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4.已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引
H G
7
条对角线.H G
答案
4.7
解析
【分析】
解题需按三步思考：第一步，牢记任意多边形的外角和是固定值360°，结合“内角和是外角和的4倍”先算出该多边形的内角和度数；第二步，利用n边形内角和公式$(n-2)×180°$列方程，求出多边形的边数n；第三步，牢记“从n边形一个顶点引出的对角线数量为n-3”，代入边数计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算多边形内角和：任意多边形外角和为$360°$，由题意得内角和为$4×360°=1440°$。
2. 求多边形边数：设该多边形边数为n，根据内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1440°$
解得$n-2=1440°÷180°=8$，即$n=10$。
3. 计算对角线条数：从n边形一个顶点可引的对角线条数为$n-3$，代入$n=10$得$10-3=7$。
【答案】
7
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质；多边形对角线计算
【点评】
本题是多边形基础性质的综合应用题，考查的都是多边形的核心固定性质，只要准确记忆相关公式和规律，代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题需按三步思考：第一步，牢记任意多边形的外角和是固定值360°，结合“内角和是外角和的4倍”先算出该多边形的内角和度数；第二步，利用n边形内角和公式$(n-2)×180°$列方程，求出多边形的边数n；第三步，牢记“从n边形一个顶点引出的对角线数量为n-3”，代入边数计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算多边形内角和：任意多边形外角和为$360°$，由题意得内角和为$4×360°=1440°$。
2. 求多边形边数：设该多边形边数为n，根据内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1440°$
解得$n-2=1440°÷180°=8$，即$n=10$。
3. 计算对角线条数：从n边形一个顶点可引的对角线条数为$n-3$，代入$n=10$得$10-3=7$。
【答案】
7
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质；多边形对角线计算
【点评】
本题是多边形基础性质的综合应用题，考查的都是多边形的核心固定性质，只要准确记忆相关公式和规律，代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
5.如图,在正八边形ABCDEFGH中,对角线HB,AC交于点K,则∠AKH的度数为
45°
. 答案
5.45°
解析
【分析】
解题首先需要计算正八边形的内角度数，利用正多边形内角和公式即可求出每个内角的大小；再结合正八边形各边相等的性质，得到两个等腰三角形，算出等腰三角形的底角度数；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠AKH的度数。
【解析】
1. 计算正八边形的内角度数：
正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角的度数为$1080°÷8=135°$，即$∠ BAH=∠ ABC=135°$。
2. 求等腰三角形的底角度数：
因为正八边形各边长度相等，所以$AB=AH$，$AB=BC$，即$△ ABH$和$△ ABC$均为等腰三角形。
在$△ ABH$中，$∠ ABH=\frac{180°-∠ BAH}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$；
同理可得，$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=22.5°$。
3. 计算$∠ AKH$的度数：
$∠ AKH$是$△ ABK$的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，因此$∠ AKH=∠ ABH+∠ BAC=22.5°+22.5°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
正多边形内角计算；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是正多边形和三角形性质的综合基础题，解题的核心是先求出正八边形的内角度数，再结合等腰三角形底角相等、外角性质求解角度，熟练掌握基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题首先需要计算正八边形的内角度数，利用正多边形内角和公式即可求出每个内角的大小；再结合正八边形各边相等的性质，得到两个等腰三角形，算出等腰三角形的底角度数；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠AKH的度数。
【解析】
1. 计算正八边形的内角度数：
正八边形的内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此每个内角的度数为$1080°÷8=135°$，即$∠ BAH=∠ ABC=135°$。
2. 求等腰三角形的底角度数：
因为正八边形各边长度相等，所以$AB=AH$，$AB=BC$，即$△ ABH$和$△ ABC$均为等腰三角形。
在$△ ABH$中，$∠ ABH=\frac{180°-∠ BAH}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$；
同理可得，$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=22.5°$。
3. 计算$∠ AKH$的度数：
$∠ AKH$是$△ ABK$的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，因此$∠ AKH=∠ ABH+∠ BAC=22.5°+22.5°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
正多边形内角计算；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是正多边形和三角形性质的综合基础题，解题的核心是先求出正八边形的内角度数，再结合等腰三角形底角相等、外角性质求解角度，熟练掌握基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值.
1. 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值.
