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13. 解不等式$2+\frac{x+1}{-3}≤ -x$的过程:①$-6+x+1≤ 3x$;②$x-3x≤ 6-1$;③$-2x≤5$;④$x≥ -\frac{5}{2}$.其中造成解答错误的一步是（
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
13.A
解析
【分析】
要找出错误步骤，需先明确解一元一次不等式去分母的规则：一是不等式两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变；二是去分母时每一项都要乘公分母，不能漏乘常数项。我们按正确规则推导原不等式的去分母步骤，再和题干给出的步骤对比即可。
【解析】
原不等式为$2+\frac{x+1}{-3}≤ -x$，去分母时两边同乘$-3$：
1. 不等号方向需要改变，同时每一项都乘$-3$，可得：
$2×(-3) + (x+1) ≥ (-x)×(-3)$，即$-6+x+1≥3x$。
对比题干给出的步骤①$-6+x+1≤ 3x$，可知步骤①没有改变不等号方向，从第一步就出现错误。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题重点考查解一元一次不等式的易错点，解题时要格外注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，同时去分母不要漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
要找出错误步骤，需先明确解一元一次不等式去分母的规则：一是不等式两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变；二是去分母时每一项都要乘公分母，不能漏乘常数项。我们按正确规则推导原不等式的去分母步骤，再和题干给出的步骤对比即可。
【解析】
原不等式为$2+\frac{x+1}{-3}≤ -x$，去分母时两边同乘$-3$：
1. 不等号方向需要改变，同时每一项都乘$-3$，可得：
$2×(-3) + (x+1) ≥ (-x)×(-3)$，即$-6+x+1≥3x$。
对比题干给出的步骤①$-6+x+1≤ 3x$，可知步骤①没有改变不等号方向，从第一步就出现错误。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题重点考查解一元一次不等式的易错点，解题时要格外注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，同时去分母不要漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
14. x的2倍加上5不大于x的3倍减去4，
那么x的取值范围是 （
A.$x＞9$
B.$x≥9$
C.$x＜9$
D.$x≤9$
那么x的取值范围是 （
B
）A.$x＞9$
B.$x≥9$
C.$x＜9$
D.$x≤9$
答案
14.B
解析
【分析】
首先将题目中的文字表述转化为对应的一元一次不等式：先明确关键词对应的数学含义，“x的2倍”表示为2x，“加上5”即+5，“不大于”对应的不等号是≤（表示小于或等于），“x的3倍减去4”表示为3x-4，据此列出不等式后，按照解一元一次不等式的移项、合并同类项步骤，即可求出x的取值范围。
【解析】
根据题意可列不等式：
$2x + 5 ≤ 3x - 4$
移项（移项要变号），得：
$5 + 4 ≤ 3x - 2x$
合并同类项，得：
$9 ≤ x$
即$x ≥ 9$
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查文字语言与数学不等式的转化能力以及一元一次不等式的求解，解题时要注意准确理解“不大于”等限定表述对应的不等号，移项时注意符号变化，避免因不等号判断或移项失误出错。
【难度系数】
0.8
首先将题目中的文字表述转化为对应的一元一次不等式：先明确关键词对应的数学含义，“x的2倍”表示为2x，“加上5”即+5，“不大于”对应的不等号是≤（表示小于或等于），“x的3倍减去4”表示为3x-4，据此列出不等式后，按照解一元一次不等式的移项、合并同类项步骤，即可求出x的取值范围。
【解析】
根据题意可列不等式：
$2x + 5 ≤ 3x - 4$
移项（移项要变号），得：
$5 + 4 ≤ 3x - 2x$
合并同类项，得：
$9 ≤ x$
即$x ≥ 9$
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查文字语言与数学不等式的转化能力以及一元一次不等式的求解，解题时要注意准确理解“不大于”等限定表述对应的不等号，移项时注意符号变化，避免因不等号判断或移项失误出错。
【难度系数】
0.8
15.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞a-3, \\ x≤15-3a\end{cases}$无解，化简$|3 - a| + |a - 2|=$ ______ .
