2 + 2^2 = y^2$
解得$y=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$（边长为正数，舍去负根）。
综上，第三边的长为$\sqrt{3}$ cm或$\sqrt{5}$ cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础易错题，易错点在于默认已知的两条边都是直角边，仅算出$\sqrt{5}$这一种结果导致漏解。解题时要注意审题，当题目未明确直角三角形的直角边、斜边时，一定要分情况讨论，同时舍去不符合实际意义的负数值。
【难度系数】
0.6
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题核心是注意分类讨论：题目仅说明两条边长为1cm和2cm，未明确这两条边都是直角边，因此需要分“2cm的边为斜边”“2cm的边为直角边”两种情况分别计算第三边，再结合边长为正数的要求筛选符合条件的结果。
【解析】
因为题目未明确已知两条边是直角边还是斜边，所以分两种情况讨论：
① 当长为2cm的边是斜边时，第三边为直角边，设第三边长为$x$ cm，
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$x^2 + 1^2 = 2^2$
解得$x=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$（边长为正数，舍去负根）；
② 当长为2cm的边是直角边时，第三边为斜边，设第三边长为$y$ cm，
根据勾股定理可得：
$1^2 + 2^2 = y^2$
解得$y=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$（边长为正数，舍去负根）。
综上，第三边的长为$\sqrt{3}$ cm或$\sqrt{5}$ cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础易错题，易错点在于默认已知的两条边都是直角边，仅算出$\sqrt{5}$这一种结果导致漏解。解题时要注意审题，当题目未明确直角三角形的直角边、斜边时，一定要分情况讨论，同时舍去不符合实际意义的负数值。
【难度系数】
0.6
4.已知等腰三角形的腰长为17 cm，底边上的中线长为15 cm，则它的周长为(
A.42 cm
B.50 cm
C.49 cm
D.47 cm
B
)A.42 cm
B.50 cm
C.49 cm
D.47 cm
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合（三线合一），由此可知底边上的中线同时是底边上的高，可将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形；再结合直角三角形的勾股定理，即可求出底边长度的一半，进而得到完整底边长，最后代入周长公式算出结果即可。
【解析】
解：根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的中线同时是底边上的高，因此该中线将等腰三角形分为两个全等的直角三角形。
直角三角形的斜边为等腰三角形的腰长17cm，一条直角边为中线长15cm，设底边的一半长度为x cm，由勾股定理得：
$x^2 + 15^2 = 17^2$
计算得：$x^2 = 289 - 225 = 64$
因为边长为正数，所以$x=8$
则等腰三角形的底边长为$2×8=16$cm
三角形周长=腰长×2 + 底边长 = $17×2 +16 = 34 +16 = 50$cm
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，周长计算
【点评】
本题是几何基础运算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质完成图形转化，将等腰三角形问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握相关基础性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合（三线合一），由此可知底边上的中线同时是底边上的高，可将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形；再结合直角三角形的勾股定理，即可求出底边长度的一半，进而得到完整底边长，最后代入周长公式算出结果即可。
【解析】
解：根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的中线同时是底边上的高，因此该中线将等腰三角形分为两个全等的直角三角形。
直角三角形的斜边为等腰三角形的腰长17cm，一条直角边为中线长15cm，设底边的一半长度为x cm，由勾股定理得：
$x^2 + 15^2 = 17^2$
计算得：$x^2 = 289 - 225 = 64$
因为边长为正数，所以$x=8$
则等腰三角形的底边长为$2×8=16$cm
三角形周长=腰长×2 + 底边长 = $17×2 +16 = 34 +16 = 50$cm
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，周长计算
【点评】
本题是几何基础运算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质完成图形转化，将等腰三角形问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握相关基础性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图所示,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,则点A到BC的距离等于(
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
答案
5.C
解析
【分析】
要求点A到BC的距离，本质是求△ABC中BC边上的高，可按三步思考：首先，网格中求格点三角形面积常用割补法，先算出△ABC的面积；其次，BC两端点都在格点上，可将其看作直角三角形的斜边，用勾股定理算出BC的长度；最后，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知的面积和底长，反推出高，即为所求的点A到BC的距离。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积：用割补法可得$S_{△ ABC}=2$；
2. 计算BC的长度：观察格点可知，B到C横向相差3个单位，纵向相差1个单位，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
3. 设点A到BC的距离为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}· BC· h$，代入数据得：
$2=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h$
解得$h=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题是典型的网格类几何计算题，核心是灵活运用割补法求面积、勾股定理求线段长，再通过面积公式间接求解高，体现了转化的数学思想，是此类题型的常规考法。
【难度系数】
0.6
要求点A到BC的距离，本质是求△ABC中BC边上的高，可按三步思考：首先，网格中求格点三角形面积常用割补法，先算出△ABC的面积；其次，BC两端点都在格点上，可将其看作直角三角形的斜边，用勾股定理算出BC的长度；最后，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知的面积和底长，反推出高，即为所求的点A到BC的距离。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的面积：用割补法可得$S_{△ ABC}=2$；
2. 计算BC的长度：观察格点可知，B到C横向相差3个单位，纵向相差1个单位，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
3. 设点A到BC的距离为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}· BC· h$，代入数据得：
$2=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h$
