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24 小明家离学校2 km，他以5 km/h的速度步行上学，出发5 min后小明父亲发现小明的教科书忘记带上，立即以10 km/h的速度沿小明上学的方向骑车去追小明.问：
（1）小明父亲经多少分钟能追上小明？
（2）如果小明父亲发现小明忘记带教科书的同时，小明也发现自己的教科书忘记带上并立即掉头返回，问小明与父亲在途中相遇时离学校多少千米？（小数点后保留2位有效数字）
（1）小明父亲经多少分钟能追上小明？
（2）如果小明父亲发现小明忘记带教科书的同时，小明也发现自己的教科书忘记带上并立即掉头返回，问小明与父亲在途中相遇时离学校多少千米？（小数点后保留2位有效数字）
答案
24. （1）由$v=\dfrac{s}{t}$可得小明行驶的路程$s_1=v_1(t_0+t)$，小明父亲行驶的路程等于小明行驶的路程$s_2=s_1=v_2 t$，联立可得$v_1(t_0+t)=v_2 t$，$5\ \mathrm{km/h}×(5×\dfrac{1}{60}\ \mathrm{h}+t)=10\ \mathrm{km/h}· t$，解得$t=\dfrac{1}{12}\ \mathrm{h}=5\ \mathrm{min}$。
（2）由$v=\dfrac{s}{t}$可得出发5 min小明通过的路程$s=v_1 t_0=5\ \mathrm{km/h}×5×\dfrac{1}{60}\ \mathrm{h}=\dfrac{5}{12}\ \mathrm{km}$，小明和他父亲相向而行时的速度之和$v=v_1+v_2=5\ \mathrm{km/h}+10\ \mathrm{km/h}=15\ \mathrm{km/h}$，由$v=\dfrac{s}{t}$可得小明和他父亲相向而行时相遇的时间$t'=\dfrac{s}{v}=\dfrac{\dfrac{5}{12}\ \mathrm{km}}{15\ \mathrm{km/h}}=\dfrac{1}{36}\ \mathrm{h}$，小明父亲通过的路程$s_2'=v_2 t'=10\ \mathrm{km/h}×\dfrac{1}{36}\ \mathrm{h}=\dfrac{5}{18}\ \mathrm{km}$，小明与父亲在途中相遇时离学校距离$s''=s_\mathrm{总}-s_2'=2\ \mathrm{km}-\dfrac{5}{18}\ \mathrm{km}\approx1.72\ \mathrm{km}$。
（2）由$v=\dfrac{s}{t}$可得出发5 min小明通过的路程$s=v_1 t_0=5\ \mathrm{km/h}×5×\dfrac{1}{60}\ \mathrm{h}=\dfrac{5}{12}\ \mathrm{km}$，小明和他父亲相向而行时的速度之和$v=v_1+v_2=5\ \mathrm{km/h}+10\ \mathrm{km/h}=15\ \mathrm{km/h}$，由$v=\dfrac{s}{t}$可得小明和他父亲相向而行时相遇的时间$t'=\dfrac{s}{v}=\dfrac{\dfrac{5}{12}\ \mathrm{km}}{15\ \mathrm{km/h}}=\dfrac{1}{36}\ \mathrm{h}$，小明父亲通过的路程$s_2'=v_2 t'=10\ \mathrm{km/h}×\dfrac{1}{36}\ \mathrm{h}=\dfrac{5}{18}\ \mathrm{km}$，小明与父亲在途中相遇时离学校距离$s''=s_\mathrm{总}-s_2'=2\ \mathrm{km}-\dfrac{5}{18}\ \mathrm{km}\approx1.72\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
本题是速度公式在追及、相遇问题中的实际应用。第（1）问为追及问题，核心是父亲追上小明时两人行驶的路程相等，需统一时间单位（将分钟转换为小时，匹配速度单位km/h），设父亲追上小明的时间为t，根据路程关系列方程求解；第（2）问为相遇问题，小明掉头后两人相向而行，先计算出发5分钟小明已走的路程，再用该路程除以两人速度之和得到相遇时间，进而算出父亲行驶的路程，最后用家到学校的总距离减去父亲行驶的路程，得到相遇点离学校的距离，注意结果保留两位有效数字。
【解析】
（1）设小明父亲追上小明所需时间为$ t $（单位：h）。
小明的速度$ v_1=5\ \mathrm{km/h} $，出发时间$ t_0=5\ \mathrm{min}=5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} $，小明行驶的总时间为$ (t_0 + t) $，则小明行驶的路程：$ s_1 = v_1(t_0 + t) $。
小明父亲的速度$ v_2=10\ \mathrm{km/h} $，行驶的路程：$ s_2 = v_2 t $。
