1. 如果等腰三角形的顶角为$30°$,那么等腰三角形一个底角的度数为()

A.$75°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$65°$

1.A

【分析】
首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角度数相等；再结合三角形内角和为180°的定理，已知顶角的度数，先计算出两个底角的度数之和，再除以2即可得到单个底角的度数，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，已知该等腰三角形顶角为30°
∴一个底角的度数为：$(180° - 30°) ÷ 2 = 150° ÷ 2 = 75°$
故选A
【答案】
A
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形的边角性质以及三角形内角和的应用，熟记相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD为中线,∠B=70°,则∠1的度数为()

A.10°
B.20°
C.30°
D.40°

2.B

【分析】
拿到题目先观察已知条件：AB=AC说明△ABC是等腰三角形，首先回忆等腰三角形的性质：①等边对等角，因此可由∠B的度数得到∠C的度数，再结合三角形内角和是180°，就能算出顶角∠BAC的大小；②等腰三角形三线合一，即底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，题目中AD是底边BC的中线，因此AD也是∠BAC的角平分线，所以∠1等于∠BAC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=70°（等腰三角形等边对等角）。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。
又
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠1=½∠BAC=½×40°=20°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
这道题属于基础题，核心考查等腰三角形性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$△ ABC$为等边三角形，$AD ⊥ BC$，$AE=AD$，则$∠ CDE$的度数为()

A.$15°$
B.$25°$
C.$45°$
D.$75°$

3.A

【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：①首先根据等边三角形的性质和AD⊥BC的垂直关系，利用等腰三角形三线合一的性质，求出∠DAC和∠ADC的度数；②再由AE=AD可知△ADE为等腰三角形，结合三角形内角和定理算出∠ADE的度数；③最后用∠ADC的度数减去∠ADE的度数，即可得到∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
∵AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°（等腰三角形三线合一）
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∵AE=AD
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADE=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础常考题，核心是熟练运用等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，一步步推导所求角的度数，解题时注意理清各个角之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.75

4. 用反证法证明“在$△ ABC$中，若$∠ C$是直角，则$∠ B$一定是锐角”时，应假设()

A.$∠ B$是锐角
B.$∠ B$不是锐角
C.$∠ C$是直角
D.$∠ C$不是直角

4.B

【分析】
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法的第一步是假设待证明命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。解题思路如下：先定位所证命题的结论是“∠B一定是锐角”，再推导该结论的反面表述：锐角的反面是角为直角或者钝角，即“∠B不是锐角”，对应正确选项即可。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题需要证明的结论是“∠B一定是锐角”，它的反面是“∠B不是锐角”（包含∠B是直角、∠B是钝角两种情况），因此应假设∠B不是锐角，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.反证法 2.角的分类
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题核心是准确区分命题的条件和结论，正确写出结论的否定形式，属于对反证法基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

5. 下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是()

A.$a=3,b=3,c=4$
B.$∠B=50°,∠C=80°$
C.$∠A:∠B:∠C=1:1:2$
D.$a:b:c=2:3:4$

5.D

【分析】
解题前先明确等腰三角形的两个判定依据：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。解题时逐个分析四个选项，判断各选项是否能满足上述两个判定依据之一，无法满足的即为本题答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：已知边长$a=3$，$b=3$，可得$a=b$，满足“两边相等的三角形是等腰三角形”，可判定$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意；
B选项：根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-80°=50°$，即$∠ A=∠ B$，满足“等角对等边”，可判定$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意；
C选项：设$∠ A=x$，$∠ B=x$，$∠ C=2x$，根据三角形内角和为$180°$，列方程$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，即$∠ A=∠ B=45°$，满足“等角对等边”，可判定$△ ABC$是等腰三角形，不符合题意；
D选项：已知$a:b:c=2:3:4$，说明三条边的长度均不相等，对应的三个内角也不相等，不满足等腰三角形的判定条件，不能判定$△ ABC$是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等腰三角形的判定规则，解题时需要结合边长关系或内角和定理计算判断，掌握基础判定方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$∠ B=30°$,点$P$是$BC$边上的动点,则$AP$的长不可能是()

A.3
B.4
C.5
D.7

6.D

【分析】
要解决这道题，我们需要先确定动点P在BC边上运动时AP的长度取值范围，再判断哪个选项不在该范围内。第一步：利用直角三角形中30°角的性质求出斜边AB的长度；第二步：根据垂线段最短的性质，可知AP的最小值是AC的长度（P与C重合时），最大值是AB的长度（P与B重合时），得到AP的取值范围后对比选项即可得出答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$。
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=2AC=2×3=6$。
因为点P是BC边上的动点，根据垂线段最短的性质：
当P与C重合时，AP最短，此时$AP=AC=3$；
当P与B重合时，AP最长，此时$AP=AB=6$。
因此AP的长度取值范围是$3≤ AP≤6$。
观察选项，3、4、5均在取值范围内，7大于6，不在取值范围内，故AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 垂线段最短
3. 动点线段范围判断
【点评】
本题考查直角三角形性质和动点最值的基础判断，解题核心是先求出AP的取值范围，再结合选项排除不符合的结果，侧重对基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 如图，直线$a// b$，$AB=AC$，$BD⊥ AC$于点$D$，若$∠ CBD=20°$，则$∠ 1$的度数为。

1.70°

【分析】
解题时先从已知条件出发：第一步，由BD⊥AC可知△BDC是直角三角形，结合∠CBD的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ACB的度数；第二步，由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得到∠ABC的度数；第三步，结合直线a//b的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ BD⊥AC，
∴ ∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠CBD + ∠ACB = 90°，
已知∠CBD=20°，代入得∠ACB=90°-20°=70°，
又
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=70°，
∵ 直线a//b，BC为截线，
∴ ∠1=∠ABC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠1=70°。
【答案】
70°
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三类基础几何图形的性质结合考查，推导过程逻辑清晰，只要准确对应各性质的适用条件，理清角与角之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8