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9. 比较$2,\sqrt{5},\sqrt[3]{7}$的大小,正确的是 （
A.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
D.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
A
）A.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
D.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
答案
9.A
解析
【分析】
要比较含根号的正数的大小，可利用乘方法去掉根号，转化为比较有理数的大小，因为正数的同次乘方越大，原数就越大。我们可以先两两比较：先比较2和$\sqrt{5}$的大小，再比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小，最后合并得到三个数的大小关系。
【解析】
第一步：比较2和$\sqrt{5}$的大小
分别对两个数平方，得：
$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$
因为$4＜5$，且正数平方越大，原数越大，所以$2＜\sqrt{5}$。
第二步：比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小
分别对两个数立方，得：
$(\sqrt[3]{7})^3=7$，$2^3=8$
因为$7＜8$，且正数立方越大，原数越大，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两步的结果，可得大小关系为：$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较、平方根运算、立方根运算
【点评】
本题是带根号实数大小比较的基础题型，乘方去根号是解决这类问题的常用技巧，熟练掌握平方根、立方根的运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较含根号的正数的大小，可利用乘方法去掉根号，转化为比较有理数的大小，因为正数的同次乘方越大，原数就越大。我们可以先两两比较：先比较2和$\sqrt{5}$的大小，再比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小，最后合并得到三个数的大小关系。
【解析】
第一步：比较2和$\sqrt{5}$的大小
分别对两个数平方，得：
$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$
因为$4＜5$，且正数平方越大，原数越大，所以$2＜\sqrt{5}$。
第二步：比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小
分别对两个数立方，得：
$(\sqrt[3]{7})^3=7$，$2^3=8$
因为$7＜8$，且正数立方越大，原数越大，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两步的结果，可得大小关系为：$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较、平方根运算、立方根运算
【点评】
本题是带根号实数大小比较的基础题型，乘方去根号是解决这类问题的常用技巧，熟练掌握平方根、立方根的运算性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.若$\begin{cases}x+y=5k, \\ x-y=9k\end{cases}$的解也是$2x+3y=6$的解，则$k$的值是（ ）
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.$-\frac{3}{4}$
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.$-\frac{3}{4}$
答案
10.A
解析
【分析】
解题时首先把参数k看作常数，通过加减消元法求解关于x、y的二元一次方程组，用含k的代数式表示出x和y的值；再根据方程组的解也是$2x+3y=6$的解，将表示x、y的代数式代入该方程，得到只含有k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
解：先解方程组$\begin{cases}x+y=5k&① \\ x-y=9k&②\end{cases}$
①+②，得：$2x=14k$，解得$x=7k$
将$x=7k$代入①，得：$7k + y =5k$，解得$y=-2k$
因为方程组的解也是$2x+3y=6$的解，所以将$x=7k$、$y=-2k$代入$2x+3y=6$，得：
$2×7k + 3×(-2k) =6$
化简得：$14k -6k =6$
即$8k=6$，解得$k=\frac{3}{4}$
【答案】A
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次方程的解法；二元一次方程的解
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组基础题型，解题核心是先将参数视为已知数求解方程组，再利用解的性质建立关于参数的新方程求解，是二元一次方程组章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先把参数k看作常数，通过加减消元法求解关于x、y的二元一次方程组，用含k的代数式表示出x和y的值；再根据方程组的解也是$2x+3y=6$的解，将表示x、y的代数式代入该方程，得到只含有k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
解：先解方程组$\begin{cases}x+y=5k&① \\ x-y=9k&②\end{cases}$
①+②，得：$2x=14k$，解得$x=7k$
将$x=7k$代入①，得：$7k + y =5k$，解得$y=-2k$
因为方程组的解也是$2x+3y=6$的解，所以将$x=7k$、$y=-2k$代入$2x+3y=6$，得：
$2×7k + 3×(-2k) =6$
化简得：$14k -6k =6$
即$8k=6$，解得$k=\frac{3}{4}$
【答案】A
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次方程的解法；二元一次方程的解
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组基础题型，解题核心是先将参数视为已知数求解方程组，再利用解的性质建立关于参数的新方程求解，是二元一次方程组章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
11. 如图3，将一张长方形纸折叠，如果$∠ 1 = 130°$，那么$∠ 2$的度数是（
