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三、解答题
1. 已知分式方程$\frac{1}{x+1}-\frac{2x}{x^2-1}=$■有解，其中“■”表示一个数.小明说：“■可以是0.”小明的结论正确吗？请通过计算说明理由.
1. 已知分式方程$\frac{1}{x+1}-\frac{2x}{x^2-1}=$■有解，其中“■”表示一个数.小明说：“■可以是0.”小明的结论正确吗？请通过计算说明理由.
答案
解：小明的结论不正确，理由如下：
假设■为0，此时分式方程为：
$\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2 - 1} = 0$
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$x - 1 - 2x = 0$
合并同类项得：
$-x - 1 = 0$
解得：
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
这与已知“分式方程有解”的条件矛盾，因此■不可以是0，小明的结论不正确。
假设■为0，此时分式方程为：
$\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2 - 1} = 0$
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$x - 1 - 2x = 0$
合并同类项得：
$-x - 1 = 0$
解得：
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
这与已知“分式方程有解”的条件矛盾，因此■不可以是0，小明的结论不正确。
解析
【分析】
要判断小明的结论是否正确，可采用假设法分析：先假设■为0，将其代入原分式方程，按照分式方程的求解步骤计算，再结合“原分式方程有解”的条件验证。若解出的根是使原方程分母为0的增根，说明此时方程无解，和题设矛盾，即可判断小明的结论错误。
【解析】
小明的结论不正确，理由如下：
假设■为0，此时分式方程为：
$\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2 - 1} = 0$
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$x - 1 - 2x = 0$
合并同类项得：
$-x - 1 = 0$
解得：
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
这与已知“分式方程有解”的条件矛盾，因此■不可以是0，小明的结论不正确。
【答案】
小明的结论不正确
【知识点】
分式方程求解；分式方程增根检验
【点评】
本题核心考查分式方程的求解规则，解题时需牢记解分式方程后必须检验根是否为增根，同时要结合题目的前提条件判断结果是否符合要求，不能忽略增根的情况。
【难度系数】
0.7
要判断小明的结论是否正确，可采用假设法分析：先假设■为0，将其代入原分式方程，按照分式方程的求解步骤计算，再结合“原分式方程有解”的条件验证。若解出的根是使原方程分母为0的增根，说明此时方程无解，和题设矛盾，即可判断小明的结论错误。
【解析】
小明的结论不正确，理由如下：
假设■为0，此时分式方程为：
$\frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2 - 1} = 0$
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$x - 1 - 2x = 0$
合并同类项得：
$-x - 1 = 0$
解得：
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
这与已知“分式方程有解”的条件矛盾，因此■不可以是0，小明的结论不正确。
【答案】
小明的结论不正确
【知识点】
分式方程求解；分式方程增根检验
【点评】
本题核心考查分式方程的求解规则，解题时需牢记解分式方程后必须检验根是否为增根，同时要结合题目的前提条件判断结果是否符合要求，不能忽略增根的情况。
【难度系数】
0.7
2. 下面是小颖同学解分式方程$\frac{x}{x-3}+\frac{x-12}{x^2-3x}=1$的过程. 请认真阅读并完成相应的任务.
解:方程两边同乘以,得$x^2+x-12=x(x-3)$. ………………………第一步
去括号,得$x^2+x-12=x^2-3x$. ………………………………………第二步
移项、合并同类项,得$4x=12$. ………………………………………第三步
解得$x=3$. ……………………………………………………………第四步
(1)第一步的横线处应填,这一步的目的是,其依据是.
(2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步,请你补全这一步,并说明这一步不能缺少的理由.
解:方程两边同乘以,得$x^2+x-12=x(x-3)$. ………………………第一步
去括号,得$x^2+x-12=x^2-3x$. ………………………………………第二步
移项、合并同类项,得$4x=12$. ………………………………………第三步
解得$x=3$. ……………………………………………………………第四步
(1)第一步的横线处应填,这一步的目的是,其依据是.
