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24.某食品企业计划采购两种特色商品进行销售.已知采购2箱巧克力和3箱木耳共需1800元,采购3箱巧克力和1箱木耳共需1300元.
(1)求巧克力和木耳每箱的采购价格各是多少元?
(2)若该食品企业计划采购这两种商品共100箱,且采购总资金不超过35 000元,则该食品企业采购的巧克力不少于多少箱?
(1)求巧克力和木耳每箱的采购价格各是多少元?
(2)若该食品企业计划采购这两种商品共100箱,且采购总资金不超过35 000元,则该食品企业采购的巧克力不少于多少箱?
答案
24.解:(1)设巧克力每箱的采购价格是$x$元,木耳每箱的采购价格是$y$元,
根据题意,得$\begin{cases}2x+3y=1\ 800,\\3x+y=1\ 300,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=300,\\y=400.\end{cases}$
答:巧克力每箱的采购价格是300元,木耳每箱的采购价格是400元.
(2)设该食品企业采购巧克力$m$箱,则采购木耳$(100-m)$箱,
根据题意,得
$300m+400(100-m)≤35\ 000$,
解得$m≥50$.
$\therefore m$的最小值为50.
答:该食品企业采购巧克力不少于50箱.
根据题意,得$\begin{cases}2x+3y=1\ 800,\\3x+y=1\ 300,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=300,\\y=400.\end{cases}$
答:巧克力每箱的采购价格是300元,木耳每箱的采购价格是400元.
(2)设该食品企业采购巧克力$m$箱,则采购木耳$(100-m)$箱,
根据题意,得
$300m+400(100-m)≤35\ 000$,
解得$m≥50$.
$\therefore m$的最小值为50.
答:该食品企业采购巧克力不少于50箱.
解析
【分析】
（1）本问存在两个未知量，分别是巧克力和木耳的每箱采购价，题干给出两个明确的等量关系：采购2箱巧克力的费用+采购3箱木耳的费用=1800元；采购3箱巧克力的费用+采购1箱木耳的费用=1300元，因此可设两个未知数，列二元一次方程组求解。
（2）本问给出总采购箱数、总采购资金的上限要求，属于不等关系类问题，可设采购巧克力的箱数为未知数，采购木耳的箱数用总箱数减去巧克力箱数表示，再根据“总采购资金不超过35000元”的条件列一元一次不等式，解不等式即可得到巧克力的最小采购量。
【解析】
(1)设巧克力每箱的采购价格是$x$元，木耳每箱的采购价格是$y$元，
根据题意，得$\begin{cases}2x+3y=1800\\3x+y=1300\end{cases}$
由第二个方程变形得$y=1300-3x$，代入第一个方程：
$2x+3(1300-3x)=1800$
解得$x=300$，将$x=300$代入$y=1300-3x$，得$y=400$
即方程组的解为$\begin{cases}x=300\\y=400\end{cases}$
答：巧克力每箱的采购价格是300元，木耳每箱的采购价格是400元。
(2)设该食品企业采购巧克力$m$箱，则采购木耳$(100-m)$箱，
根据题意，得$300m+400(100-m)≤35000$
展开整理得$-100m≤-5000$，解得$m≥50$，即$m$的最小值为50
答：该食品企业采购的巧克力不少于50箱。
【答案】
(1)巧克力每箱采购价300元，木耳每箱采购价400元；