A.$100°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$80°$
A
）A.$100°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$80°$
答案
11.A
解析
【分析】
解题时先明确两个核心依据：一是长方形对边互相平行，可利用平行线的角度关系推导相关角的度数；二是折叠的性质，折叠前后重合的角大小相等。首先通过平行线的性质求出单个折叠重叠角的度数，再根据折叠性质可知有两个相等的重叠角，最后结合∠2和这两个重叠角的数量关系，就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵长方形的对边互相平行，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴单个折叠重叠角的度数为：$180° - ∠1 = 180° - 130° = 50°$，
∵折叠前后重合的角大小相等，
∴两个折叠重叠角均为$50°$，
由图可知∠2为两个重叠角的和，
∴$∠2 = 50° × 2 = 100°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活中的纸张折叠场景出题，核心考查对平行线性质和折叠性质的运用，解题关键是找准折叠后相等的角，再结合平行线的角度关系推导计算即可，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心依据：一是长方形对边互相平行，可利用平行线的角度关系推导相关角的度数；二是折叠的性质，折叠前后重合的角大小相等。首先通过平行线的性质求出单个折叠重叠角的度数，再根据折叠性质可知有两个相等的重叠角，最后结合∠2和这两个重叠角的数量关系，就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵长方形的对边互相平行，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴单个折叠重叠角的度数为：$180° - ∠1 = 180° - 130° = 50°$，
∵折叠前后重合的角大小相等，
∴两个折叠重叠角均为$50°$，
由图可知∠2为两个重叠角的和，
∴$∠2 = 50° × 2 = 100°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活中的纸张折叠场景出题，核心考查对平行线性质和折叠性质的运用，解题关键是找准折叠后相等的角，再结合平行线的角度关系推导计算即可，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.7
12. 小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元。已知彩色地砖的单价是80元，单色地砖的单价是40元。
(1)两种地砖各采购了多少块？
(2)如果厨房也要铺设这两种地砖，共需60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
(1)两种地砖各采购了多少块？
(2)如果厨房也要铺设这两种地砖，共需60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
答案
12. (1)彩色地砖采购了40块，单色地砖采购了60块.
(2)彩色地砖最多能采购20块.
(2)彩色地砖最多能采购20块.
解析
【分析】
第(1)问存在两个等量关系：彩色地砖数量+单色地砖数量=100块，彩色地砖总费用+单色地砖总费用=5600元。我们可以设彩色地砖数量为未知数，用总数量表示出单色地砖数量，再根据总费用列一元一次方程求解即可。第(2)问的核心是不等关系：两种地砖总费用≤3200元，设彩色地砖采购数量为未知数，用总需求量表示单色地砖数量，代入不等关系列一元一次不等式，解出解集后取符合实际的最大正整数，就是彩色地砖最多采购的数量。
【解析】
(1) 设彩色地砖采购了$ x $块，则单色地砖采购了$ (100-x) $块。
根据总花费为5600元，列方程：
$ 80x + 40(100 - x) = 5600 $
展开计算：$ 80x + 4000 - 40x = 5600 $
合并同类项得：$ 40x = 1600 $
解得：$ x = 40 $
单色地砖数量为：$ 100 - 40 = 60 $（块）
(2) 设彩色地砖采购$ a $块，则单色地砖采购$ (60 - a) $块。
根据采购费用不超过3200元，列不等式：
$ 80a + 40(60 - a) ≤ 3200 $
展开计算：$ 80a + 2400 - 40a ≤ 3200 $
合并同类项得：$ 40a ≤ 800 $
解得：$ a ≤ 20 $
因此$ a $的最大正整数值为20。
【答案】
(1)彩色地砖采购了40块，单色地砖采购了60块；(2)彩色地砖最多能采购20块。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式应用；实际最值求解
【点评】
本题结合生活装修的实际场景，考查方程与不等式的实际应用能力，解题的关键是准确提炼题目中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义。
【难度系数】
0.7
第(1)问存在两个等量关系：彩色地砖数量+单色地砖数量=100块，彩色地砖总费用+单色地砖总费用=5600元。我们可以设彩色地砖数量为未知数，用总数量表示出单色地砖数量，再根据总费用列一元一次方程求解即可。第(2)问的核心是不等关系：两种地砖总费用≤3200元，设彩色地砖采购数量为未知数，用总需求量表示单色地砖数量，代入不等关系列一元一次不等式，解出解集后取符合实际的最大正整数，就是彩色地砖最多采购的数量。
【解析】
(1) 设彩色地砖采购了$ x $块，则单色地砖采购了$ (100-x) $块。
根据总花费为5600元，列方程：
$ 80x + 40(100 - x) = 5600 $
展开计算：$ 80x + 4000 - 40x = 5600 $
合并同类项得：$ 40x = 1600 $
解得：$ x = 40 $
单色地砖数量为：$ 100 - 40 = 60 $（块）
(2) 设彩色地砖采购$ a $块，则单色地砖采购$ (60 - a) $块。
根据采购费用不超过3200元，列不等式：
$ 80a + 40(60 - a) ≤ 3200 $
展开计算：$ 80a + 2400 - 40a ≤ 3200 $
合并同类项得：$ 40a ≤ 800 $
解得：$ a ≤ 20 $
因此$ a $的最大正整数值为20。
【答案】
(1)彩色地砖采购了40块，单色地砖采购了60块；(2)彩色地砖最多能采购20块。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式应用；实际最值求解
【点评】
本题结合生活装修的实际场景，考查方程与不等式的实际应用能力，解题的关键是准确提炼题目中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义。
【难度系数】
0.7
13.如图4，平面直角坐标系中，$A(-3,-2)$，$B(-1,-4)$.