追上时两人路程相等，即$ s_1 = s_2 $，代入数据得：
$ 5\ \mathrm{km/h} × (5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} + t) = 10\ \mathrm{km/h} × t $
展开计算：$ \frac{5}{12} + 5t = 10t $，解得$ t=\frac{1}{12}\ \mathrm{h}=5\ \mathrm{min} $。
（2）先计算出发5 min小明通过的路程：
$ s = v_1 t_0 = 5\ \mathrm{km/h} × 5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} = \frac{5}{12}\ \mathrm{km} $。
小明掉头后，与父亲相向而行，速度之和$ v = v_1 + v_2 = 5\ \mathrm{km/h} + 10\ \mathrm{km/h} = 15\ \mathrm{km/h} $。
相遇时间$ t' = \frac{s}{v} = \frac{\frac{5}{12}\ \mathrm{km}}{15\ \mathrm{km/h}} = \frac{1}{36}\ \mathrm{h} $。
小明父亲通过的路程：$ s_2' = v_2 t' = 10\ \mathrm{km/h} × \frac{1}{36}\ \mathrm{h} = \frac{5}{18}\ \mathrm{km} \approx 0.2778\ \mathrm{km} $。
家到学校总距离2 km，相遇时离学校的距离：$ s'' = 2\ \mathrm{km} - \frac{5}{18}\ \mathrm{km} \approx 1.72\ \mathrm{km} $。
【答案】
（1）5 min；（2）1.72 km
【知识点】
速度公式应用，追及问题，相遇问题
【点评】
本题结合上学送书的实际场景，考察速度公式在追及、相遇问题中的应用，解题关键是明确追及时路程相等、相遇时路程和等于初始距离，需注意单位统一，是物理运动学的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是速度公式在追及、相遇问题中的实际应用。第（1）问为追及问题，核心是父亲追上小明时两人行驶的路程相等，需统一时间单位（将分钟转换为小时，匹配速度单位km/h），设父亲追上小明的时间为t，根据路程关系列方程求解；第（2）问为相遇问题，小明掉头后两人相向而行，先计算出发5分钟小明已走的路程，再用该路程除以两人速度之和得到相遇时间，进而算出父亲行驶的路程，最后用家到学校的总距离减去父亲行驶的路程，得到相遇点离学校的距离，注意结果保留两位有效数字。
【解析】
（1）设小明父亲追上小明所需时间为$ t $（单位：h）。
小明的速度$ v_1=5\ \mathrm{km/h} $，出发时间$ t_0=5\ \mathrm{min}=5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} $，小明行驶的总时间为$ (t_0 + t) $，则小明行驶的路程：$ s_1 = v_1(t_0 + t) $。
小明父亲的速度$ v_2=10\ \mathrm{km/h} $，行驶的路程：$ s_2 = v_2 t $。
追上时两人路程相等，即$ s_1 = s_2 $，代入数据得：
$ 5\ \mathrm{km/h} × (5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} + t) = 10\ \mathrm{km/h} × t $
展开计算：$ \frac{5}{12} + 5t = 10t $，解得$ t=\frac{1}{12}\ \mathrm{h}=5\ \mathrm{min} $。
（2）先计算出发5 min小明通过的路程：
$ s = v_1 t_0 = 5\ \mathrm{km/h} × 5×\frac{1}{60}\ \mathrm{h} = \frac{5}{12}\ \mathrm{km} $。
小明掉头后，与父亲相向而行，速度之和$ v = v_1 + v_2 = 5\ \mathrm{km/h} + 10\ \mathrm{km/h} = 15\ \mathrm{km/h} $。
相遇时间$ t' = \frac{s}{v} = \frac{\frac{5}{12}\ \mathrm{km}}{15\ \mathrm{km/h}} = \frac{1}{36}\ \mathrm{h} $。
小明父亲通过的路程：$ s_2' = v_2 t' = 10\ \mathrm{km/h} × \frac{1}{36}\ \mathrm{h} = \frac{5}{18}\ \mathrm{km} \approx 0.2778\ \mathrm{km} $。