答案
15.$2a-5$
解析
【分析】
解题分两步走：第一步先根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的不等式，求出a的取值范围；第二步根据a的取值范围判断绝对值内两个式子的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
已知不等式组$\begin{cases}x＞a-3, \\ x≤15-3a\end{cases}$无解，根据“大于较大数、小于等于较小数时不等式组无解”的规则，可得：
$a - 3 ≥ 15 - 3a$
移项得：$a + 3a ≥ 15 + 3$
合并同类项得：$4a ≥ 18$
解得：$a ≥ 4.5$
接下来判断绝对值内式子的正负：
因为$a ≥ 4.5$，所以$3 - a ＜ 0$，$a - 2 ＞ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|3 - a| = -(3 - a) = a - 3$
$|a - 2| = a - 2$
因此原式化简为：
$|3 - a| + |a - 2| = (a - 3) + (a - 2) = 2a - 5$
【答案】
$2a-5$
【知识点】
1. 不等式组无解的判定
2. 绝对值的性质
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式组与绝对值化简的综合题型，解题核心是先利用不等式组无解的条件求出参数a的取值范围，再根据绝对值的性质去符号计算，是代数板块的常见综合考查题型。
【难度系数】
0.6
解题分两步走：第一步先根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的不等式，求出a的取值范围；第二步根据a的取值范围判断绝对值内两个式子的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
已知不等式组$\begin{cases}x＞a-3, \\ x≤15-3a\end{cases}$无解，根据“大于较大数、小于等于较小数时不等式组无解”的规则，可得：
$a - 3 ≥ 15 - 3a$
移项得：$a + 3a ≥ 15 + 3$
合并同类项得：$4a ≥ 18$
解得：$a ≥ 4.5$
接下来判断绝对值内式子的正负：
因为$a ≥ 4.5$，所以$3 - a ＜ 0$，$a - 2 ＞ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|3 - a| = -(3 - a) = a - 3$
$|a - 2| = a - 2$
因此原式化简为：
$|3 - a| + |a - 2| = (a - 3) + (a - 2) = 2a - 5$
【答案】
$2a-5$
【知识点】
1. 不等式组无解的判定
2. 绝对值的性质
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式组与绝对值化简的综合题型，解题核心是先利用不等式组无解的条件求出参数a的取值范围，再根据绝对值的性质去符号计算，是代数板块的常见综合考查题型。
【难度系数】
0.6
16.满足不等式组$1＜\frac{3x -1}{2}≤4$的整数解有
2
个.答案
16.2
解析
【分析】
遇到连写形式的一元一次不等式，可通过两种思路求解：一是拆分为两个独立的一元一次不等式组成不等式组，分别求解后取公共解集得到x的取值范围；二是直接对不等式的三部分同步做同解变形，逐步化简得到x的范围。得出x的范围后，筛选出范围内的整数，统计个数即可得到答案。
【解析】
对不等式$1＜\frac{3x -1}{2}≤4$同步变形：
1. 三部分同时乘2（正数，不等号方向不变），得：$2 ＜ 3x -1 ≤ 8$
2. 三部分同时加1，得：$3 ＜ 3x ≤ 9$
3. 三部分同时除以3（正数，不等号方向不变），得：$1 ＜ x ≤ 3$
取值范围内的整数为2、3，共2个。
【答案】
2
【知识点】
不等式的性质、一元一次不等式求解、整数解判定
【点评】
本题为基础考查题，解题时需注意对不等式做变形时，乘除正数不等号方向不变，乘除负数不等号方向改变，同时筛选整数解时要明确边界值是否可取，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
遇到连写形式的一元一次不等式，可通过两种思路求解：一是拆分为两个独立的一元一次不等式组成不等式组，分别求解后取公共解集得到x的取值范围；二是直接对不等式的三部分同步做同解变形，逐步化简得到x的范围。得出x的范围后，筛选出范围内的整数，统计个数即可得到答案。
【解析】
对不等式$1＜\frac{3x -1}{2}≤4$同步变形：
1. 三部分同时乘2（正数，不等号方向不变），得：$2 ＜ 3x -1 ≤ 8$
2. 三部分同时加1，得：$3 ＜ 3x ≤ 9$
3. 三部分同时除以3（正数，不等号方向不变），得：$1 ＜ x ≤ 3$
取值范围内的整数为2、3，共2个。
【答案】
2
【知识点】
不等式的性质、一元一次不等式求解、整数解判定
【点评】
本题为基础考查题，解题时需注意对不等式做变形时，乘除正数不等号方向不变，乘除负数不等号方向改变，同时筛选整数解时要明确边界值是否可取，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
17.解不等式组：
(1)$\begin{cases} x+3(x-2)≥4, \\ \dfrac{1+$
$}{3}＞x-1; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 4(x+1)≤7x+10, \\ x-5＜\dfrac{x-8}{3}. \end{cases}$
(1)$\begin{cases} x+3(x-2)≥4, \\ \dfrac{1+$