(1)直接写出：$S_{\mathrm{三角形}OAB}=$
(2)点Q在y轴上，以A,B,O,Q为顶点的四边形的面积为6，求点Q坐标.
(1)直接写出：$S_{\mathrm{三角形}OAB}=$
5
；(2)点Q在y轴上，以A,B,O,Q为顶点的四边形的面积为6，求点Q坐标.
答案
13.(1)5
(2)点Q的坐标为$(0,\dfrac{2}{3})$或$(0,-2)$.
(2)点Q的坐标为$(0,\dfrac{2}{3})$或$(0,-2)$.
解析
【分析】
(1) 求平面直角坐标系中三角形的面积可采用割补法：构造包含三个顶点的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△OAB的面积。
(2) 点Q在y轴上，可设其坐标为(0, m)，由于Q的位置不同，四边形的构成也不同，需分Q在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论：将四边形面积拆分为已知的△OAB的面积与新增三角形的面积之和，根据总面积为6列方程求解即可，注意检验解是否符合对应情况的取值范围。
【解析】
(1) 采用割补法计算面积：
构造以x=-3、x=0、y=-4、y=0为边界的矩形，矩形面积为$3×4=12$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_2=\frac{1}{2}×1×4=2$，$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$。
因此$S_{△ OAB}=12 - 3 - 2 - 2=5$。
(2) 设点Q的坐标为$(0,m)$，分两种情况讨论：
① 当Q在y轴正半轴，即$m＞0$时，四边形面积可拆分为$S_{△ OAB}$和$S_{△ OAQ}$之和。
$△ OAQ$中，底$OQ=m$，高为点A到y轴的距离3，因此$S_{△ OAQ}=\frac{1}{2}× m×3=\frac{3}{2}m$。
根据题意列方程：$5+\frac{3}{2}m=6$，解得$m=\frac{2}{3}$，符合$m＞0$，即$Q(0,\frac{2}{3})$。
② 当Q在y轴负半轴，即$m＜0$时，四边形面积可拆分为$S_{△ OAB}$和$S_{△ OBQ}$之和。
$△ OBQ$中，底$OQ=|m|=-m$，高为点B到y轴的距离1，因此$S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}× (-m)×1=-\frac{1}{2}m$。
根据题意列方程：$5-\frac{1}{2}m=6$，解得$m=-2$，符合$m＜0$，即$Q(0,-2)$。
综上，点Q的坐标为$(0,\frac{2}{3})$或$(0,-2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{(0,\dfrac{2}{3})}$或$\boldsymbol{(0,-2)}$
【知识点】
坐标系内面积计算，坐标与图形，分类讨论
【点评】
本题重点考查不规则图形的面积计算，合理用割补法拆分图形是解题的核心，第二问需注意分类讨论Q的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求平面直角坐标系中三角形的面积可采用割补法：构造包含三个顶点的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△OAB的面积。
(2) 点Q在y轴上，可设其坐标为(0, m)，由于Q的位置不同，四边形的构成也不同，需分Q在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论：将四边形面积拆分为已知的△OAB的面积与新增三角形的面积之和，根据总面积为6列方程求解即可，注意检验解是否符合对应情况的取值范围。
【解析】
(1) 采用割补法计算面积：
构造以x=-3、x=0、y=-4、y=0为边界的矩形，矩形面积为$3×4=12$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_2=\frac{1}{2}×1×4=2$，$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$。
因此$S_{△ OAB}=12 - 3 - 2 - 2=5$。
(2) 设点Q的坐标为$(0,m)$，分两种情况讨论：
① 当Q在y轴正半轴，即$m＞0$时，四边形面积可拆分为$S_{△ OAB}$和$S_{△ OAQ}$之和。
$△ OAQ$中，底$OQ=m$，高为点A到y轴的距离3，因此$S_{△ OAQ}=\frac{1}{2}× m×3=\frac{3}{2}m$。
根据题意列方程：$5+\frac{3}{2}m=6$，解得$m=\frac{2}{3}$，符合$m＞0$，即$Q(0,\frac{2}{3})$。
② 当Q在y轴负半轴，即$m＜0$时，四边形面积可拆分为$S_{△ OAB}$和$S_{△ OBQ}$之和。