答案
1.540°
解析
【分析】
求解多个分散角的和时，核心思路是将分散的角集中到同一个可计算内角和的多边形中。本题我们可以利用三角形内角和为180°、对顶角相等的性质，把∠C+∠D、∠G+∠H分别转化为五边形相邻内角的组成部分，这样原有的9个角就刚好对应五边形的5个内角，再代入多边形内角和公式计算即可。
【解析】
解：根据三角形内角和为180°、对顶角相等的性质可得：
∠C + ∠D的和等于和它们所在小三角形对顶角相邻的两个锐角的和，同理∠G + ∠H的和等于另一组两个相邻锐角的和。
经过角的转化后，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I恰好等于五边形ABIFE的内角和。
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和$=(n-2)×180°$（$n≥3$且为整数），五边形的边数$n=5$，代入得：
$(5-2)×180°=540°$
【答案】
$540°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题是角度求和的典型题型，解题的关键是灵活运用三角形和对顶角的性质实现角的转化，将分散的角整合到同一多边形中简化计算，能很好地考查学生的图形观察能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
求解多个分散角的和时，核心思路是将分散的角集中到同一个可计算内角和的多边形中。本题我们可以利用三角形内角和为180°、对顶角相等的性质，把∠C+∠D、∠G+∠H分别转化为五边形相邻内角的组成部分，这样原有的9个角就刚好对应五边形的5个内角，再代入多边形内角和公式计算即可。
【解析】
解：根据三角形内角和为180°、对顶角相等的性质可得：
∠C + ∠D的和等于和它们所在小三角形对顶角相邻的两个锐角的和，同理∠G + ∠H的和等于另一组两个相邻锐角的和。
经过角的转化后，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I恰好等于五边形ABIFE的内角和。
根据多边形内角和公式：$n$边形内角和$=(n-2)×180°$（$n≥3$且为整数），五边形的边数$n=5$，代入得：
$(5-2)×180°=540°$
【答案】
$540°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题是角度求和的典型题型，解题的关键是灵活运用三角形和对顶角的性质实现角的转化，将分散的角整合到同一多边形中简化计算，能很好地考查学生的图形观察能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图，D，E分别在BC，AC上，AD，BE交于点F.
(1)求证：∠AFB＞∠C.
(2)若AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∠1+∠2=60°，求∠C的度数.
(1)求证：∠AFB＞∠C.
(2)若AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∠1+∠2=60°，求∠C的度数.
答案
2.(2) 60°
解析
【分析】
(1) 要证明∠AFB＞∠C，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，通过两次外角的不等关系传递即可得证。
(2) 根据角平分线的定义，可推出∠BAC是∠1的2倍、∠ABC是∠2的2倍，结合已知∠1+∠2=60°，先求出∠BAC与∠ABC的和，再利用三角形内角和为180°即可算出∠C的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠AFB是△BDF的外角，
∴ ∠AFB ＞ ∠ADB（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角），
又
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB ＞ ∠C（同理），
根据不等式的传递性可得：∠AFB ＞ ∠C。
(2) 解：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC = 2∠1，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠2，
已知∠1+∠2=60°，
∴ ∠BAC + ∠ABC = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1+∠2) = 2×60° = 120°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠C = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 120° = 60°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 60°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，第一问考查外角的不等关系应用，第二问结合角平分线和内角和定理即可求解，解题时注意角的倍数关系和内角和公式的正确运用。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明∠AFB＞∠C，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，通过两次外角的不等关系传递即可得证。
(2) 根据角平分线的定义，可推出∠BAC是∠1的2倍、∠ABC是∠2的2倍，结合已知∠1+∠2=60°，先求出∠BAC与∠ABC的和，再利用三角形内角和为180°即可算出∠C的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠AFB是△BDF的外角，
∴ ∠AFB ＞ ∠ADB（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角），
又
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB ＞ ∠C（同理），
根据不等式的传递性可得：∠AFB ＞ ∠C。
(2) 解：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC = 2∠1，
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠2，
已知∠1+∠2=60°，
∴ ∠BAC + ∠ABC = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1+∠2) = 2×60° = 120°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠C = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 120° = 60°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 60°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，第一问考查外角的不等关系应用，第二问结合角平分线和内角和定理即可求解，解题时注意角的倍数关系和内角和公式的正确运用。
【难度系数】
0.75