$}{3}＞x-1; \end{cases}$(2)$\begin{cases} 4(x+1)≤7x+10, \\ x-5＜\dfrac{x-8}{3}. \end{cases}$
答案
17.(1)$\dfrac{5}{2}≤ x＜4$ (2)$-2≤ x＜\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是：先分别求解组内每个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。解单个不等式时按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意当不等式两边同时乘/除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式组 $\begin{cases} x+3(x-2)≥4 ①\\ \dfrac{1+2x}{3}＞x-1 ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得 $x + 3x - 6 ≥ 4$
合并同类项，得 $4x ≥ 10$
系数化为1，得 $x ≥ \dfrac{5}{2}$
解不等式②：
两边同时乘3去分母，得 $1 + 2x ＞ 3(x - 1)$
去括号，得 $1 + 2x ＞ 3x - 3$
移项，得 $2x - 3x ＞ -3 -1$
合并同类项，得 $-x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＜ 4$
因此该不等式组的解集为两个解集的公共部分：$\dfrac{5}{2} ≤ x ＜ 4$
(2) 解不等式组 $\begin{cases} 4(x+1)≤7x+10 ①\\ x-5＜\dfrac{x-8}{3} ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得 $4x + 4 ≤7x +10$
移项，得 $4x -7x ≤10 -4$
合并同类项，得 $-3x ≤6$
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ≥ -2$
解不等式②：
两边同时乘3去分母，得 $3x -15 ＜ x -8$
移项，得 $3x -x ＜ 15 -8$
合并同类项，得 $2x ＜7$
系数化为1，得 $x ＜ \dfrac{7}{2}$
因此该不等式组的解集为两个解集的公共部分：$-2 ≤ x ＜ \dfrac{7}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{5}{2}≤ x＜4$；(2)$-2≤ x＜\dfrac{7}{2}$
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集确定
【点评】
本题属于不等式组求解的基础题型，重点考察解不等式的基础操作能力，需特别注意系数化为1时不等号方向是否需要改变，结合解集选取口诀可快速确定最终公共解集。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是：先分别求解组内每个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。解单个不等式时按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意当不等式两边同时乘/除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式组 $\begin{cases} x+3(x-2)≥4 ①\\ \dfrac{1+2x}{3}＞x-1 ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得 $x + 3x - 6 ≥ 4$
合并同类项，得 $4x ≥ 10$
系数化为1，得 $x ≥ \dfrac{5}{2}$
解不等式②：
两边同时乘3去分母，得 $1 + 2x ＞ 3(x - 1)$
去括号，得 $1 + 2x ＞ 3x - 3$
移项，得 $2x - 3x ＞ -3 -1$
合并同类项，得 $-x ＞ -4$
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＜ 4$
因此该不等式组的解集为两个解集的公共部分：$\dfrac{5}{2} ≤ x ＜ 4$
(2) 解不等式组 $\begin{cases} 4(x+1)≤7x+10 ①\\ x-5＜\dfrac{x-8}{3} ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得 $4x + 4 ≤7x +10$
移项，得 $4x -7x ≤10 -4$
合并同类项，得 $-3x ≤6$
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ≥ -2$
解不等式②：
两边同时乘3去分母，得 $3x -15 ＜ x -8$
移项，得 $3x -x ＜ 15 -8$
合并同类项，得 $2x ＜7$
系数化为1，得 $x ＜ \dfrac{7}{2}$
因此该不等式组的解集为两个解集的公共部分：$-2 ≤ x ＜ \dfrac{7}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{5}{2}≤ x＜4$；(2)$-2≤ x＜\dfrac{7}{2}$
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集确定
【点评】
本题属于不等式组求解的基础题型，重点考察解不等式的基础操作能力，需特别注意系数化为1时不等号方向是否需要改变，结合解集选取口诀可快速确定最终公共解集。
【难度系数】
0.8
18.王老师用100元钱去购买笔记本和钢笔，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元.