(2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步,请你补全这一步,并说明这一步不能缺少的理由.
答案
解：
(1) $x(x-3)$（或$x^2-3x$）；去分母，将分式方程转化为整式方程；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。
(2) 补全检验步骤：
检验：当$x=3$时，$x(x-3)=3×(3-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
理由：分式方程的分母不为0，去分母时方程两边所乘的最简公分母是含有未知数的整式，该整式有可能为0，此时整式方程的根会使原分式方程的分母为0，成为增根，因此解分式方程必须检验，避免得到错误的结果。
(1) $x(x-3)$（或$x^2-3x$）；去分母，将分式方程转化为整式方程；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。
(2) 补全检验步骤：
检验：当$x=3$时，$x(x-3)=3×(3-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
理由：分式方程的分母不为0，去分母时方程两边所乘的最简公分母是含有未知数的整式，该整式有可能为0，此时整式方程的根会使原分式方程的分母为0，成为增根，因此解分式方程必须检验，避免得到错误的结果。
解析
【分析】
对于问题(1)，解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，首先需要确定各分母的最简公分母：原方程中第二个分母$x^2-3x$因式分解为$x(x-3)$，因此两个分母的最简公分母是$x(x-3)$，方程两边同乘最简公分母即可去分母，该操作的依据是等式的基本性质。对于问题(2)，由于分式方程的分母不能为0，去分母时乘的最简公分母是含未知数的整式，其值可能为0，导致整式方程的根不满足原分式方程，因此必须增加检验步骤判断根是否为增根。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2-3x=x(x-3)$，可得原方程分母的最简公分母为$x(x-3)$（即$x^2-3x$），因此第一步横线处填$x(x-3)$（或$x^2-3x$）；这一步的目的是去分母，将分式方程转化为整式方程求解；依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。
(2) 补全检验步骤：
检验：当$x=3$时，代入最简公分母得$x(x-3)=3×(3-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
理由：分式方程的分母不为0，去分母时方程两边所乘的最简公分母是含有未知数的整式，该整式有可能为0，此时整式方程的根会使原分式方程的分母为0，成为增根，因此解分式方程必须检验，避免得到错误的结果。
【答案】
(1) $x(x-3)$（或$x^2-3x$）；去分母，将分式方程转化为整式方程；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。
(2) 补全步骤：检验：当$x=3$时，$x(x-3)=3×(3-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
理由：分式方程的分母不为0，去分母时方程两边所乘的最简公分母是含有未知数的整式，该整式有可能为0，此时整式方程的根会使原分式方程的分母为0，成为增根，因此解分式方程必须检验，避免得到错误的结果。
【知识点】
分式方程的解法；等式的基本性质；分式方程增根检验
【点评】
本题围绕分式方程的求解步骤设置问题，重点考查去分母的依据和增根检验的必要性，属于分式方程模块的基础题型，熟练掌握解分式方程的规范流程即可正确作答。
【难度系数】
0.7
对于问题(1)，解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，首先需要确定各分母的最简公分母：原方程中第二个分母$x^2-3x$因式分解为$x(x-3)$，因此两个分母的最简公分母是$x(x-3)$，方程两边同乘最简公分母即可去分母，该操作的依据是等式的基本性质。对于问题(2)，由于分式方程的分母不能为0，去分母时乘的最简公分母是含未知数的整式，其值可能为0，导致整式方程的根不满足原分式方程，因此必须增加检验步骤判断根是否为增根。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2-3x=x(x-3)$，可得原方程分母的最简公分母为$x(x-3)$（即$x^2-3x$），因此第一步横线处填$x(x-3)$（或$x^2-3x$）；这一步的目的是去分母，将分式方程转化为整式方程求解；依据是等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。
(2) 补全检验步骤：
检验：当$x=3$时，代入最简公分母得$x(x-3)=3×(3-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
理由：分式方程的分母不为0，去分母时方程两边所乘的最简公分母是含有未知数的整式，该整式有可能为0，此时整式方程的根会使原分式方程的分母为0，成为增根，因此解分式方程必须检验，避免得到错误的结果。
【答案】
(1) $x(x-3)$（或$x^2-3x$）；去分母，将分式方程转化为整式方程；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。
(2) 补全步骤：检验：当$x=3$时，$x(x-3)=3×(3-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
理由：分式方程的分母不为0，去分母时方程两边所乘的最简公分母是含有未知数的整式，该整式有可能为0，此时整式方程的根会使原分式方程的分母为0，成为增根，因此解分式方程必须检验，避免得到错误的结果。
【知识点】
分式方程的解法；等式的基本性质；分式方程增根检验
【点评】
本题围绕分式方程的求解步骤设置问题，重点考查去分母的依据和增根检验的必要性，属于分式方程模块的基础题型，熟练掌握解分式方程的规范流程即可正确作答。
【难度系数】
0.7
3. 某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签,已知甲款书签价格是乙款书签价格的$\frac{5}{4}$倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个. 求这两款书签的单价.