(2)采购的巧克力不少于50箱。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，重点考查信息提取能力和方程、不等式的基础运算能力，解题时需注意“不超过”等表述对应的不等号方向，以及解不等式时两边同乘负数不等号要变号的规则，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
（1）本问存在两个未知量，分别是巧克力和木耳的每箱采购价，题干给出两个明确的等量关系：采购2箱巧克力的费用+采购3箱木耳的费用=1800元；采购3箱巧克力的费用+采购1箱木耳的费用=1300元，因此可设两个未知数，列二元一次方程组求解。
（2）本问给出总采购箱数、总采购资金的上限要求，属于不等关系类问题，可设采购巧克力的箱数为未知数，采购木耳的箱数用总箱数减去巧克力箱数表示，再根据“总采购资金不超过35000元”的条件列一元一次不等式，解不等式即可得到巧克力的最小采购量。
【解析】
(1)设巧克力每箱的采购价格是$x$元，木耳每箱的采购价格是$y$元，
根据题意，得$\begin{cases}2x+3y=1800\\3x+y=1300\end{cases}$
由第二个方程变形得$y=1300-3x$，代入第一个方程：
$2x+3(1300-3x)=1800$
解得$x=300$，将$x=300$代入$y=1300-3x$，得$y=400$
即方程组的解为$\begin{cases}x=300\\y=400\end{cases}$
答：巧克力每箱的采购价格是300元，木耳每箱的采购价格是400元。
(2)设该食品企业采购巧克力$m$箱，则采购木耳$(100-m)$箱，
根据题意，得$300m+400(100-m)≤35000$
展开整理得$-100m≤-5000$，解得$m≥50$，即$m$的最小值为50
答：该食品企业采购的巧克力不少于50箱。
【答案】
(1)巧克力每箱采购价300元，木耳每箱采购价400元；
(2)采购的巧克力不少于50箱。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，重点考查信息提取能力和方程、不等式的基础运算能力，解题时需注意“不超过”等表述对应的不等号方向，以及解不等式时两边同乘负数不等号要变号的规则，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
25. 阅读材料:如果 x 是一个有理数,我们把不超过 x 的最大整数记作[x].例如，[3.2]=3,[5]=5,[-2.1]=-3.那么，x=[x]+a，其中0≤a＜1.例如，3.2=[3.2]+0.2,5=[5]+0,-2.1=[-2.1]+0.9.
解决下列问题:
(1)填空:[4.8]=
(2)如果[x]=3,那么 x 的取值范围是
(3)如果[3.5x−2]=2x+1,求 x 的值;
(4)如果 x=[x]+a,其中0≤a＜1,且2a=[x]−1,直接写出 x 的值.
解决下列问题:
(1)填空:[4.8]=
4
,[-6.5]=-7
;(2)如果[x]=3,那么 x 的取值范围是
3≤x＜4
;(3)如果[3.5x−2]=2x+1,求 x 的值;
(4)如果 x=[x]+a,其中0≤a＜1,且2a=[x]−1,直接写出 x 的值.
答案
25.解:(1)4 -7
(2)$3≤ x＜4$
(3)$\because [3.5x-2]=2x+1$,
$\therefore 2x+1≤3.5x-2＜2x+2$,
解得$2≤ x＜\dfrac{8}{3}$.
$\because 2x+1$是整数,
$\therefore x=2$或2.5
(4)$x=1$或$2\dfrac{1}{2}$.
(2)$3≤ x＜4$
(3)$\because [3.5x-2]=2x+1$,
$\therefore 2x+1≤3.5x-2＜2x+2$,
解得$2≤ x＜\dfrac{8}{3}$.