解得$h=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题是典型的网格类几何计算题，核心是灵活运用割补法求面积、勾股定理求线段长，再通过面积公式间接求解高，体现了转化的数学思想，是此类题型的常规考法。
【难度系数】
0.6
6. 如图所示,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,那么这个水池的深度是(
A.26尺
B.24尺
C.13尺
D.12尺
D
)A.26尺
B.24尺
C.13尺
D.12尺
答案
6.D
解析
【分析】
解决这道题首先要将实际问题转化为直角三角形模型求解：第一步设未知量，设水池深度为x尺，可得芦苇总长度为(x+1)尺；第二步确定直角三角形的各边长度：水池是边长10尺的正方形，芦苇在水池中央，因此芦苇根部到岸边的水平距离为10÷2=5尺，水深、水平距离、芦苇长度恰好构成直角三角形的三条边，其中芦苇长度为斜边；第三步根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设水池的深度为$ x $尺，则芦苇的总长度为$ (x+1) $尺。
已知水面是边长为10尺的正方形，芦苇在水池中央，因此芦苇底部到岸边的水平距离为$ 10÷2=5 $尺。
把芦苇拉到岸边时，水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去等式两侧的$ x^2 $，整理得：
$2x = 24$
解得$ x=12 $，即水池深度为12尺。
【答案】
D
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列方程解应用题
【点评】
这道题是勾股定理结合方程解决实际问题的典型习题，解题的核心是找准几何模型，梳理清楚三条边的数量关系，再结合勾股定理建立方程求解即可，属于基础应用类习题。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要将实际问题转化为直角三角形模型求解：第一步设未知量，设水池深度为x尺，可得芦苇总长度为(x+1)尺；第二步确定直角三角形的各边长度：水池是边长10尺的正方形，芦苇在水池中央，因此芦苇根部到岸边的水平距离为10÷2=5尺，水深、水平距离、芦苇长度恰好构成直角三角形的三条边，其中芦苇长度为斜边；第三步根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设水池的深度为$ x $尺，则芦苇的总长度为$ (x+1) $尺。
已知水面是边长为10尺的正方形，芦苇在水池中央，因此芦苇底部到岸边的水平距离为$ 10÷2=5 $尺。
把芦苇拉到岸边时，水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去等式两侧的$ x^2 $，整理得：
$2x = 24$
解得$ x=12 $，即水池深度为12尺。
【答案】
D
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列方程解应用题
【点评】
这道题是勾股定理结合方程解决实际问题的典型习题，解题的核心是找准几何模型，梳理清楚三条边的数量关系，再结合勾股定理建立方程求解即可，属于基础应用类习题。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示，以点O为圆心、OA长为半径画弧，交数轴于点B，则点B表示的数为(
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$1+\sqrt{2}$
C
)A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$1+\sqrt{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：弧是以O为圆心、OA为半径画出的，因此OB和OA是同圆的半径，长度相等；接下来要计算OA的长度，图中OA是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度均为1，可运用勾股定理求出OA的长度，也就得到了OB的长度，结合点B在数轴原点右侧，即可确定点B表示的数。
【解析】
解：由图可得，OA为直角边长均为1的直角三角形的斜边，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
∵弧是以O为圆心，OA为半径作的，交数轴于点B
∴$OB=OA=\sqrt{2}$
又
∵点O为数轴原点，点B在原点右侧
∴点B表示的数为$\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；圆的半径相等；实数与数轴
【点评】
本题是数形结合的基础题，将数轴、勾股定理和圆的基本性质相结合，解题的关键是抓住同圆半径相等的特点，结合勾股定理求出线段长度，再对应数轴上的数即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：弧是以O为圆心、OA为半径画出的，因此OB和OA是同圆的半径，长度相等；接下来要计算OA的长度，图中OA是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度均为1，可运用勾股定理求出OA的长度，也就得到了OB的长度，结合点B在数轴原点右侧，即可确定点B表示的数。
【解析】
解：由图可得，OA为直角边长均为1的直角三角形的斜边，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
∵弧是以O为圆心，OA为半径作的，交数轴于点B
∴$OB=OA=\sqrt{2}$
又
∵点O为数轴原点，点B在原点右侧
∴点B表示的数为$\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；圆的半径相等；实数与数轴
【点评】
本题是数形结合的基础题，将数轴、勾股定理和圆的基本性质相结合，解题的关键是抓住同圆半径相等的特点，结合勾股定理求出线段长度，再对应数轴上的数即可。
【难度系数】
0.8
8. 把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙3米，则梯子顶端离地面(
A.2米
B.3米
C.4米
D.4.5米
C
)A.2米
B.3米
C.4米
D.4.5米
答案
8.C
解析
【分析】
首先从题目场景可以抽象出直角三角形模型：墙面与地面垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，其中梯子是斜边，梯子底端离墙的距离、梯子顶端离地面的高度是两条直角边。已知斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意得，墙面与地面垂直，梯子、墙面、地面构成直角三角形。
已知梯子长（斜边长）$c=5$米，梯子底端离墙的距离（一条直角边长）$a=3$米，设梯子顶端离地面高度为$b$米。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入数值：
$3^2+b^2=5^2$
$9+b^2=25$
$b^2=25-9=16$
因长度为正数，故$b=\sqrt{16}=4$，即梯子顶端离地面4米。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题关键是准确从生活场景中抽象出直角三角形，明确各边对应的长度后代入公式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
首先从题目场景可以抽象出直角三角形模型：墙面与地面垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，其中梯子是斜边，梯子底端离墙的距离、梯子顶端离地面的高度是两条直角边。已知斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意得，墙面与地面垂直，梯子、墙面、地面构成直角三角形。
已知梯子长（斜边长）$c=5$米，梯子底端离墙的距离（一条直角边长）$a=3$米，设梯子顶端离地面高度为$b$米。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入数值：
$3^2+b^2=5^2$
$9+b^2=25$
$b^2=25-9=16$
因长度为正数，故$b=\sqrt{16}=4$，即梯子顶端离地面4米。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题关键是准确从生活场景中抽象出直角三角形，明确各边对应的长度后代入公式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