(1)若王老师已经购买了15支钢笔，最多还能买几本笔记本？
(2)若王老师想购买笔记本和钢笔共30件，最多能买几支钢笔？
(1)若王老师已经购买了15支钢笔，最多还能买几本笔记本？
(2)若王老师想购买笔记本和钢笔共30件，最多能买几支钢笔？
答案
18.(1)最多还能买12本笔记本.
(2)最多能买13支钢笔.
(2)最多能买13支钢笔.
解析
【分析】
本题属于消费预算类的不等式应用题，解题核心是抓住“总花费不超过100元”的不等关系列不等式求解，同时注意商品数量必须为正整数，需对不等式的解取符合实际意义的最大整数。
(1) 先计算已购买15支钢笔的花费，设剩余的钱可买x本笔记本，根据“钢笔总花费+笔记本总花费≤100元”列不等式，求解后取最大正整数即可；
(2) 设购买钢笔y支，则购买笔记本(30-y)本，同样根据总花费不超过100元列不等式，求解后取最大正整数即可。
【解析】
(1) 设还能购买x本笔记本。
已知每支钢笔5元，买15支钢笔花费：$15 × 5 = 75$ 元
每本笔记本2元，总花费不超过100元，可列不等式：
$75 + 2x ≤ 100$
解不等式：
$2x ≤ 100 - 75$
$2x ≤ 25$
$x ≤ 12.5$
因为x为笔记本的数量，必须是正整数，所以x的最大值为12。
(2) 设能购买y支钢笔，则购买笔记本$(30 - y)$本。
根据总花费不超过100元，可列不等式：
$5y + 2(30 - y) ≤ 100$
解不等式：
$5y + 60 - 2y ≤ 100$
$3y ≤ 100 - 60$
$3y ≤ 40$
$y ≤ \frac{40}{3} \approx 13.33$
因为y为钢笔的数量，必须是正整数，所以y的最大值为13。
【答案】
(1)最多还能买12本笔记本；
(2)最多能买13支钢笔。
【知识点】
一元一次不等式的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题关键是准确梳理题目中的不等关系，建立不等式模型，需要注意所得解必须符合实际场景，对结果进行合理取舍，侧重考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于消费预算类的不等式应用题，解题核心是抓住“总花费不超过100元”的不等关系列不等式求解，同时注意商品数量必须为正整数，需对不等式的解取符合实际意义的最大整数。
(1) 先计算已购买15支钢笔的花费，设剩余的钱可买x本笔记本，根据“钢笔总花费+笔记本总花费≤100元”列不等式，求解后取最大正整数即可；
(2) 设购买钢笔y支，则购买笔记本(30-y)本，同样根据总花费不超过100元列不等式，求解后取最大正整数即可。
【解析】
(1) 设还能购买x本笔记本。
已知每支钢笔5元，买15支钢笔花费：$15 × 5 = 75$ 元
每本笔记本2元，总花费不超过100元，可列不等式：
$75 + 2x ≤ 100$
解不等式：
$2x ≤ 100 - 75$
$2x ≤ 25$
$x ≤ 12.5$
因为x为笔记本的数量，必须是正整数，所以x的最大值为12。
(2) 设能购买y支钢笔，则购买笔记本$(30 - y)$本。
根据总花费不超过100元，可列不等式：
$5y + 2(30 - y) ≤ 100$
解不等式：
$5y + 60 - 2y ≤ 100$
$3y ≤ 100 - 60$
$3y ≤ 40$
$y ≤ \frac{40}{3} \approx 13.33$
因为y为钢笔的数量，必须是正整数，所以y的最大值为13。
【答案】
(1)最多还能买12本笔记本；
(2)最多能买13支钢笔。
【知识点】
一元一次不等式的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题关键是准确梳理题目中的不等关系，建立不等式模型，需要注意所得解必须符合实际场景，对结果进行合理取舍，侧重考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
19.某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元.