$△ OBQ$中，底$OQ=|m|=-m$，高为点B到y轴的距离1，因此$S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}× (-m)×1=-\frac{1}{2}m$。
根据题意列方程：$5-\frac{1}{2}m=6$，解得$m=-2$，符合$m＜0$，即$Q(0,-2)$。
综上，点Q的坐标为$(0,\frac{2}{3})$或$(0,-2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{(0,\dfrac{2}{3})}$或$\boldsymbol{(0,-2)}$
【知识点】
坐标系内面积计算，坐标与图形，分类讨论
【点评】
本题重点考查不规则图形的面积计算，合理用割补法拆分图形是解题的核心，第二问需注意分类讨论Q的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14.如图5，已知$CD// BE$，$∠1+∠2=180°$。
(1)$∠ AFE$与$∠ ABC$相等吗？请说明理由；
(2)若$∠ D=2∠ AEF$，$∠1=136°$，求$∠ D$的度数。
(1)$∠ AFE$与$∠ ABC$相等吗？请说明理由；
(2)若$∠ D=2∠ AEF$，$∠1=136°$，求$∠ D$的度数。
答案
14.(1)相等,理由略.
(2)$∠ D=88°$
(2)$∠ D=88°$
解析
【分析】
(1)要判断∠AFE和∠ABC是否相等，可通过证明两直线平行得到同位角相等。首先根据CD//BE可得∠1与∠CBE互补，结合已知∠1+∠2=180°，等量代换得到∠2=∠CBE，可推出EF//BC，再根据平行线的性质即可得到两角相等。
(2)先由∠1的度数算出∠2的度数，再结合CD//BE的性质得到∠D与∠AEB的等量关系，结合∠AEB=∠AEF+∠2和已知∠D=2∠AEF，代入计算即可求出∠D的度数。
【解析】
(1)相等，理由如下：
∵ CD//BE（已知）
∴ ∠1 + ∠CBE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∴ ∠2 = ∠CBE（同角的补角相等）
∴ EF//BC（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠AFE = ∠ABC（两直线平行，同位角相等）
(2)解：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠1=136°
∴ ∠2 = 180° - 136° = 44°
∵ CD//BE（已知）
∴ ∠D = ∠AEB（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠AEB = ∠AEF + ∠2，∠D=2∠AEF（已知）
∴ 2∠AEF = ∠AEF + 44°
解得∠AEF = 44°
∴ ∠D = 2×44° = 88°
【答案】
(1)相等，理由见解析；
(2)∠D=88°
【知识点】
平行线的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，需要熟练掌握平行与角的数量关系的互推逻辑，解题时注意利用已知的角的和差关系建立方程求解角度。
【难度系数】
0.75
(1)要判断∠AFE和∠ABC是否相等，可通过证明两直线平行得到同位角相等。首先根据CD//BE可得∠1与∠CBE互补，结合已知∠1+∠2=180°，等量代换得到∠2=∠CBE，可推出EF//BC，再根据平行线的性质即可得到两角相等。
(2)先由∠1的度数算出∠2的度数，再结合CD//BE的性质得到∠D与∠AEB的等量关系，结合∠AEB=∠AEF+∠2和已知∠D=2∠AEF，代入计算即可求出∠D的度数。
【解析】
(1)相等，理由如下：
∵ CD//BE（已知）
∴ ∠1 + ∠CBE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∴ ∠2 = ∠CBE（同角的补角相等）
∴ EF//BC（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠AFE = ∠ABC（两直线平行，同位角相等）
(2)解：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠1=136°
∴ ∠2 = 180° - 136° = 44°
∵ CD//BE（已知）
∴ ∠D = ∠AEB（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠AEB = ∠AEF + ∠2，∠D=2∠AEF（已知）
∴ 2∠AEF = ∠AEF + 44°
解得∠AEF = 44°
∴ ∠D = 2×44° = 88°
【答案】
(1)相等，理由见解析；
(2)∠D=88°
【知识点】
平行线的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，需要熟练掌握平行与角的数量关系的互推逻辑，解题时注意利用已知的角的和差关系建立方程求解角度。
【难度系数】
0.75