家到学校总距离2 km，相遇时离学校的距离：$ s'' = 2\ \mathrm{km} - \frac{5}{18}\ \mathrm{km} \approx 1.72\ \mathrm{km} $。
【答案】
（1）5 min；（2）1.72 km
【知识点】
速度公式应用，追及问题，相遇问题
【点评】
本题结合上学送书的实际场景，考察速度公式在追及、相遇问题中的应用，解题关键是明确追及时路程相等、相遇时路程和等于初始距离，需注意单位统一，是物理运动学的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
25（2025盐城康居路初中教育集团月考）如图所示，超声波测速仪A，向远离自己而去的汽车B发出两次脉冲波的时间间隔为7 s，第一个脉冲1.6 s后收到反射信号，发射第二个脉冲3.6 s后收到反射信号（声音在空气中速度为340 m/s）
（
A.汽车接收到第一次脉冲，距离测速仪的距离为544 m
B.汽车接收到第二次脉冲，距离测速仪的距离为620 m
C.汽车接收到两次脉冲波行驶的路程是680 m
D.汽车行驶的速度是42.5 m/s
（
D
）A.汽车接收到第一次脉冲，距离测速仪的距离为544 m
B.汽车接收到第二次脉冲，距离测速仪的距离为620 m
C.汽车接收到两次脉冲波行驶的路程是680 m
D.汽车行驶的速度是42.5 m/s
答案
25. D
解析
【分析】
解决超声波测速问题，需明确：超声波从测速仪到汽车再返回，单程时间为总往返时间的一半；汽车接收到两次脉冲的时间间隔，需结合两次脉冲的发射时间间隔及各自的单程时间推导；汽车行驶的路程等于两次接收到脉冲时与测速仪的距离差，速度为路程除以两次接收的时间间隔。
【解析】
1. 计算汽车接收到第一次脉冲时与测速仪的距离：
第一个脉冲往返时间为1.6s，单程时间 $ t_1 = \frac{1.6s}{2} = 0.8s $，
距离 $ s_1 = v_{声}t_1 = 340m/s × 0.8s = 272m $，故A选项错误。
2. 计算汽车接收到第二次脉冲时与测速仪的距离：
第二个脉冲往返时间为3.6s，单程时间 $ t_2 = \frac{3.6s}{2} = 1.8s $，
距离 $ s_2 = v_{声}t_2 = 340m/s × 1.8s = 612m $，故B选项错误。
3. 计算汽车两次接收到脉冲时行驶的路程：
路程 $ \Delta s = s_2 - s_1 = 612m - 272m = 340m $，故C选项错误。
4. 计算汽车行驶的速度：
两次脉冲的发射时间间隔为7s，汽车接收到两次脉冲的时间间隔为：
$ \Delta t = 7s + t_2 - t_1 = 7s +1.8s -0.8s =8s $，
速度 $ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{340m}{8s}=42.5m/s $，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
超声波测速、速度计算
【点评】
本题考查超声波测速的原理，核心是明确单程时间的计算和两次接收脉冲的时间间隔推导，易因时间关系分析错误导致失分，需仔细梳理各时刻的逻辑关系。
【难度系数】
0.5
解决超声波测速问题，需明确：超声波从测速仪到汽车再返回，单程时间为总往返时间的一半；汽车接收到两次脉冲的时间间隔，需结合两次脉冲的发射时间间隔及各自的单程时间推导；汽车行驶的路程等于两次接收到脉冲时与测速仪的距离差，速度为路程除以两次接收的时间间隔。
【解析】
1. 计算汽车接收到第一次脉冲时与测速仪的距离：
第一个脉冲往返时间为1.6s，单程时间 $ t_1 = \frac{1.6s}{2} = 0.8s $，
距离 $ s_1 = v_{声}t_1 = 340m/s × 0.8s = 272m $，故A选项错误。
2. 计算汽车接收到第二次脉冲时与测速仪的距离：
第二个脉冲往返时间为3.6s，单程时间 $ t_2 = \frac{3.6s}{2} = 1.8s $，
距离 $ s_2 = v_{声}t_2 = 340m/s × 1.8s = 612m $，故B选项错误。
3. 计算汽车两次接收到脉冲时行驶的路程：
路程 $ \Delta s = s_2 - s_1 = 612m - 272m = 340m $，故C选项错误。
4. 计算汽车行驶的速度：
两次脉冲的发射时间间隔为7s，汽车接收到两次脉冲的时间间隔为：
$ \Delta t = 7s + t_2 - t_1 = 7s +1.8s -0.8s =8s $，
速度 $ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{340m}{8s}=42.5m/s $，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
超声波测速、速度计算
【点评】
本题考查超声波测速的原理，核心是明确单程时间的计算和两次接收脉冲的时间间隔推导，易因时间关系分析错误导致失分，需仔细梳理各时刻的逻辑关系。
【难度系数】
0.5