答案
甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元。
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题思路如下：1. 先设未知数，可设乙款书签单价为x元，根据甲、乙单价的倍数关系表示出甲款书签的单价；2. 根据“数量=总价÷单价”分别表示出128元购买乙款书签的数量、100元购买甲款书签的数量；3. 抓住“甲的数量比乙的数量少3个”这个等量关系列出分式方程；4. 解分式方程，注意要检验根是否为原方程的解，同时要符合实际意义，最后求出甲的单价即可。
【解析】
解：设乙款书签的单价为x元，则甲款书签的单价为$\frac{5}{4}x$元。
根据题意，可列方程：
$\frac{128}{x} - \frac{100}{\frac{5}{4}x} = 3$
先化简方程中的第二项：$\frac{100}{\frac{5}{4}x} = 100×\frac{4}{5x} = \frac{80}{x}$
原方程可化为：
$\frac{128}{x} - \frac{80}{x} = 3$
合并同类项得：
$\frac{48}{x} = 3$
解得：$x=16$
检验：当$x=16$时，$\frac{5}{4}x≠0$，$x≠0$，所以$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
则甲款书签的单价为：$\frac{5}{4}×16=20$（元）
【答案】
甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 分式方程的解法
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程在购物问题中的典型应用，解题核心是准确找到数量之间的等量关系列方程，需注意解分式方程后必须检验根是否满足方程以及实际意义，整体解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题思路如下：1. 先设未知数，可设乙款书签单价为x元，根据甲、乙单价的倍数关系表示出甲款书签的单价；2. 根据“数量=总价÷单价”分别表示出128元购买乙款书签的数量、100元购买甲款书签的数量；3. 抓住“甲的数量比乙的数量少3个”这个等量关系列出分式方程；4. 解分式方程，注意要检验根是否为原方程的解，同时要符合实际意义，最后求出甲的单价即可。
【解析】
解：设乙款书签的单价为x元，则甲款书签的单价为$\frac{5}{4}x$元。
根据题意，可列方程：
$\frac{128}{x} - \frac{100}{\frac{5}{4}x} = 3$
先化简方程中的第二项：$\frac{100}{\frac{5}{4}x} = 100×\frac{4}{5x} = \frac{80}{x}$
原方程可化为：
$\frac{128}{x} - \frac{80}{x} = 3$
合并同类项得：
$\frac{48}{x} = 3$
解得：$x=16$
检验：当$x=16$时，$\frac{5}{4}x≠0$，$x≠0$，所以$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
则甲款书签的单价为：$\frac{5}{4}×16=20$（元）
【答案】
甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 分式方程的解法
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程在购物问题中的典型应用，解题核心是准确找到数量之间的等量关系列方程，需注意解分式方程后必须检验根是否满足方程以及实际意义，整体解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