(1)求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元；
(2)公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
(1)求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元；
(2)公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
答案
19.(1)A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元.
(2)80辆
(2)80辆
解析
【分析】
(1) 本问属于二元一次方程组的实际应用问题，解题时先分别设A、B型公交车的单价为未知数，再根据题干给出的两组购买费用的等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种车型的单价。
(2) 本问属于一元一次不等式的实际应用问题，先设购买A型公交车的数量为未知数，结合总购车数量表示出B型公交车的购买数量，再根据“购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用”这一不等关系列出不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果。
【解析】
(1) 设A型公交车每辆$x$万元，B型公交车每辆$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 165 \\2x + 3y = 270\end{cases}$
由第一个方程得$x=165-2y$，代入第二个方程：
$2(165-2y)+3y=270$
展开计算：$330-4y+3y=270$，解得$y=60$
将$y=60$代入$x=165-2y$，得$x=165-2×60=45$
(2) 设购买$m$辆A型公交车，则购买B型公交车$(140-m)$辆。
根据题意列不等式：
$45m ≤ 60(140-m)$
展开得：$45m ≤ 8400 - 60m$
移项合并同类项：$105m ≤ 8400$
解得：$m ≤ 80$
因$m$为正整数，故$m$的最大值为80。
【答案】
(1) A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
(2) 80辆
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题关键是准确从题干中提取等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，是实际应用类题型的典型考法，掌握基本的方程、不等式解法即可完成解答。
【难度系数】
0.7
(1) 本问属于二元一次方程组的实际应用问题，解题时先分别设A、B型公交车的单价为未知数，再根据题干给出的两组购买费用的等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种车型的单价。
(2) 本问属于一元一次不等式的实际应用问题，先设购买A型公交车的数量为未知数，结合总购车数量表示出B型公交车的购买数量，再根据“购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用”这一不等关系列出不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果。
【解析】
(1) 设A型公交车每辆$x$万元，B型公交车每辆$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 165 \\2x + 3y = 270\end{cases}$
由第一个方程得$x=165-2y$，代入第二个方程：
$2(165-2y)+3y=270$
展开计算：$330-4y+3y=270$，解得$y=60$
将$y=60$代入$x=165-2y$，得$x=165-2×60=45$
(2) 设购买$m$辆A型公交车，则购买B型公交车$(140-m)$辆。
根据题意列不等式：
$45m ≤ 60(140-m)$
展开得：$45m ≤ 8400 - 60m$
移项合并同类项：$105m ≤ 8400$
解得：$m ≤ 80$
因$m$为正整数，故$m$的最大值为80。
【答案】
(1) A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
(2) 80辆
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题关键是准确从题干中提取等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，是实际应用类题型的典型考法，掌握基本的方程、不等式解法即可完成解答。
【难度系数】
0.7