$\because 2x+1$是整数,
$\therefore x=2$或2.5
(4)$x=1$或$2\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题核心是先理解题中给出的新定义：[x]表示不超过x的最大整数，满足关系式[x]≤x＜[x]+1，再逐问推导：
(1) 直接根据定义找出不超过对应数值的最大整数即可；
(2) 当[x]=3时，说明x不小于3，且小于4，由此推导x的取值范围；
(3) 依据新定义的不等式关系，将等式转化为关于x的一元一次不等式组，解出x的范围后，结合2x+1是整数的隐含要求筛选出符合条件的x；
(4) 先根据a的取值范围推导2a的范围，再结合2a=[x]-1确定[x]的可能整数值，分别代入求出a后，即可计算x的值。
【解析】
(1) 不超过4.8的最大整数是4，故[4.8]=4；不超过-6.5的最大整数是-7，故[-6.5]=-7；
(2) 若[x]=3，根据定义可知x≥3且x＜4，即x的取值范围是$3≤ x＜4$；
(3) $\because [3.5x−2]=2x+1$，根据新定义性质可得：
$2x+1≤3.5x−2＜2x+2$
解左边不等式：$2x+1≤3.5x-2$，移项得$3≤1.5x$，解得$x≥2$；
解右边不等式：$3.5x-2＜2x+2$，移项得$1.5x＜4$，解得$x＜\dfrac{8}{3}$；
$\therefore$ 不等式组解集为$2≤x＜\dfrac{8}{3}$，
又$\because 2x+1$是整数，$\therefore 2x$为整数，在$2≤x＜\dfrac{8}{3}$范围内符合条件的x为2或2.5；
(4) $\because 0≤a＜1$，$\therefore 0≤2a＜2$，
又$\because 2a=[x]-1$，且[x]为整数，
$\therefore 0≤[x]-1＜2$，解得$1≤[x]＜3$，即[x]可取1或2：
当[x]=1时，$2a=1-1=0$，$a=0$，此时$x=1+0=1$；
当[x]=2时，$2a=2-1=1$，$a=0.5$，此时$x=2+0.5=2\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{-7}$
(2) $\boxed{3≤ x＜4}$
(3) $\boxed{x=2}$或$\boxed{2.5}$
(4) $\boxed{x=1}$或$\boxed{2\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式组解法，整数性质
【点评】
本题以新定义取整函数为载体，考查新概念理解应用能力和不等式组求解能力，解题时需注意取整结果为整数的隐含限制，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
解题核心是先理解题中给出的新定义：[x]表示不超过x的最大整数，满足关系式[x]≤x＜[x]+1，再逐问推导：
(1) 直接根据定义找出不超过对应数值的最大整数即可；
(2) 当[x]=3时，说明x不小于3，且小于4，由此推导x的取值范围；
(3) 依据新定义的不等式关系，将等式转化为关于x的一元一次不等式组，解出x的范围后，结合2x+1是整数的隐含要求筛选出符合条件的x；
(4) 先根据a的取值范围推导2a的范围，再结合2a=[x]-1确定[x]的可能整数值，分别代入求出a后，即可计算x的值。
【解析】
(1) 不超过4.8的最大整数是4，故[4.8]=4；不超过-6.5的最大整数是-7，故[-6.5]=-7；
(2) 若[x]=3，根据定义可知x≥3且x＜4，即x的取值范围是$3≤ x＜4$；
(3) $\because [3.5x−2]=2x+1$，根据新定义性质可得：
$2x+1≤3.5x−2＜2x+2$
解左边不等式：$2x+1≤3.5x-2$，移项得$3≤1.5x$，解得$x≥2$；
解右边不等式：$3.5x-2＜2x+2$，移项得$1.5x＜4$，解得$x＜\dfrac{8}{3}$；
$\therefore$ 不等式组解集为$2≤x＜\dfrac{8}{3}$，
又$\because 2x+1$是整数，$\therefore 2x$为整数，在$2≤x＜\dfrac{8}{3}$范围内符合条件的x为2或2.5；
(4) $\because 0≤a＜1$，$\therefore 0≤2a＜2$，
又$\because 2a=[x]-1$，且[x]为整数，
$\therefore 0≤[x]-1＜2$，解得$1≤[x]＜3$，即[x]可取1或2：
当[x]=1时，$2a=1-1=0$，$a=0$，此时$x=1+0=1$；
当[x]=2时，$2a=2-1=1$，$a=0.5$，此时$x=2+0.5=2\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{-7}$
(2) $\boxed{3≤ x＜4}$
(3) $\boxed{x=2}$或$\boxed{2.5}$
(4) $\boxed{x=1}$或$\boxed{2\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式组解法，整数性质
【点评】
本题以新定义取整函数为载体，考查新概念理解应用能力和不等式组求解能力，解题时需注意取整结果为整数的隐含限制，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
